為啥文科好的人，不容易學(xué)好數(shù)學(xué)？

來源丨三聯(lián)生活周刊 文｜苗煒

克服數(shù)學(xué)焦慮并不意味著數(shù)學(xué)不難，也不意味著你會(huì)在一夜之間成為數(shù)學(xué)天才，重要的是你對(duì)數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的感受會(huì)發(fā)生變化。

“數(shù)學(xué)焦慮”這個(gè)名詞是希拉·托比亞斯定義的，她在衛(wèi)斯理學(xué)院擔(dān)任教務(wù)長的時(shí)候，發(fā)現(xiàn)學(xué)校里的女生極力避免選修數(shù)學(xué)或其他需要數(shù)學(xué)知識(shí)的專業(yè)課，如物理、化學(xué)或經(jīng)濟(jì)學(xué)。她開設(shè)了一家診所，面談了數(shù)百名大學(xué)生，1976年，她在一本女性雜志上發(fā)表了一篇文章，繼而把這篇文章擴(kuò)充成一本書，題目叫《克服數(shù)學(xué)焦慮》。她說，許多女生被告知“女孩不會(huì)做數(shù)學(xué)”，或者另一種說法，“她們要么擅長數(shù)字，要么善于使用文字，但她們不可能同時(shí)擅長兩者”。如果一個(gè)爸爸對(duì)女兒說，“你媽媽總是不會(huì)記賬”，這就是讓女兒“習(xí)得性無助”，所以，“數(shù)學(xué)焦慮”這個(gè)詞，跟女性主義有關(guān)系，它意味著男人如何讓女性失去權(quán)力，使女生無法在學(xué)業(yè)上全力競爭。托比亞斯認(rèn)為，男生也會(huì)有數(shù)學(xué)焦慮，但數(shù)學(xué)焦慮對(duì)女生影響更大。

圖｜孫愚火

到底什么叫“數(shù)學(xué)焦慮”呢？按照現(xiàn)在心理學(xué)家的說法，如果你做一道數(shù)學(xué)題時(shí)，感到身體不舒服，或者擔(dān)心得不到正確的答案——你可能就有某種程度的數(shù)學(xué)焦慮。它可以有很多等級(jí)，它被定義為面對(duì)數(shù)學(xué)問題感到的緊張、憂慮或恐懼。如果一個(gè)學(xué)生有數(shù)學(xué)焦慮，就會(huì)盡可能選擇少上數(shù)學(xué)課，這會(huì)限制他以后的教育和職業(yè)選擇。有數(shù)學(xué)焦慮的父母也會(huì)將這種感覺傳遞給孩子。2012年在34個(gè)國家進(jìn)行的調(diào)查發(fā)現(xiàn)，59%的初三學(xué)生表示，他們擔(dān)心數(shù)學(xué)課會(huì)很困難，大約三分之一的學(xué)生在做數(shù)學(xué)作業(yè)時(shí)感到緊張。有意思的是，那些數(shù)學(xué)成績差的人不擔(dān)心數(shù)學(xué)，擅長數(shù)學(xué)的人則比較焦慮。2018年，英國的一項(xiàng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，超過四分之三有數(shù)學(xué)焦慮的兒童在數(shù)學(xué)考試中得分正常甚至較高。

說實(shí)話，我覺得大多數(shù)人面對(duì)數(shù)學(xué)時(shí)都會(huì)有點(diǎn)兒緊張，怕自己做錯(cuò)了，怕自己不會(huì)解題，怕自己理解不了一個(gè)概念。只要家長群里有人丟出來一道小學(xué)二三年級(jí)的“奧數(shù)題”，我就會(huì)緊張。這好像是數(shù)學(xué)的應(yīng)有之義，讓你緊張起來，大腦聚焦，快速運(yùn)轉(zhuǎn)。盡管教育專家有“多元智能理論”，但大家對(duì)邏輯數(shù)理智能還是非?？粗?。

《了不起的麥瑟爾夫人》劇照

芭芭拉·奧克利，出生于1955年，她上七年級(jí)的時(shí)候，父親失業(yè)，一家人搬到了一個(gè)較差的學(xué)區(qū)，她遇到了一個(gè)糟糕的數(shù)學(xué)老師。數(shù)學(xué)沿著由加法、減法到乘法和除法的邏輯莊嚴(yán)地攀升，直接通向數(shù)學(xué)之美的天堂。但如果你碰巧錯(cuò)過了邏輯序列的某一個(gè)步驟，數(shù)學(xué)不會(huì)原諒你。芭芭拉的數(shù)學(xué)成績變得糟糕，科學(xué)課也是一竅不通，好在她對(duì)歷史課、文化課感興趣，特別是語言，也就是說她的語言智能非常好。高中畢業(yè)了，芭芭拉參軍，得到了去華盛頓大學(xué)學(xué)俄語的機(jī)會(huì)，大學(xué)畢業(yè)后授少尉軍銜，接受無線電、電纜和電話交換系統(tǒng)的培訓(xùn)，她以墊底的成績完成了培訓(xùn)，然后去了西德，擔(dān)任通信排排長。之后芭芭拉意識(shí)到自己的職業(yè)生涯有問題，“如果我留在軍隊(duì)里，我糟糕的技術(shù)只能是個(gè)二流貨色。如果我離開軍隊(duì)，能用斯拉夫語言和文學(xué)學(xué)位做什么呢？基本上，我會(huì)與數(shù)百萬同樣擁有文學(xué)學(xué)士學(xué)位的人競爭入門級(jí)秘書類型的工作”。

從軍隊(duì)退役后，芭芭拉回華盛頓大學(xué)學(xué)通信工程專業(yè)。她說，這是一個(gè)重塑大腦的過程。后來她去了南極科考站工作，又讀了碩士、博士，在大學(xué)里當(dāng)教授。她寫了一本書A Mind for Numbers，國內(nèi)翻譯成《學(xué)習(xí)之道》，副標(biāo)題很有意思，叫“如何精通數(shù)學(xué)和科學(xué)，即使你的代數(shù)不及格”。她講自己的經(jīng)歷，高中時(shí)數(shù)學(xué)和科學(xué)掛科，26歲才開始學(xué)三角學(xué)，以往認(rèn)定自己與理工科無緣，數(shù)學(xué)成績糟糕讓她“自我設(shè)限”。芭芭拉這本書是講學(xué)習(xí)方法的，她說，解決數(shù)學(xué)和科學(xué)問題，通常比涉及語言的思維模式更復(fù)雜更費(fèi)力，因?yàn)閿?shù)學(xué)更抽象，而且經(jīng)過加密，比如加號(hào)背后的理念就很抽象，乘法符號(hào)象征著重復(fù)的加法，這就是一種“加密”。但數(shù)學(xué)有一個(gè)好處，搞明白數(shù)學(xué)的基本概念比學(xué)習(xí)那些需要死記硬背的科目容易得多。她在書中提到“定勢效應(yīng)”，這是學(xué)生寫作業(yè)時(shí)經(jīng)常出現(xiàn)的絆腳石。簡單來說，你的想法與實(shí)際解決方案相去甚遠(yuǎn)，但你沒法扔掉你錯(cuò)誤的舊想法，沒法接受或者產(chǎn)生一個(gè)能解決問題的新想法?！岸▌菪?yīng)”也就是我們常說的“笨”或者“不開竅”。

《小謝爾頓》劇照

我在讀這本書的時(shí)候，有一個(gè)疑惑，芭芭拉原來數(shù)學(xué)成績不好，可能跟她頻繁搬家有關(guān)，她在上十年級(jí)之前搬了十次家，這大概影響了她的學(xué)習(xí)。我還有一個(gè)疑惑，那就是一個(gè)人年少時(shí)數(shù)學(xué)不好，但隨著心智變得成熟，會(huì)不會(huì)就開竅了呢？學(xué)語言搞翻譯對(duì)數(shù)學(xué)思維就沒用嗎？多種智能之間就不能互相幫助嗎？

有一個(gè)叫杰森·威爾克斯的人，寫過一本書叫《燒掉數(shù)學(xué)書：重新發(fā)明數(shù)學(xué)》，他說自己初等代數(shù)的成績是C，三角函數(shù)的成績是C，提起正弦、余弦這些詞就心生恨意，中學(xué)數(shù)學(xué)對(duì)他來說就是專制無聊，高中臨近畢業(yè)時(shí)，他慶幸自己再也不用上數(shù)學(xué)課了。高三那年，威爾克斯在書店里翻一本微積分教材，書中的語言很平實(shí)——直的東西比彎曲的東西更容易對(duì)付，但如果你放得足夠大，彎曲的東西的每一個(gè)小部分看上去都像是直的，你要想象，不斷放大，在比較容易的微觀層面解決問題，然后再縮小回去，你就把問題解決了。威爾克斯說他為這個(gè)思想著迷，他覺得微積分比較容易，而微積分的預(yù)備知識(shí)比如代數(shù)、三角和對(duì)數(shù)這些概念卻很難，他領(lǐng)略到了微積分的有趣：球的體積的導(dǎo)數(shù)就是它的表面積，圓的面積的導(dǎo)數(shù)就是它的周長。這本書讓他開竅了，他上了數(shù)學(xué)系，拿到了數(shù)學(xué)物理的碩士學(xué)位，然后攻讀進(jìn)化心理學(xué)的博士學(xué)位。

《天才少女》劇照

這樣的故事很多：骨骼清奇的少年在書店里碰到了一本“如來神掌”一般的秘笈，然后打開了數(shù)理世界的大門。我可以順手講兩個(gè)。

1959年8月，14歲的侯世達(dá)跟著爸爸逛書店，他看到了一本書叫《哥德爾證明》，書中有許多誘人的圖形和公式?！坝捎谥庇X感到《哥德爾證明》好像注定和我有關(guān)聯(lián)，我必須買下這本書?！焙钍肋_(dá)回家就看書，“從頭到尾，這本書都和我激情共鳴，我開始沉迷于真與假、悖論與證明、映射與反射、符號(hào)操作和符號(hào)邏輯、數(shù)學(xué)與元數(shù)學(xué)、人類思想創(chuàng)造性飛躍的奧秘和智能的機(jī)制等問題的思考之中?！焙钍肋_(dá)的爸爸是斯坦福大學(xué)物理教授，得過諾貝爾獎(jiǎng)，他認(rèn)識(shí)《哥德爾證明》一書的作者，沒多久兩家人就聚在一起。侯世達(dá)后來學(xué)了數(shù)學(xué)，還得了物理學(xué)博士學(xué)位。

再講一個(gè)。1971年，16歲的李·斯莫林上高中了，他對(duì)政治、搖滾樂感興趣，老師覺得他不夠聰明，勸他不要選高階的數(shù)學(xué)課程。為了證明老師錯(cuò)了，他高一那年把高中數(shù)學(xué)學(xué)完了，高二那年他對(duì)建筑產(chǎn)生濃厚興趣。高三那年，他喜歡的搖滾樂隊(duì)解散了，女朋友跟他分手了，他的化學(xué)不及格，也沒選物理課，他想退學(xué)。這時(shí)候，他在圖書館里看到一本書《愛因斯坦：哲學(xué)家—科學(xué)家》，讀這本書的當(dāng)天晚上，斯莫林說他“心里浮現(xiàn)出這樣的念頭，如果我這輩子不能做其他的事情，那么我也許可以成為一名理論物理學(xué)家”。因?yàn)槲锢韺W(xué)比愛情穩(wěn)定寬廣。

《天才基本法》劇照

這兩個(gè)故事會(huì)不會(huì)激發(fā)中小學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)和物理呢？心理學(xué)家說，不，這樣的故事會(huì)催生“數(shù)學(xué)焦慮”。圍繞數(shù)學(xué)有太多神話了，這會(huì)使人們對(duì)數(shù)學(xué)感到焦慮。數(shù)學(xué)的神話是由數(shù)學(xué)天才滋養(yǎng)的，好像只有天選之人才是“數(shù)學(xué)人”，如果你處理數(shù)字時(shí)感到害怕，就覺得自己不是一個(gè)數(shù)學(xué)人，然后得出結(jié)論，你永遠(yuǎn)不會(huì)喜歡數(shù)學(xué)。你看，侯世達(dá)的爸爸是物理教授，楊振寧的爸爸是數(shù)學(xué)教授，斯莫林想學(xué)物理的時(shí)候已經(jīng)被建筑系錄取了，他們是天才。心理學(xué)家說，克服數(shù)學(xué)焦慮的第一步就是提醒自己，數(shù)學(xué)不是屬于那些天才的，任何人都可以至少做一些數(shù)學(xué)，放下壓力，有助于緩解你的焦慮。換言之，數(shù)學(xué)當(dāng)然是屬于那些天才的，但你中小學(xué)學(xué)的那點(diǎn)兒數(shù)學(xué)都是五百年前的東西了，你應(yīng)該至少做到及格。

心理學(xué)家還說，與人文學(xué)科不同，數(shù)學(xué)通常被視為一門要么對(duì)要么錯(cuò)的學(xué)科，這會(huì)造成壓力。斯坦福大學(xué)有一個(gè)免費(fèi)在線課程“如何學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)”，其中有一個(gè)思維方式的練習(xí)，它要求你在腦子里做18×5。每個(gè)人都會(huì)以略微不同的方式解決這個(gè)問題。專家建議，花時(shí)間嘗試想出幾種不同的方法來解決一個(gè)簡單的數(shù)學(xué)問題，這將幫助你擺脫正確或錯(cuò)誤的心態(tài)，開始享受數(shù)學(xué)的解題過程。把數(shù)學(xué)當(dāng)作開放式的問題去教，重視不同的想法，甚至重視錯(cuò)誤時(shí)，學(xué)生不會(huì)產(chǎn)生那么多的焦慮。

《小舍得》劇照

看上去，心理學(xué)家為各種學(xué)習(xí)困難找到了足夠多的借口。不過，杰森·威爾克斯的《燒掉數(shù)學(xué)書》中也提到要教一些“錯(cuò)誤的”東西。他說，從小學(xué)到博士后的各級(jí)數(shù)學(xué)課程中都缺失重要的一環(huán)，那就是對(duì)模糊和混亂的創(chuàng)造過程的描述，如果不講數(shù)學(xué)思想的創(chuàng)造過程，學(xué)生就無法領(lǐng)略數(shù)學(xué)的優(yōu)雅和美麗，“我們要像講故事一樣去寫教科書，要讓書中的角色被難住，不知道下一步該往哪里走”。

保羅·洛克哈特是一位數(shù)學(xué)家，曾在加州大學(xué)伯克利分校任教。他14歲時(shí)對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣，不是學(xué)校的數(shù)學(xué)課啟發(fā)了他，而是課外閱讀讓他迷上了數(shù)學(xué)。他對(duì)學(xué)校教育一直不滿，后來他寫了一本書叫《一個(gè)數(shù)學(xué)家的嘆息》，然后真的跑到紐約一所K12學(xué)校去講數(shù)學(xué)課了。

《天才基本法》劇照

洛克哈特非常反感用講故事的方式來講數(shù)學(xué)，他說，數(shù)學(xué)的美就在于它跟日常生活沒關(guān)系。學(xué)校為了讓孩子學(xué)會(huì)計(jì)算圓的周長和圓的面積，會(huì)編一套圓周先生和面積太太的對(duì)話，但這是最無聊的故事。好的數(shù)學(xué)故事來自數(shù)學(xué)史，要講清楚圓，就要講數(shù)學(xué)史上人類為了測量曲線所做的種種努力，要講窮竭法。

這種理念頗有挑戰(zhàn)。小孩子理解幾何形狀和邊的概念，會(huì)知道三角形有三條邊，四邊形有四條邊，知道五邊形六邊形乃至正十二邊形正十七邊形，但圓有幾條邊？這是一個(gè)很難的問題，一般來說，我們?yōu)榱藞D省事，都會(huì)說圓有一條邊，但這條邊是曲線。我們很難跟小孩子解釋說，如果你把邊理解為一條線段，那么圓有無數(shù)條邊，多邊形的邊數(shù)越多，其形狀、周長、面積就越接近于圓。所以，我們可以把圓看成是由無數(shù)個(gè)線段組成的正多邊形，圓是一種概念性的圖形。你如果這樣跟孩子解釋，孩子能理解嗎？

《做不會(huì)的題》劇照

洛克哈特說要講圓的面積和周長，就要講歐多克索斯、阿基米德和數(shù)學(xué)史上的窮竭法。歐多克索斯是公元前400年的古希臘數(shù)學(xué)家，他對(duì)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要貢獻(xiàn)是建立了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)母F竭法，并用它證明了一些重要的求積定理。中國古代也有割圓為方的數(shù)學(xué)思想，就是用圓內(nèi)接正多邊形的面積去無限逼近圓面積。但窮竭法、割圓為方，涉及極限和無限小的概念，如果沿著這個(gè)思路講下去，就會(huì)講到微積分。

話說至此，可以看出洛克哈特的教育理念有一定的危險(xiǎn)性。你要跟著他學(xué)數(shù)學(xué)，應(yīng)付中考高考怕是會(huì)出問題，但如果你對(duì)數(shù)學(xué)感興趣，愿意在數(shù)學(xué)中獲得更多的樂趣，那洛克哈特是一個(gè)很好的老師。洛克哈特認(rèn)定，中小學(xué)數(shù)學(xué)課存在大量問題，讓孩子記下一堆公式和定理，然后不斷做題，這種機(jī)械的教育不能讓孩子領(lǐng)略數(shù)學(xué)的美，好的教育方式是要讓孩子置身于數(shù)學(xué)問題之中，由一個(gè)問題引向另一個(gè)問題，從中發(fā)展出數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)技巧。為了驗(yàn)證他的教學(xué)理念，他還寫了一本書叫《度量：一首獻(xiàn)給數(shù)學(xué)的情歌》，從大小和形狀這樣的基本概念出發(fā)，一路講到了微分方程。

像洛克哈特這樣的教學(xué)方法，能讓更多的孩子喜歡數(shù)學(xué)嗎？我覺得數(shù)學(xué)教材還是照顧了大多數(shù)學(xué)生的能力和心智發(fā)展速度，杰森·威爾克斯的《燒掉數(shù)學(xué)書：重新發(fā)明數(shù)學(xué)》和洛克哈特的《度量：一首獻(xiàn)給數(shù)學(xué)的情歌》還是更適合當(dāng)課外讀物。

《大盜查理》劇照

數(shù)學(xué)家怎么看待數(shù)學(xué)焦慮這件事呢？美國數(shù)學(xué)家史蒂芬·斯托加茨（Steven Strogatz）說，數(shù)學(xué)與做題速度無關(guān)，許多數(shù)學(xué)家都很慢，聰明人可以快速解決簡單的問題，但他們會(huì)花很多時(shí)間解決更困難的問題。當(dāng)面對(duì)數(shù)學(xué)問題時(shí)，一旦你接受了答案并不在快慢，你就會(huì)放松。另一位數(shù)學(xué)家烏瑞·崔斯曼（Uri Treisman）注意到，許多學(xué)生在加州大學(xué)伯克利分校的微積分課上不及格。經(jīng)過調(diào)查，他發(fā)現(xiàn)成績好的學(xué)生經(jīng)?；ハ嗾?wù)摂?shù)學(xué)并一起做作業(yè)，他稱之為協(xié)作學(xué)習(xí)。根據(jù)崔斯曼的見解，學(xué)生一起討論數(shù)學(xué)問題是有益的。即使你不是學(xué)生，也應(yīng)該讓數(shù)學(xué)成為一種共享體驗(yàn)，你需要學(xué)習(xí)一個(gè)基本的數(shù)學(xué)原理，然后教給別人。數(shù)學(xué)家建議家長翻閱小學(xué)或中學(xué)數(shù)學(xué)書，在線觀看數(shù)學(xué)課程，然后輔導(dǎo)你的孩子，解決這些問題?！皡f(xié)作學(xué)習(xí)”可以提高你在數(shù)學(xué)中的“自我效能感”。通常，如果我們的數(shù)學(xué)成績不好，我們的自我效能感很低，這種記憶會(huì)跟隨你。重做作業(yè)、練習(xí)你現(xiàn)在擅長的數(shù)學(xué)或幫助他人學(xué)習(xí)都有助于使數(shù)學(xué)更有趣，減少焦慮。當(dāng)然，克服數(shù)學(xué)焦慮并不意味著數(shù)學(xué)不難，也不意味著你會(huì)在一夜之間成為數(shù)學(xué)天才，重要的是你對(duì)數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的感受會(huì)發(fā)生變化。