2015
Go Math！是美國近期出版的幼兒園到初中完整數(shù)學(xué)教科書體系（2016），由美國著名教科書出版社 Houghton Mifflin Harcourt （霍頓米夫林哈考特出版社 "HMH"）根據(jù)美國新科學(xué)教育大綱CCSS編寫，反映了美國K-12數(shù)學(xué)教育前沿的理念、方法和內(nèi)容；這些理念、方法和我們的數(shù)學(xué)教育存在很大差異。
關(guān)于美國的數(shù)學(xué)教育、數(shù)學(xué)教科書，我們已經(jīng)研究了快一年。我們認(rèn)為，中國的孩子能通過 Go Math 這樣的美國主流數(shù)學(xué)教材補(bǔ)上中國數(shù)學(xué)教育缺失的重要部分，從中收獲嶄新的數(shù)學(xué)思路、打下堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，并在這個(gè)過程中掌握數(shù)學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)英語表達(dá)方式！
這樣系統(tǒng)的美國數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)孩子未來發(fā)展，將是無價(jià)之寶?，F(xiàn)代的自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)（如經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會(huì)學(xué)），都需要建立在堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上。哪怕高考數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)不錯(cuò)，很多孩子進(jìn)大學(xué)后，發(fā)現(xiàn)很難理解微積分、線性代數(shù)、統(tǒng)計(jì)學(xué)等高等數(shù)學(xué)領(lǐng)域的內(nèi)容。究其原因，還是因?yàn)槲覀儗?duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)概念的掌握并不到位；那么多年，做了那么多題后，很多人終究沒有明白數(shù)學(xué)是什么，為什么要學(xué)數(shù)學(xué)？
還記得大學(xué)時(shí)那些讓你頭暈?zāi)垦５奈⒎e分么？
幸運(yùn)的是，這一代的孩子有更好的機(jī)會(huì)！把學(xué)校的數(shù)學(xué)教育和 Go Math 所代表的美國數(shù)學(xué)教育理念結(jié)合，將為孩子打下真正牢固的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。這套書雖然厚重，但對(duì)中國孩子來說，使用難度并不高。孩子們可以將已有的優(yōu)勢(shì)（運(yùn)算、解題）和書中處處體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思維結(jié)合，從數(shù)學(xué)“技工”成長(zhǎng)為真正能用數(shù)學(xué)去解決問題、發(fā)明創(chuàng)造的人。
決心開始帶孩子用 Go Math，會(huì)是一次經(jīng)過認(rèn)真考慮的選擇。所以今天的介紹，會(huì)比較長(zhǎng)，有6個(gè)部分，讀下來需要一點(diǎn)耐心：
1、理念：為什么美國數(shù)學(xué)值得學(xué)
2、價(jià)值：彌補(bǔ)國內(nèi)數(shù)學(xué)教育的5項(xiàng)短板
3、英語：學(xué)會(huì)用英文方式準(zhǔn)確表述數(shù)學(xué)問題
4、內(nèi)容：每個(gè)年級(jí)都在學(xué)什么
5、適用：為什么中國孩子反而可以用的輕松用的好
一、為什么美國數(shù)學(xué)值得學(xué)？
從小到大，數(shù)學(xué)可以說是我們中國孩子非常重要的一門課；到高中畢業(yè)，我們要花費(fèi)12年以上光陰去和數(shù)學(xué)玩“智力游戲”。吊軌的是，長(zhǎng)大后，對(duì)大多數(shù)人來說，除了簡(jiǎn)單的四則運(yùn)算，數(shù)學(xué)不再和我們有關(guān)系；那些復(fù)雜的數(shù)學(xué)公式、運(yùn)算技巧，也隨風(fēng)而去，基本忘光。
很多人不禁在問：除了應(yīng)付考試、升學(xué)，學(xué)數(shù)學(xué)的意義究竟在哪里？我為什么要學(xué)這些概念、公式？
這樣的問題，美國的數(shù)學(xué)教育從幼兒園開始就試圖去回答；他們的數(shù)學(xué)教育理念，思路和我們大不一樣！
說到美國數(shù)學(xué)教育理念，不得不提美國2010年發(fā)布的新課標(biāo)CCSS（Common Core State Standards）。CCSS定義了美國中小學(xué)英語和數(shù)學(xué)教育標(biāo)準(zhǔn)。我們熟悉的 Wonders 就是根據(jù)這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)來編寫的英語教材，而今天的 Go Math，就是根據(jù)CCSS編寫的主流數(shù)學(xué)教科書，美國有大約70%的學(xué)校在用。
注：美國孩子從小到大，有四門主線課程：英語（English language arts / literacy），數(shù)學(xué)（Mathematics），科學(xué)（Science）和社會(huì)人文（Social Studies）。
CCSS數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)要求K-12學(xué)生有序而系統(tǒng)地掌握一系列數(shù)學(xué)技能、數(shù)學(xué)概念，特別鼓勵(lì)學(xué)生用數(shù)學(xué)解決現(xiàn)實(shí)問題。
The Common Core concentrates on a clear set of math skills and concepts. Students will learn concepts in a more organized way both during the school year and across grades. The standards encourage students to solve real-world problems.
CCSS所反映的美國數(shù)學(xué)教育理念中，特別強(qiáng)調(diào)“數(shù)學(xué)理解 - mathematical understanding"的重要性。
數(shù)學(xué)教育，要同時(shí)注重運(yùn)算技能（procedural skills）和理解（mathematical understanding）。如果缺乏理解，這個(gè)學(xué)生就會(huì)過度依賴計(jì)算技巧，由此在解決一個(gè)問題時(shí)，他們的思考是非常單一和片面的：
他們不會(huì)充分考慮到可類比情況（analogous situations），不會(huì)努力去連貫而完整地表達(dá)問題（represent problems coherently），不能說服別人接受自己的結(jié)論（justify conclusions），不會(huì)用數(shù)學(xué)去解決實(shí)際問題，在解決技術(shù)問題時(shí)不擅長(zhǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)手段，不能向其他人把數(shù)學(xué)講清楚，也不能冷靜審視自己的解決方案是否好，更不會(huì)嘗試用常規(guī)以外的方法另辟捷徑 ...
一句話，數(shù)學(xué)理解的短缺，使得這個(gè)學(xué)生無法進(jìn)行有效的數(shù)學(xué)實(shí)踐（math practices）。
那么，一個(gè)數(shù)學(xué)好的孩子應(yīng)該具備什么樣的能力呢？CCSS標(biāo)準(zhǔn)也說得很清楚：
遇到一個(gè)數(shù)學(xué)問題時(shí)，數(shù)學(xué)好的學(xué)生首先會(huì)問自己：這個(gè)問題包含的意義是什么（meaning to a problem），從而尋找解決問題的入口（entry point）；他們會(huì)分析問題中的給定條件（givens）、約束（constraints）、關(guān)系（relationships）、目標(biāo)（goals）；他們會(huì)構(gòu)建解決問題的路徑（pathway），而不是馬上跳進(jìn)去直接答題。而且，數(shù)學(xué)好的學(xué)生能自如地用方程式、語言、圖表去描述或解決各種數(shù)學(xué)問題。數(shù)學(xué)好的學(xué)生，還有一個(gè)重要的特征，他們尊重?cái)?shù)學(xué)，從心里認(rèn)同數(shù)學(xué)是理性的、有用的、值得努力去學(xué)習(xí)的一門學(xué)科（sensible, useful and worthwhile) 。
關(guān)于中美國數(shù)學(xué)教育理念的差異，中科院博士生導(dǎo)師胡衛(wèi)平教授曾做過研究和分析：
這種教育理念的差距一方面體現(xiàn)為中國學(xué)生超強(qiáng)且牢固的技能，另一方面也使得他們?cè)凇疤岢鰡栴}、分析問題、設(shè)計(jì)整體解決方案”上不如英美學(xué)生（中國學(xué)生提出問題的能力明顯低于解決問題的能力）。除解決問題一項(xiàng)能力之外，中國學(xué)生在發(fā)現(xiàn)問題能力、想象能力、實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)能力、技術(shù)開發(fā)能力、產(chǎn)品改進(jìn)能力和應(yīng)用能力的得分都低于英美學(xué)生。
美國小學(xué)數(shù)學(xué)課
再和大家分享一個(gè)生活中的例子。教美學(xué)者黃全愈的兒子轉(zhuǎn)學(xué)到美國后，帶回來的數(shù)學(xué)作業(yè)看上去比較簡(jiǎn)單，于是這位父親向?qū)W校“抱怨”，兒子的老師因此專門回了他一封信，信中有這么一段，對(duì)美國數(shù)學(xué)的教育理念有非常到位的闡述：
數(shù)學(xué)不是算術(shù)，更不是用一個(gè)似懂非懂的公式去計(jì)算一個(gè)只有公式才能告訴你的答案。公式告訴你，做什么，怎么做，我們充其量像個(gè)計(jì)算器。要真正理解為什么這么做是對(duì)的？為什么那么做是不對(duì)的？問題就不那么簡(jiǎn)單了。
我們更強(qiáng)調(diào)的是孩子對(duì)那些隱藏在數(shù)字后面的概念的理解，從而在口頭上和書寫中能夠使用他們所學(xué)的東西進(jìn)行交流，而不是對(duì)算術(shù)法則的記憶。比如，我們會(huì)讓孩子在記住乘除法則之前已能理解乘除法的實(shí)際意義。
我們的目標(biāo)是培養(yǎng)孩子成為解決問題的能手，讓他們學(xué)會(huì)思考，建立自信，從而去珍視數(shù)學(xué)。KK（作者兒子）當(dāng)然是一個(gè)具有計(jì)算技巧的優(yōu)秀學(xué)生，然而，算術(shù)僅僅是整個(gè)數(shù)學(xué)課程中的一個(gè)部分。我們?cè)跀?shù)學(xué)課里，會(huì)運(yùn)用許多教學(xué)活動(dòng)來挑戰(zhàn)他的思維，從而也對(duì)他本身形成一種挑戰(zhàn)。
這段話，生動(dòng)地體現(xiàn)了中美數(shù)學(xué)教育理念的不同。
這里有必要說明，我們的數(shù)學(xué)不是不強(qiáng)，不過和英美體系里培養(yǎng)出來的數(shù)學(xué)優(yōu)等生強(qiáng)的地方不一樣。我們?cè)诮忸}、運(yùn)算上比較強(qiáng)，但論對(duì)數(shù)學(xué)概念的深入理解、靈活運(yùn)用，我們還有待提高。
估計(jì)看到這里，你會(huì)想：如果我的孩子能在擁有中國“特色”的運(yùn)算技巧基礎(chǔ)上，借鑒到美國的“數(shù)學(xué)思維”，就好了！
這個(gè)，借助今天的這套主流美國數(shù)學(xué)教材，其實(shí)不難做到。既然英國人引進(jìn)了中國人的《一課一練》，覺得他們的短板我們可以幫助彌補(bǔ)，我們的短板英美人也能幫忙彌補(bǔ)。下面，我就來和大家說說為什么 ...
二、美國數(shù)學(xué)能彌補(bǔ)我們的5項(xiàng)短板
跟著 Go Math 這樣的教材一步步走下來，能彌補(bǔ)我們孩子在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上的5大短板，大大加強(qiáng)對(duì)基本概念的深入理解、提升數(shù)學(xué)表達(dá)能力、學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)去解決現(xiàn)實(shí)問題、在螺旋上升的學(xué)習(xí)中沖破認(rèn)知障礙、為高階數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下牢固基礎(chǔ)。
1、大大加強(qiáng)對(duì)基本概念的深入理解
美國數(shù)學(xué)，特別為人稱道的還是引導(dǎo)孩子深入理解數(shù)學(xué)概念的教育思路。
就從一開始講起吧。美國數(shù)學(xué)教育，是從K年級(jí)（相當(dāng)于我們的幼兒園大班）正式開始的。大家先感受幼兒園教材，上下兩冊(cè)，加起來有720頁。你會(huì)想，“小屁孩”的數(shù)學(xué)啟蒙，用得著那么復(fù)雜么？
然而，幼兒園小朋友的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，非常講究章法。學(xué)前數(shù)學(xué)啟蒙有三大部分，雖然都是特別簡(jiǎn)單的概念，卻是將來建“數(shù)學(xué)高樓大廈”的基礎(chǔ)，一切都從這兒開始 ...
Number and Operations（數(shù)字和運(yùn)算）
Geometry and Positions （幾何和位置）
Measurement and Data （測(cè)量和數(shù)據(jù)）
光光第一部分，就占據(jù)了一整冊(cè)。學(xué)什么呢？學(xué)數(shù)字和實(shí)物之間的關(guān)系（represent），學(xué)100以內(nèi)數(shù)數(shù)（count）；學(xué)用圖畫或簡(jiǎn)單的文字表述數(shù)學(xué)問題、數(shù)學(xué)現(xiàn)象（write），學(xué)20以內(nèi)數(shù)字比大小，學(xué)加減法概念，會(huì)10以內(nèi)加減 ...
簡(jiǎn)單中蘊(yùn)藏“玄機(jī)”。比如，讓孩子練習(xí)5以內(nèi)的加法。總數(shù)是5（紅圈圈+黃圈圈），讓孩子畫出各種組合，5=4+1，5=2+3 ... 不只是找到一個(gè)答案，而是具象化地探索各種可能性的存在，這么簡(jiǎn)單的嘗試，就是代數(shù)思維形成的開始（Algebraic Thinking）。
這些練習(xí)的設(shè)計(jì)，來頭大有講究。幼兒園這冊(cè)的主要作者，有專門研究數(shù)學(xué)教育的教授、大學(xué)校長(zhǎng)、K-12課程設(shè)計(jì)專家、一線數(shù)學(xué)老師，等等。
希望普天下給孩子做數(shù)學(xué)啟蒙的父母，能借鑒更符合孩子認(rèn)知規(guī)律的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，不急于求成，讓孩子真正能學(xué)懂學(xué)通，靠理解、而非記憶，為將來的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下牢固的基礎(chǔ)。
2、大大提升數(shù)學(xué)表達(dá)能力
中國孩子學(xué)數(shù)學(xué)，大量遇到的都是公式、計(jì)算，我們很少會(huì)花時(shí)間用語言去恰當(dāng)論述一個(gè)問題，或者用各種圖形來把數(shù)學(xué)問題“視覺化”（visualize）。
而在美國數(shù)學(xué)里，這方面對(duì)學(xué)生要求很高，處處鼓勵(lì)學(xué)生在“情境”中獲取數(shù)學(xué)信息，再用言語和圖形進(jìn)行表達(dá)。他們認(rèn)為這么做會(huì)大大提升學(xué)生的理解程度、數(shù)學(xué)思維能力，表達(dá)的差異其實(shí)就是思維的差異。
比如在 Go Math 里，每一章幾乎都有 Journal 部分 - The Write Way， 要求學(xué)生組織語言去回答問題、描述一個(gè)問題解決過程，等等。
比如3年級(jí)，繼續(xù)學(xué)習(xí) Measurement & Data （測(cè)量和數(shù)據(jù)），讓孩子任意選取三個(gè)度量名詞（gram, kilo, liter, mass, volume），寫一段話；解釋一個(gè)測(cè)量過程；自己提出兩個(gè)關(guān)于時(shí)間的問題 ...
Go Math 每一章的內(nèi)容，主要是按照“問題-概念-練習(xí)”這條線來組織的，尤其注重讓孩子在一個(gè)個(gè)精心設(shè)計(jì)的 practice 里理解數(shù)學(xué)；practice 中處處都有這種 Math Talk - 隨時(shí)提醒孩子，不光要解題，而且要思考和表達(dá)。
比如，如何 Reason abstractly（抽象化分析），Generalize（歸納總結(jié)） ，Look for Strucutre（尋找結(jié)構(gòu)），Analyze relationship（分析關(guān)系），等等。這些技能在幼兒園到小學(xué)階段要逐漸培養(yǎng)， 到了初中以后更會(huì)強(qiáng)化學(xué)習(xí)。
每次練習(xí) Problem Solving，不光算個(gè)答案就是了，而是要孩子 Write Math，組織語言，把思路寫下來，寫下來！比如，解釋兩種乘法運(yùn)算方式有什么區(qū)別？
就算是教簡(jiǎn)單的四則運(yùn)算，每個(gè)步驟的字符表達(dá)、語言表達(dá)，都列示的極為清晰，要求學(xué)生能如此描述答題過程。
Measurement and Data（測(cè)量和數(shù)據(jù)）是美國數(shù)學(xué)從幼兒園就開始學(xué)的內(nèi)容，從簡(jiǎn)單的大小、長(zhǎng)短、輕重比較，一路走到幾何面積、體積測(cè)量，再走到讓不少人望而卻步的“數(shù)理統(tǒng)計(jì)”（Statistics）。
這其中，整個(gè)小學(xué)階段都在學(xué)的一項(xiàng)“基本功”就是 Represent and Interpret Data（展現(xiàn)和解析數(shù)據(jù)），用模型去描述和理解數(shù)量關(guān)系。
比如，一年級(jí)時(shí)，先學(xué) Read and make Picture Graph，然后學(xué) Read and make Bar Graph（柱狀圖），接著學(xué) Read and make Tally Chart，從具象一點(diǎn)點(diǎn)走向抽象，學(xué)習(xí)讀圖、做圖。這些都是長(zhǎng)大后做研究、做項(xiàng)目必不可少的思維方式 ...
Picture Graph 非常具象
BAR Graph 就開始有歸納總結(jié)成分了
Tally Chart 歸納更精煉，抽象成分就更多
復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，往往包含一大堆雜亂的現(xiàn)象、數(shù)據(jù)，習(xí)慣于套用公式去解決問題的中國孩子，往往覺得難以著手。而從小學(xué)會(huì)用語言提煉問題、用圖形表格等可視化方式去展現(xiàn)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，能幫孩子從紛繁中看到規(guī)律、找到線索，從而解決問題。這方面的能力，我們的孩子需要大力加強(qiáng)。
3、學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)去解決現(xiàn)實(shí)問題
這一點(diǎn)，大家都特別能理解。伽利略的名言“自然是由數(shù)學(xué)的語言而書寫的”，真的是理性又浪漫。
數(shù)學(xué)是與自然現(xiàn)象、與我們的生活實(shí)際緊密結(jié)合的學(xué)問；只有讓孩子深刻感受到這一點(diǎn)，他才會(huì)理解學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意義。美國這些年的科學(xué)課標(biāo)、數(shù)學(xué)課標(biāo)，都大力強(qiáng)調(diào)孩子的學(xué)習(xí)要和解決現(xiàn)實(shí)世界問題緊密結(jié)合。
Go Math 里每個(gè)數(shù)學(xué)主題的展開，都是來自生動(dòng)的現(xiàn)實(shí)世界場(chǎng)景。每一章，都會(huì)有解決現(xiàn)實(shí)問題（Problem solving - real world）這個(gè)部分，讓孩子 Unlock the problem，為問題“解鎖” ...
比如四年級(jí)學(xué)數(shù)位和整數(shù)運(yùn)算 Place Value and Operations with Whole Numbers , 就從國際空間站的運(yùn)行說起，引入高位數(shù)，讓孩子理解為什么會(huì)有數(shù)位概念 ...
到了7年級(jí)（相當(dāng)于我們的初二，美國一般學(xué)校的學(xué)制是小學(xué)5年，初中3年，高中4年），開始學(xué)習(xí)概率論和模擬（Theoretical Probability and Simulations - 光看名稱是不是就有點(diǎn)暈？)，也是從一個(gè)類似賭博游戲的實(shí)際例子出發(fā)，把孩子引入概率主導(dǎo)的現(xiàn)實(shí)世界。
4、在螺旋上升的學(xué)習(xí)中沖破學(xué)習(xí)障礙
身邊很多女性朋友反映（估計(jì)男生不好意思自己說），中學(xué)數(shù)學(xué)某種程度上是一個(gè)“小噩夢(mèng)”。立體幾何、解析幾何、線性代數(shù) ... 隨著抽象程度的上升，感覺越來越難把握。
其實(shí)，這和一個(gè)人的聰明與否并沒有特別大的關(guān)系。在從小到大的學(xué)習(xí)過程中，這個(gè)孩子在某些環(huán)節(jié)掉了“鏈”，沒有打好基礎(chǔ)：當(dāng)時(shí)通過大量做習(xí)題練套路過關(guān)了，但沒有真正理解。而數(shù)學(xué)就像一幢高樓，可以聳入云霄，但一塊基石都不能少。理解的缺失，終究會(huì)讓孩子的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)在某個(gè)階段“轟然而塌”。
在 Go Math 這樣的美國數(shù)學(xué)教科書里，學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)，是螺旋上升的，一環(huán)扣一環(huán)。比如，一般美國孩子數(shù)學(xué)學(xué)得不錯(cuò)，可以從初中開始正式學(xué)習(xí)代數(shù) Algebra；為此，從幼兒園到小學(xué)整個(gè)階段，他們都在循序漸進(jìn)地培養(yǎng)孩子的代數(shù)思維（Algebraic Thinking）。
這是2年級(jí)課本目錄，注意到很多小標(biāo)題前有Algebra 的標(biāo)注么，這就是包含代數(shù)思維的部分，初中前每個(gè)年級(jí)都有。
所謂代數(shù)思維，包括辨別和分析規(guī)律（Patterns），理解和描述關(guān)系（Relationships），歸納總結(jié)（Generalizations），和分析事物的變化（How things change）。他們認(rèn)為，孩子們要在學(xué)習(xí)運(yùn)用抽象的代數(shù)符號(hào)解決問題前，先行建立很強(qiáng)的代數(shù)思維，而一開始學(xué)數(shù)學(xué)就要逐漸建立起這種思維。如果不是這樣，代數(shù)終有一天會(huì)讓你“痛不欲生”。
Trying to understand abstract symbolism without a foundation in thinking algebraically is likely to lead to frustration and failure. Algebraic thinking can begin when students begin their study of mathematics.
學(xué)到這種符號(hào)階段之前，孩子要做充分的培養(yǎng)“代數(shù)思維”準(zhǔn)備
一開始的代數(shù)思維，來自孩子對(duì)規(guī)律（Patterns）的觀察、歸納、分類等（比如顏色、形狀、聲音、字母、數(shù)字等）。
在整個(gè)小學(xué)階段，Patterns 也是孩子們理解數(shù)學(xué)概念的一個(gè)重要工具。比如，一年級(jí)學(xué)加減乘除時(shí)，通過各種呈現(xiàn)出某種規(guī)律的實(shí)物，幫孩子理解數(shù)字和運(yùn)算的意義。
大家體會(huì)一下這么幫孩子練習(xí)總和超過10的加法，孩子會(huì)不會(huì)很容易理解？
3年級(jí)的課本里也能看到咱們孩子從小就背得滾瓜爛熟的乘法表，讓孩子觀察橫行和縱列體現(xiàn)的數(shù)字規(guī)律（pattern）；比如孩子可以馬上說出 “六八四十八”，但這張表，可以幫她理解這個(gè)結(jié)果是怎么來的，為什么 “六八四十八”是 make sense 的 ...
到了6年級(jí)后，形成代數(shù)思維的一個(gè)學(xué)習(xí)重點(diǎn)，是對(duì)比例（proportionality）的理解 - 這是貫穿整個(gè)K-12數(shù)學(xué)課程的非常重要聯(lián)系點(diǎn)（most important connecting idea）。如果學(xué)生能真正理解這個(gè)概念，他們就可以開始學(xué)習(xí)更正式的代數(shù)，此時(shí)，開始學(xué)習(xí)線性特征和線性方程（linearity and linear functions），就很自然而然了。這是7年級(jí)在學(xué)辨別比例關(guān)系 （identifying proportional relationships） ...
代數(shù)的學(xué)習(xí)會(huì)一直延伸到高中、大學(xué)。形式會(huì)越來越復(fù)雜。比如，高中的解析幾何就曾經(jīng)讓很多人十分頭疼，用代數(shù)方程去描述幾何問題。
然而，這一切都起始于幼兒園那一年那三個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域的啟蒙：
Number and Operations（數(shù)字和運(yùn)算）
Geometry and Positions （幾何和位置）
Measurement and Data （測(cè)量和數(shù)據(jù)）
數(shù)學(xué)思維，包括代數(shù)思維的養(yǎng)成，是一個(gè)過程（process），而非通過做題能快速掌握的事件（event）。如果把孩子置于一個(gè)建立在理解基礎(chǔ)上的學(xué)習(xí)體系中，注重這個(gè)過程，配合積極的心態(tài)、適當(dāng)?shù)呐?，沒有理由她不能學(xué)好基礎(chǔ)數(shù)學(xué)。
5、為未來的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下牢固方法論基礎(chǔ)
6年級(jí)（相當(dāng)于咱們初中一年級(jí)），是美國中小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)分水嶺，此時(shí)。從6年級(jí)開始，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，除了學(xué)科內(nèi)容，還要特別加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)過程的學(xué)習(xí)（mathematical processes - the way you learn, study and think about mathematics）。6-8年級(jí)的孩子，需要學(xué)習(xí)8個(gè)方面的數(shù)學(xué)過程。以6年級(jí)為例，簡(jiǎn)單來說一說：
（1）Problem Solving/ 解決問題
學(xué)習(xí)解決問題的方法論。解決問題，必須從理解問題開始，分析信息，確定目標(biāo)，規(guī)劃步驟，zui后檢查和評(píng)價(jià)所用方法，繼續(xù)改進(jìn) ... 這種方式，也適用于解決科學(xué)問題或很多其它領(lǐng)域的問題。
（2）Abstract and Quantitative Reasoning / 抽象和量化分析
學(xué)生必須學(xué)會(huì)用符號(hào)和數(shù)量語言去體現(xiàn)和解決現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)學(xué)問題。
（3）Use and Evaluate Logical Reasoning / 邏輯分析
數(shù)學(xué)是訓(xùn)練邏輯思維能力的絕佳渠道。鍛煉的方式，就是學(xué)會(huì)有理有據(jù)地把自己的想法表達(dá)清楚，論證自己的結(jié)論 - communicate math ideas, critique reasoning, look for a pattern（溝通、思辨、尋找規(guī)律）。長(zhǎng)期的訓(xùn)練，會(huì)讓學(xué)生很容易分辨自己和別人的思維漏洞。下圖中的 H.O.T 是訓(xùn)練高階思維的意思。
（4）Mathematical Modeling / 數(shù)學(xué)建模
現(xiàn)實(shí)世界的問題，學(xué)生要學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)語言和數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)去描述和解決。無處不在的數(shù)學(xué)模型，是現(xiàn)代科技的基石，學(xué)生從小要有“模型”意識(shí)，學(xué)會(huì)基本的建模方法。
（5）Use Mathematical Tools / 使用數(shù)學(xué)工具
懂得怎么用數(shù)學(xué)工具，從簡(jiǎn)單的量尺、圖形計(jì)算器，到計(jì)算機(jī)軟件去解決問題，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要部分，比如怎么通過 Excel 表將數(shù)據(jù)“結(jié)構(gòu)化”。
（6）Use Precise Mathematical Language / 使用精確的數(shù)學(xué)語言
必須學(xué)會(huì)精確地表述數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)問題，在語言和符號(hào)使用上符合規(guī)范。
（7）See Structure / 洞察結(jié)構(gòu)
學(xué)生需要具備識(shí)別規(guī)律（pattern）的能力，比如，從重復(fù)的乘數(shù)運(yùn)算結(jié)構(gòu)中，開始理解指數(shù)的涵義。
（8）Generalize/ 歸納總結(jié)
學(xué)生不能只會(huì)一個(gè)個(gè)解決問題，而是要能從各種問題中看出規(guī)律性、相似性，進(jìn)行歸納總結(jié)，從而找出更優(yōu)秀的解決方案。
三、學(xué)會(huì)用英語表達(dá)，非常重要
不知道你有沒有這種感覺？看用英文寫的數(shù)學(xué)書，一大困難在于不知道怎么把其中術(shù)語和咱們小時(shí)候?qū)W的數(shù)學(xué)對(duì)應(yīng)起來，比如，如果我問你，Communitative Property of Addition 是什么，你能馬上反應(yīng)過來么？其實(shí)，這就是加法的交換律。
這樣的術(shù)語，太多了，讓你感覺咱們學(xué)的和老美學(xué)的不是一個(gè)數(shù)學(xué)。然而，如果孩子以后要上國際課程，要參加留學(xué)考試，要在學(xué)習(xí)或工作中接觸大量英文科技資料，這個(gè)“數(shù)學(xué)英語表達(dá)法”的關(guān)，還必須過，而且早些過。
跟著 Go Math 這樣的教科書，孩子就能完整而系統(tǒng)地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的英語表達(dá)法。
每一章，都會(huì)有 “Vocabulary Builder”部分，讓孩子通過一些可視化練習(xí)去理解數(shù)學(xué)名詞（概念）的意義。
每開始學(xué)一個(gè)數(shù)學(xué)點(diǎn)，都會(huì)有這樣的詞匯卡（Vocabulary），介紹本章的關(guān)鍵概念。每張卡，正面是概念名稱，比如平面圖形中的 perpendicular lines （垂直交叉線） ...
翻過來，反面是對(duì)這個(gè)概念的解釋，如 perpendicular lines 的定義：Two lines that intersect to form four right angles（兩條線交叉形成四個(gè)直角）.以及圖例?？磥?，用英文解釋數(shù)學(xué)概念，好像更容易理解？
這里順便提一句，從英語對(duì)多邊形（Polygon）的表述和定義來看，在數(shù)學(xué)表述上，漢語的“一詞一義”是有些缺陷的：比如，quadrilateral 的含義有兩層：
four sides（4條邊）
four angles（4個(gè)角）
可是，當(dāng)“quadrilateral”被翻譯成為“四邊形”的時(shí)候，就失去了“four angles”那層含義。如果想避免詞義的“衰減”，那么，“quadrilateral” 就應(yīng)該翻譯為“四邊四角形”，又會(huì)很拗口。
所以，學(xué)好數(shù)學(xué)的英語表達(dá)，對(duì)理解數(shù)學(xué)概念，也會(huì)有幫助。
其實(shí)，概念、術(shù)語的詞匯，還是好學(xué)的，特別難的是各種描述數(shù)學(xué)問題的詞句表達(dá)，如何找到合適的語言、如何組織語句、怎么符合表達(dá)慣例，等等。這些，也都是需要孩子在大量的接觸、練習(xí)中逐漸熟練、慢慢掌握，真心急不得。
四、每個(gè)年級(jí)，都在學(xué)什么
說起學(xué)習(xí)進(jìn)度，美國數(shù)學(xué)有點(diǎn)“前慢后快”，前面的概念鋪墊綿延細(xì)致，到了小學(xué)4年級(jí)，速度開始加快，6年級(jí)以后，更是如此，進(jìn)度并不比我們慢。不過，中國的“習(xí)題”難度更高，同樣的知識(shí)點(diǎn)出題更難，雖然不是在知識(shí)深度上有更多要求。
2008年有篇論文《中美初中數(shù)學(xué)教材難度的比較研究》，從知識(shí)含量、推理、運(yùn)算、背景、探究多個(gè)維度，通過難度公式系統(tǒng)比較了中美典型初中教材的難度。結(jié)果顯示，美國的初中教科書在代數(shù)上的內(nèi)容難度高于中國，在概率統(tǒng)計(jì)等實(shí)踐性較強(qiáng)的分支差距更為明顯。在幾何上內(nèi)容難度相差不多。
著名華裔數(shù)學(xué)家，哈佛教授丘成桐說： “在美國比較好的中小學(xué)校里，中國學(xué)生念的功課，他們也都是要學(xué)的，而且學(xué)得很靈活。一些好的學(xué)校，十一、十二年級(jí)學(xué)生的微積分已經(jīng)做得非常漂亮?！?/p>
具體每個(gè)年級(jí)學(xué)什么，這是CCSS，也是 Go Math 的概括綱要 ... 我沒有翻譯每個(gè)項(xiàng)目的名稱，因?yàn)樗木_涵義和我們固有的中國數(shù)學(xué)術(shù)語不是那么容易對(duì)應(yīng)收。
每個(gè)數(shù)學(xué)類目下面，還有非常詳細(xì)的學(xué)習(xí)路徑安排。為了方便大家查看，我們拍攝了 Go Math K-8年級(jí) 所有書目的詳細(xì)內(nèi)容目錄、參考內(nèi)頁等。感興趣的朋友一定點(diǎn)鏈接去看看：Go Math里有什么？分年級(jí)目錄和內(nèi)頁樣本
5英文版美國數(shù)學(xué)，對(duì)孩子反而并不難
在中國的高強(qiáng)度數(shù)學(xué)環(huán)境下，還會(huì)想到讓孩子去嘗試另一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，真的是很“勇敢”的舉措。你能讀到這里，很想說，真了不起！
但是我們的孩子，有時(shí)間用么，用得下來么？ 光看這篇幅，就夠嚇人的。我們請(qǐng)同事2年級(jí)的孩子用了2年級(jí)的課本，小朋友的反饋經(jīng)他爸爸整理，是這樣的：
本來覺得英語應(yīng)該看不懂的。后來發(fā)現(xiàn)做的題不難，所以感覺理解起來也不算很難。一開始要查詞典或者問爸爸題目是什么意思，后來就熟悉了這些用語，結(jié)合圖例，理解起來就更容易了。覺得有意思的是，同樣的題目，這里的解答方式和老師講的很不一樣，有很多游戲，一點(diǎn)不枯燥。
的確，正因?yàn)橹袊⒆拥臄?shù)學(xué)基礎(chǔ)不錯(cuò)，所以讀下來這樣的原版教材，反而并不難（比英語、科學(xué)都容易不少）。這個(gè)過程中，重要的不是去練運(yùn)算、解題，而是去體會(huì)新的數(shù)學(xué)思路，并熟悉數(shù)學(xué)的英語表達(dá)法。
書后都有詳細(xì)的數(shù)學(xué)術(shù)語 - Glossary，孩子不熟悉一個(gè)概念的英語表達(dá)，可以隨時(shí)檢索
美國新課標(biāo)下的數(shù)學(xué)和科學(xué)課本，還有一個(gè)特色，就是占據(jù)主要篇幅的是 practice，在對(duì)概念做基本的介紹后，就讓孩子在各種 problem solving 中體會(huì)概念的內(nèi)在涵義和運(yùn)用方法。
練習(xí)往往強(qiáng)調(diào)幾方面：Math Processes and Practices（數(shù)學(xué)過程和實(shí)踐），Go Deeper（深一些），Think Smarter（聰明一點(diǎn)），等等
所以，課本，也是一個(gè)豐富多彩、充滿活力的大練習(xí)冊(cè)，每一頁都可以撕下來隨身攜帶、隨時(shí)使用。
這種“概念桌游”，能幫孩子在游戲中一下子貫穿理解好多概念
這些 Practice，在設(shè)計(jì)上絕不是拼難度、拼腦筋急轉(zhuǎn)彎，所以孩子只要能讀懂題，再想想，就能做出來。
6-8年級(jí)，書中的練習(xí)，zui后基本附有答案。
幼兒園到5年級(jí)，書中沒有附上答案。不過，找到問題的數(shù)量答案，相信你和孩子不會(huì)有困難。也許挑戰(zhàn)在于如何完成練習(xí)中思考和表達(dá)的部分。。
比如，一年級(jí)中如何談?wù)摂?shù)學(xué)思考問題（ math talk）？
五年級(jí)，孩子怎樣描述自己的結(jié)論（ draw conclusion）...
總之，學(xué)有余力的孩子完全可以把 Math Talk 這套教材當(dāng)做 “系統(tǒng)美國數(shù)學(xué)思維學(xué)習(xí) + 數(shù)學(xué)英文讀本” 用下來，掌握東方人的解題技巧，也掌握西方人的數(shù)學(xué)學(xué)科思路，兩全其美啦?。?！
為了展現(xiàn)每個(gè)年級(jí)的學(xué)習(xí)難容和語言難度，我們?yōu)檫@套書實(shí)拍了不少內(nèi)頁照，供大家仔細(xì)參考（詳細(xì)內(nèi)容請(qǐng)查看另外一篇推送文章：Go Math里有什么？分年級(jí)目錄和內(nèi)頁樣本）。9個(gè)年級(jí)，照片很多。這里每個(gè)年級(jí)隨機(jī)放上一頁，大家可以感受一下風(fēng)格 ...
GK（幼兒園）
G1（一年級(jí)）
G2（二年級(jí)）
G3（三年級(jí)）
G4（四年級(jí)）
G5（五年級(jí)）
G6（六年級(jí)）
G7（七年級(jí)）
G8（八年級(jí)）
六、書目、套系安排
A套裝：GK年級(jí)-G1年級(jí)
共4冊(cè)（每個(gè)年級(jí)各2冊(cè)），共1454頁
B套裝：G2年級(jí)-G3年級(jí)
共4冊(cè)每個(gè)年級(jí)各2冊(cè)），共1532頁
C套裝：G4年級(jí)-G5年級(jí)
共4冊(cè)每個(gè)年級(jí)各2冊(cè)），共1464頁
D套裝：G6年級(jí)-G8年級(jí)
共3冊(cè)（每個(gè)年級(jí)各1冊(cè)），共1390頁
2015
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