和數(shù)學家一樣思考的10種方法

在我看來，數(shù)學的真正美妙的地方之一在于它可以被檢驗；你不必把任何人的話當做圣經(jīng)。如果有人給你說一些事情是真的，那你可以讓他證明；最好是，如果你真的想同數(shù)學家一樣思考，那你可以嘗試主動證明它。不要等著有人拿勺子喂你；

對于一些人的話，你的反應應該是懷疑，并且試圖去找到一個反例；即便是真的，這種對你的鍛煉也是有益的，同時也能幫助我們對事情的判斷力；（注意，在真實生活場景中過度這么做可能會失去朋友—— 一直挑別人的刺，誰都會不爽）

某報紙的一份來信說時間旅行從邏輯上是不可能的，因為如果時間旅行是可能的，那我們是會看到很多來自未來的人。我有一些想法來反駁這個邏輯：或許時間旅行只允許我們穿越到過去某點時間（比人類歷史還要長）；或許時間旅行者不允許和我們交流；或許時間旅行有一個范圍，能穿越的時間不超過一年，而時間旅行在數(shù)年后才出現(xiàn)（并且時間旅行的機器不能穿越）。

寫下來

寫下來？你可能會問，這跟和數(shù)學家一樣思考有個啥關(guān)系。是這樣的，語言是由一些論據(jù)構(gòu)建的。高水平數(shù)學家的論據(jù)都是證明的形式（不僅僅是給出正確的數(shù)字答案）

學生通?？床坏綄懴聛淼男枰凰麄兂３Ｕf：’我來大學不是來寫作文的’，’我已經(jīng)知道正確答案了’，’你懂的’。他們的作業(yè)都是一些沒有關(guān)系的符號堆砌但依然可以獲取高分。但是，如果你想去理解數(shù)學并且思路清晰，通過寫的練習可以迫使你對自己的觀點想的更清楚。如果你不能正確的描述，那么很可能你并不是真正理解了你要表達什么。這是一個可以學習和發(fā)展自己技術(shù)的很好機會。其實寫的一手好文章在任何領域都是很有用的技術(shù)。

試試逆向思維

語句A=>B是數(shù)學的核心，我們可以表述為如果A是真的，那么B就是真的；

A=>B的逆就是B=>A，例如：”如果我是丘吉爾，那我是英國人”的逆是”如果我是英國人，那么我是丘吉爾”；

這個簡單的例子說明了，即便是一個語句是真的，那么其逆可能非真；可能真也可能非真，說之前要搞清楚；

一個好的數(shù)學家，當提出一個A隱含B的語句時，通常會思考”其逆為真么？”，把這個問題印到腦子里，作為你和數(shù)學打交道的工具；然后，其逆是否為真并不是很重要，關(guān)鍵是磨練數(shù)學的能力；

說個題外話，通常人們會犯一個大錯誤，就是當A=>B時，認為如果A非真的，那么B也非真的；這是不對的，這個語句只是在說當A為真是會發(fā)生什么，并沒有說A非真時的情況?，F(xiàn)在可以像一個數(shù)學家一樣思考一下，給一個例子。

試著互逆

一條語句’A => B’ 的互逆是 ‘not B => not A’；

例如：

1）『如果我是丘吉爾，那么我就是英國人』的互逆就是『如果我不是英國人，那么我就不是丘吉爾』

2） 『如果我不是美國人，那么我就不是德克薩斯人』的互逆就是『如果我是德克薩斯人，那么我就是美國人』

3） 『x^2 – 4x – 5 = 0  => x >= -2』的互逆就是『x<-2 => x^2-4x-5 != 0』

A=>B的互逆命題和自身的真假驚奇的一致！也就是說，如果A=>B是真的，那么not A => not B就是真的，反之亦然。可以驗證一下上面的例子。一開始可能很難在腦子里形成固有概念 – 其實大多數(shù)人都不相信；有一個著名的關(guān)于互逆的教育實驗，叫做Wason的選擇任務?？梢钥匆豢茨闶欠衲芡ㄟ^測試，只有不到10%的人通過了；

由于互逆經(jīng)常用做證明，并且日常推理也經(jīng)常搞錯，所以你應該掌握。

考慮極端情況

面對一個命題，要在少量極端的假設情況下看看；如果需要的參數(shù)為0或者1會怎樣？如果把需要的函數(shù)定義為f(x)=0會怎樣？數(shù)據(jù)集為空呢？如果需要的序列為1，1，1，1。。。呢？直線或者圓會有什么結(jié)果？

這些例子可以幫我們更深刻的理解，意味著命題可以應用的場景；

考慮一個極端的例子『如果Y=X^2，Z=Y^2，所以Z != X^2』。貌似Y和Y^2一般場景下是真的，但其實不然，比如Y=1，當X=1的條件下；

用一個極端的例子說明下列原理是錯誤的：

原理：假設a,b,c,d是正整數(shù)，如果ab=cd，a=c，那么b=d；

想給出好的極端例子需要積累，因此需要平時注意收集，用到的時候信手捏來，有一個訓練方法，想象你正在酣睡，突然大半夜有人把你搖醒說：快！給我一個X的好例子，快！X可以是群組、向量、函數(shù)等數(shù)學對象；

構(gòu)造自己的例子

真正的數(shù)學家創(chuàng)造自己的例子，不管是標準例子，極端例子還是非實例！讓我們看看工作示例（例如過程、算法等）。

考慮到極大值和極小值在微積分中的標準。我們首先定義如何區(qū)別一個函數(shù)。然后將奇點定義為導數(shù)為零的點。其次，我們告訴我們奇點有3種類型：極大值、極小值和拐點。然后顯示函數(shù)的二階導數(shù)決定類型。在這些例子之后：這里有一個函數(shù)，這里是奇點的位置，這是奇點的類型。

學會方法后可以使用函數(shù)找到奇點類型，但如果我反過來問你，能否創(chuàng)建一個變量為x的函數(shù)f，函數(shù)的最大值和最小值分別為x=2和x=-6，這將是一個更加困難的考驗。但在嘗試這樣做時，你可以學到很多數(shù)學知識。

因此，拿到計算方法后，您應該將其反轉(zhuǎn)以創(chuàng)建新的問題。此外，如果你和你的朋友一起制造這些問題，那么你可以交換他們（交換的是問題，而不是朋友），并從中得到更多的實踐。你也可以設置一個競賽：看看誰能設置最難但還在解決范圍內(nèi)的問題。

假設用在哪里

學生們常對我說他們很難理解證明，這是正常的。因為證明的重點在于邏輯性和推導性，而不是提供洞察定理的陳述或它的證明是如何被發(fā)現(xiàn)的。普通學生在解題時面臨的問題往往是“不知從何處入手”。因此，理解證明是學習成為數(shù)學家最困難的部分之一。

《像數(shù)學家一樣思考》第18章的全部內(nèi)容都是用各種方法來理解證明的，例如，把它分解成部分，把證據(jù)應用于一個例子。我們只考慮下面的技巧。

每個定理都有假設。例如，畢達哥拉斯定理假設我們有一個直角三角形。這些假設是證明的必要條件或背景。因此，可以從假設入手，積極尋找公式定理的應用方向，你將開始了解數(shù)學證明。

有些假設可能是隱藏的。例如，證明中往往會有“根據(jù)定理5.7，我們可以看到……”的字樣，這說明定理5.7是我們需要的假設之一。（順便說一下，如果一個定理在不同的證據(jù)中一次又一次地被使用，它一定是非常重要的，并且有潛力被用在你的證明中，所以要學好它。）

通過尋找假設，你將開始數(shù)學證明之旅，并將清晰地看到它是推導的過程以及構(gòu)造，作為無償?shù)莫剟?，你也會加深對證明的理解。

從復雜的一邊開始

從復雜的一面開始，這是我能夠給出的，證明等式成立的最高秘訣。從更復雜的部分入手，通過替換來降低表達式另一端的難度。

問“如果有……那么會怎樣”

好的數(shù)學家喜歡問：“假如我放棄這個假設會發(fā)生什么？通過思考這個問題，我們可以更好地理解為什么一個結(jié)果是正確的，或者為什么定義是這樣的。有時我們可以通過弱化假設來創(chuàng)造一個新的定理！

交流

來源：數(shù)學中國