歷時(shí)十二年國(guó)際權(quán)威研究告訴你最有用的九條數(shù)學(xué)啟蒙技巧

上個(gè)世紀(jì)末，由美國(guó)國(guó)家研究院行為科學(xué)、社會(huì)科學(xué)和教育委員會(huì)學(xué)習(xí)科學(xué)開發(fā)項(xiàng)目委員會(huì)主持了一個(gè)課題，由16位國(guó)際著名學(xué)習(xí)研究專家教授，通過美國(guó)10多所大學(xué)研究機(jī)構(gòu)，對(duì)人類學(xué)習(xí)進(jìn)行了研究，覆蓋多門學(xué)科（如科學(xué)、數(shù)學(xué)和歷史），最終總結(jié)報(bào)告匯總成一本書《人是如何學(xué)習(xí)的——大腦、心理、經(jīng)驗(yàn)及學(xué)校》。

在此后10年里，美國(guó)科學(xué)研究委員會(huì)行為及社會(huì)科學(xué)與教育分會(huì)，又由十多位專家學(xué)者參與研究實(shí)踐，將上面這本書中的理論付諸實(shí)踐，應(yīng)用于教學(xué)領(lǐng)域，并在2010年編寫完成了另一本書《學(xué)生是如何學(xué)習(xí)的——課堂中的數(shù)學(xué)》（實(shí)際上是一套書，這只是數(shù)學(xué)這個(gè)學(xué)科的實(shí)踐總結(jié)）。

這兩本書，就是今天內(nèi)容的基礎(chǔ)與概括

我本人在數(shù)學(xué)教學(xué)領(lǐng)域里有十年的經(jīng)驗(yàn)了，一直在研發(fā)和教學(xué)一線，雖然我對(duì)理論研究有濃厚興趣，但更希望理論是能夠付諸實(shí)踐的，也因此我更注重提供給家長(zhǎng)、教師的是可以落地操作的指南。
 

我也盡可能將操作指南總結(jié)得簡(jiǎn)潔易懂，但是基于數(shù)學(xué)教育本身的專業(yè)性，其中不能避免會(huì)有專業(yè)術(shù)語(yǔ)，我也羅列了幾篇過去寫的文章作為參考，里面有一些具體的實(shí)例，幫助大家理解。

最不能被忽略的三條見解

（實(shí)際上經(jīng)常在學(xué)校和家庭教育中被忽略）

見解1：數(shù)學(xué)不是一門關(guān)于數(shù)字而是關(guān)于數(shù)量的學(xué)問

見解2：口頭的數(shù)詞與書面的數(shù)字符號(hào)之間需要建構(gòu)聯(lián)結(jié)

見解3：獲得對(duì)數(shù)的理解是一個(gè)漫長(zhǎng)、漸進(jìn)的過程

以上三個(gè)見解，來(lái)自于《課堂中的數(shù)學(xué)這本書》，我有調(diào)整部分語(yǔ)句，便于理解。這三條無(wú)論從國(guó)際研究，還是各國(guó)教育實(shí)踐，抑或是我的教學(xué)實(shí)踐來(lái)講，都是數(shù)學(xué)啟蒙起步階段的核心，也可以用來(lái)解釋許多家長(zhǎng)困惑的問題。

比如：

孩子能夠數(shù)到100,卻不能夠順利做對(duì)10以內(nèi)加減法；

口頭解決一道簡(jiǎn)單的應(yīng)用題可以，但是落到寫算式，卻不會(huì)寫；

帶有括號(hào)的運(yùn)算不會(huì)做，混合運(yùn)算中帶有括號(hào)更搞不清楚符號(hào)含義；

到了一年級(jí)下，仍然不能夠掌握100以內(nèi)進(jìn)退位運(yùn)算。

家長(zhǎng)很困惑這些問題，又不知道怎么幫助孩子，或者試圖通過多做題，背誦規(guī)則口訣，來(lái)讓孩子強(qiáng)行記住，熟練化。雖然說(shuō)重復(fù)練習(xí)有一定作用，但仍然不能解決深層次概念缺失的弊端。要想一勞永逸，而且在未來(lái)數(shù)學(xué)可以表現(xiàn)得更好，就要特別重視“數(shù)量表征”這件事。

數(shù)量表征，符號(hào)表征，算式表征，是連續(xù)的三個(gè)概念，分階段學(xué)習(xí)理解，對(duì)于學(xué)齡前到一年級(jí)孩子是非常有必要的。別忘記，數(shù)概念的建構(gòu)是非常緩慢的，但是這也是整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，值得也應(yīng)該花那么多時(shí)間下去不是嗎？

那么具體到，應(yīng)該如何輔導(dǎo)幫助孩子呢？家長(zhǎng)們可能有些困惑，可能覺得自己除了平鋪直敘告訴孩子如何做題，就不知道還需要做什么，也不知道重點(diǎn)應(yīng)該放在哪里。不要緊，下面同樣來(lái)自于《學(xué)生如何學(xué)習(xí)——課堂中的數(shù)學(xué)》這本書，有6種設(shè)計(jì)原則可以為家長(zhǎng)們提供非常有用的工具，這里，同樣為了方便家長(zhǎng)操作理解，我將原書中實(shí)際針對(duì)教學(xué)的設(shè)計(jì)原則，盡量轉(zhuǎn)換成家長(zhǎng)能夠理解和實(shí)踐的家庭操作指南（因?yàn)樵瓡械脑O(shè)計(jì)更適用于學(xué)校課堂教學(xué)）。

操作指南1：向兒童揭示數(shù)表征的主要形式

（也是學(xué)校和家庭做得還不夠豐富的地方）

前面見解1已經(jīng)向我們強(qiáng)調(diào)，數(shù)學(xué)不是關(guān)于數(shù)字的學(xué)問，孩子光會(huì)數(shù)數(shù)，記住了加法的得數(shù)，并不代表他們理解了數(shù)量。比如數(shù)字3代表什么？在數(shù)學(xué)上的含義，可以是3棵樹，3只飛鳥，也可以是看不見的事物。

關(guān)于通過聲音來(lái)向兒童揭示數(shù)量表征的游戲例子：

學(xué)習(xí)計(jì)數(shù)為什么要拿塊真實(shí)的豆腐切切看說(shuō)說(shuō)“我愛你”

下圖是從視覺空間結(jié)構(gòu)的角度來(lái)展示，數(shù)量可以表征的形式有這樣幾種。

如果你覺得這種表達(dá)方式太抽象，可以看我在數(shù)學(xué)微課一階段中，特別為家庭輔導(dǎo)設(shè)計(jì)的“數(shù)量表征”的六大領(lǐng)域。同時(shí)，上圖中的線領(lǐng)域和天空領(lǐng)域，可以通過“數(shù)軸”或“柱狀圖”來(lái)理解，環(huán)形領(lǐng)域可以通過“鐘表”來(lái)理解。在數(shù)學(xué)微課的一階段第二周期中，我特別強(qiáng)調(diào)規(guī)律模式的空間結(jié)構(gòu)，其中就包括了環(huán)形的“順時(shí)針”“逆時(shí)針”規(guī)律。

操作指南2：為兒童提供理解“符號(hào)”和“算式”的情景邏輯

（在傳統(tǒng)觀念中基本上會(huì)被忽略的步驟）

傳統(tǒng)觀念中，孩子會(huì)數(shù)數(shù)之后，家長(zhǎng)就會(huì)直接教孩子1＋2等于幾，4＋5等于幾。在孩子理解數(shù)量后，是不是直接可以這樣進(jìn)行加減法運(yùn)算了呢？其實(shí)還不夠，兒童都還不知道“加”是什么意思，“減”是什么意思，他們需要一個(gè)重要的過程：理解什么是運(yùn)算符號(hào)，什么是算式。一些故事情景可以體現(xiàn)運(yùn)算的邏輯，在孩子純粹做算術(shù)前，是非常重要的啟蒙。

在書中有提供這樣一個(gè)例子：加法小狗。成人和孩子散步（帶著裝有甜餅的餐盒），路上遇到“加法小狗”（卡片），卡片上標(biāo)注給了兒童一塊小甜餅，兒童打開餐盒放一塊甜餅進(jìn)去，并蓋上蓋子，并解決一個(gè)問題：現(xiàn)在餐盒里面有多少快甜餅了？

這樣的情景，在我們智慧的家長(zhǎng)眼里，算不上什么高明的情景設(shè)置，不妨可以看看其他家長(zhǎng)的分享，精彩紛呈。

家長(zhǎng)實(shí)踐分享：如何在生活中融入數(shù)學(xué)啟蒙
 

這個(gè)例子只是在說(shuō)明，情景具有兒童可以理解的邏輯，并且“符號(hào)”對(duì)應(yīng)了動(dòng)作，這就是符號(hào)表征，并進(jìn)一步通過內(nèi)心操作，獲得答案，從而為后面孩子直接接觸紙面運(yùn)算打下基礎(chǔ)。

關(guān)于孩子學(xué)會(huì)計(jì)算前要掌握的概念有哪些，家長(zhǎng)可以看另一篇文章參考：

和登月媲美：兒童學(xué)會(huì)加減法前必備的六個(gè)數(shù)量概念
 

操作指南3：利用視覺空間結(jié)構(gòu)幫助兒童理解數(shù)數(shù)關(guān)系與結(jié)構(gòu)

（關(guān)系與結(jié)構(gòu)基本上是現(xiàn)今數(shù)學(xué)教育中最缺乏的）

數(shù)學(xué)是有關(guān)數(shù)量之間關(guān)系的學(xué)問，關(guān)系又是以邏輯為前提的。所以，我們教孩子數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系，相當(dāng)于在教他們邏輯。數(shù)字網(wǎng)絡(luò)關(guān)系是我在微課中特別強(qiáng)調(diào)的，家長(zhǎng)可以把這一條理解為“數(shù)感”的培養(yǎng)。我用下面微課中的這張圖來(lái)說(shuō)明數(shù)字網(wǎng)絡(luò)關(guān)系～

這個(gè)結(jié)構(gòu)已經(jīng)體現(xiàn)了就數(shù)字“7”來(lái)講，從數(shù)量概念、運(yùn)算邏輯上來(lái)講，會(huì)產(chǎn)生什么樣的聯(lián)想，兒童對(duì)于這個(gè)數(shù)字的熟悉度，要達(dá)到如此網(wǎng)絡(luò)式的分布，其中需要很多步驟的訓(xùn)練和引導(dǎo)。

假如我們只是讓孩子每天做50道加減題，孩子做每一道題目的時(shí)候都只是依靠直覺聯(lián)想，通過記憶來(lái)寫下答案，目的是為了提升準(zhǔn)確度和速度。這期間，其實(shí)孩子壓根兒沒有把關(guān)聯(lián)性的運(yùn)算考慮在內(nèi)，所以結(jié)果就是，做再多題目，但是數(shù)感依然不好。

有效的做法是，跟孩子一起研究數(shù)字的組成，分分合合，研究算式之間的關(guān)聯(lián)，3＋3與2＋3之間有什么不同，結(jié)果又有什么不同，為什么會(huì)產(chǎn)生這樣的變化等等。這些變化以及數(shù)字的關(guān)系，又可以通過視覺圖形結(jié)構(gòu)的方式呈現(xiàn)出來(lái)，這種圖像結(jié)構(gòu)要盡可能簡(jiǎn)單，比如數(shù)軸；又可以貼合數(shù)字之間整體部分關(guān)系，比如下圖。

操作指南4：調(diào)動(dòng)情緒，激發(fā)想象，情景游戲的重要性

（融入生活是最佳的方式）

這一條說(shuō)明了，為什么我認(rèn)為就數(shù)學(xué)啟蒙階段來(lái)講，家庭的輔導(dǎo)是最為有效的，因?yàn)榧议L(zhǎng)可以和孩子一對(duì)一相處，有具體生活場(chǎng)景的，生動(dòng)而豐富的，在親子互動(dòng)的氛圍中，很容易激發(fā)和調(diào)動(dòng)孩子的興趣情緒，又可以不露痕跡地引導(dǎo)，可謂是非常有優(yōu)勢(shì)的教學(xué)方式。

之前我給家長(zhǎng)答疑時(shí)，有這么一段可以提供參考：

學(xué)齡前兒童不露痕跡的引導(dǎo)案例
 

這里我也要特別強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)，家庭啟蒙之所以高效，一因?yàn)榭梢运槠M(jìn)行，二可以隨時(shí)隨地調(diào)整，中斷或繼續(xù)都可以。所以，家庭啟蒙，不要如同學(xué)校班級(jí)上課一樣，不達(dá)目的不罷休，對(duì)于家庭中的父母與孩子來(lái)講，有的是時(shí)間，要學(xué)習(xí)抓住一切機(jī)會(huì)，也要學(xué)習(xí)如何“斷點(diǎn)續(xù)傳”。

下面這個(gè)例子是來(lái)自我數(shù)學(xué)微課班級(jí)的睿睿媽媽，大家可以看到一個(gè)目標(biāo)可以分解到2－3天里完成。

在學(xué)習(xí)大陸老師拆分?jǐn)?shù)字的游戲這一課時(shí)，有一句話深深得印在我腦子里——“建構(gòu)合理的分割理由”，這句話對(duì)我的啟發(fā)很大。因此，在給兒子玩第三階段“在數(shù)軸上做加法+1，+2時(shí)，我先讓兒子玩了在數(shù)軸上找“數(shù)寶寶”的游戲，說(shuō)：“數(shù)軸上有些數(shù)寶寶藏起來(lái)了，你能把他們找出來(lái)嗎？”（這個(gè)游戲在第二階段中也玩過，兒子非常喜歡）。然后我把數(shù)軸豎過來(lái)，對(duì)兒子說(shuō)：“我們?cè)谕鏀?shù)軸上乘電梯的游戲吧！我在一樓，想再乘一層樓，現(xiàn)在到了幾樓？”一邊說(shuō)一邊畫一條弧線，然后寫出算式1+1=2。解釋：一樓再乘一樓到了2樓。以此引入越來(lái)越多的+1（一樓一樓地往上爬）的加法算式。

等孩子熟悉這個(gè)情境后，我把數(shù)軸橫過來(lái)放，引入了更多靈活的+1算式（如從最樓再乘一樓到最樓）和+2的算式（如從最樓再乘2樓到最樓）。在第二、第三天的“乘電梯”游戲中，我們玩了更多的算式，例如：把0這個(gè)位置想成“地下車庫(kù)”，從地下車庫(kù)作為起點(diǎn)開始乘電梯；從最樓開始乘3樓到最樓等。

在整個(gè)過程中，我會(huì)不時(shí)地加入一些情境，如分糖果給鄰居，如傳遞消息給鄰居，盡可能“建構(gòu)合理的做加法運(yùn)算的理由”。謝謝大陸老師一年來(lái)的陪伴，學(xué)了很多真正易于孩子發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的理念和方法。

操作指南5：讓兒童多策略進(jìn)行計(jì)算并逐步提高數(shù)字關(guān)聯(lián)

（這是摸透概念的必經(jīng)之路）

我們一直聽說(shuō)“一題多解”很好，到底為什么，其實(shí)并沒有說(shuō)得很清楚。這里我用“多策略”來(lái)代替一題多解，要說(shuō)明的是兒童天生具有原始策略，比如最初做加法時(shí)，孩子通過點(diǎn)數(shù)或者掰手指來(lái)計(jì)數(shù)，就是一種原始策略，這種原始策略從口頭過渡到紙面符號(hào)運(yùn)算（回過去看一下見解2,口頭到符號(hào)的聯(lián)結(jié)），就會(huì)表現(xiàn)在，加法可以拆解為＋1＋1＋1這樣的形式，這雖然不是最優(yōu)策略，但同樣也是策略。

多策略的一個(gè)目的，我指的是尤其在數(shù)學(xué)啟蒙初級(jí)階段，很重要的功能在于幫助孩子將細(xì)微的概念搞清楚，如果我們不分解到足夠細(xì)，或者允許孩子用各種策略，就很容易掩蓋錯(cuò)誤和缺失。要知道兒童可以通過強(qiáng)大的記憶，記住很多事情，然而如果你僅僅依靠答案來(lái)判定兒童理不理解，顯然會(huì)漏掉很多內(nèi)心你看不到的信息。

所以，我通常會(huì)提供家長(zhǎng)很多方案，運(yùn)用不同工具去練習(xí)計(jì)算，從不同側(cè)面不同角度去訓(xùn)練，在整個(gè)過程中，可以增加挑戰(zhàn)難度，或者根據(jù)孩子對(duì)數(shù)量建構(gòu)的程度，逐步增大數(shù)字運(yùn)算。整個(gè)過程，非常強(qiáng)調(diào)概念與運(yùn)算要保持一致性。

（從上面的課程設(shè)計(jì)可以看到，學(xué)會(huì)加減法，要達(dá)到運(yùn)算流暢，概念扎實(shí)是不容易的，需要經(jīng)過很多步驟的淬煉，家長(zhǎng)越是耐心細(xì)致引導(dǎo)，后面孩子的收獲越大，所以一定要放慢腳步，穩(wěn)扎穩(wěn)打。）

《課堂中的數(shù)學(xué)》一書中提供的幼兒園到小學(xué)低年級(jí)的核心概念目標(biāo)，見下圖?？赡軐?duì)于中國(guó)兒童來(lái)講，某些學(xué)校的進(jìn)度會(huì)較快，更難，這就更需要孩子在前期打基礎(chǔ)時(shí)，要著重弄通概念結(jié)構(gòu)，促進(jìn)推而廣之，舉一反三。

操作指南6：引導(dǎo)兒童運(yùn)用元認(rèn)知能力描述思維過程

（如果想弄清楚孩子問題在哪里必須要做的事）

成人有時(shí)候很矛盾，一方面很困惑，搞不清孩子時(shí)而對(duì)，時(shí)而錯(cuò)的原因；孩子做對(duì)了，又覺得沒有用最好的策略；覺得有時(shí)候是馬虎粗心，但是又苦惱于搞不懂為什么。很多問題成人想了，但是沒有去問孩子。

最后一個(gè)操作指南在告訴成人，你要學(xué)會(huì)去探究孩子的思想。一道題目他是怎么思考的，做出來(lái)是怎么想的，做不出來(lái)又想了些什么，麻煩你要?jiǎng)觿?dòng)口，與孩子交流交流。

小技巧就在于，不要總是抱著評(píng)判（評(píng)估）的心，只是去查看答案對(duì)不對(duì)，做出來(lái)沒有，而要抱著好奇的心，哪怕是對(duì)了，也應(yīng)該問問孩子，你是怎么想的，剛才你的策略很好，能不能跟我講一講。

對(duì)于兒童來(lái)講，當(dāng)他開始描述自己的思維過程時(shí)，就啟動(dòng)了逆向思維，他需要去追溯他思想的來(lái)源，怎么一步步走到這里的，他要描述清楚，也更需要概括能力，以及清晰的思路，所以如果你經(jīng)常性采用這種方式，孩子漸漸也會(huì)養(yǎng)成回溯自己思維的習(xí)慣，他們會(huì)漸漸變得內(nèi)省，也能通過這種方式，二次理清思緒，并逐漸提升他們的思維能力。