為什么孩子學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)會(huì)遭遇瓶頸（附六年學(xué)習(xí)計(jì)劃）

引言

數(shù)學(xué)，兒童學(xué)習(xí)領(lǐng)域里永恒的話題，這個(gè)永恒性似乎不是從數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)本身來(lái)講的，而是從應(yīng)試角度來(lái)講的。作為選拔優(yōu)秀孩子的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，數(shù)學(xué)被提高到了前所未有的程度，擠破腦袋要進(jìn)名校的學(xué)生必須過(guò)數(shù)學(xué)這一關(guān)，并且在此后多少年內(nèi)，都始終會(huì)擔(dān)心數(shù)學(xué)成績(jī)是否落后于他人，父母忙不迭地送孩子去輔導(dǎo)班，超前學(xué)習(xí)或者學(xué)習(xí)各種應(yīng)試套路，以保證名次排列前茅，或者至少不墊底。

正因?yàn)槿藗冏⒁饬劢褂谶@個(gè)目標(biāo)：考試成績(jī)，而大多數(shù)人認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)重要性也由此開(kāi)始，所以有一點(diǎn)不可避免的遺憾在于，我們其實(shí)沒(méi)有精力去研究，如何設(shè)計(jì)一條科學(xué)合理的發(fā)展數(shù)學(xué)思維的路徑，因?yàn)檫@明顯與已經(jīng)延伸至幼升小的戰(zhàn)場(chǎng)氛圍不符。誰(shuí)能忍受得了，外面已經(jīng)戰(zhàn)火紛飛，而還能讓自己孩子安心坐在家里慢慢等待腦袋開(kāi)竅，欣賞數(shù)學(xué)的美呢？

我們都知道，談到戰(zhàn)略，必然是一條漫長(zhǎng)的路。而談到戰(zhàn)術(shù)，是當(dāng)下應(yīng)對(duì)的迅速能看到結(jié)果的技巧。數(shù)學(xué)思維發(fā)展和數(shù)學(xué)應(yīng)試策略，這完全是兩個(gè)方向。

看起來(lái)，我們不得不選擇戰(zhàn)術(shù)這條路，不然就會(huì)被擊潰，而失去機(jī)會(huì)。人們說(shuō)，如果你連好學(xué)校都進(jìn)不去，還談什么發(fā)展呢。

道理雖如此，但現(xiàn)實(shí)路徑上，我們回避了一個(gè)問(wèn)題：在什么時(shí)間點(diǎn)選擇戰(zhàn)術(shù)策略的問(wèn)題。假如，今天，你的孩子已經(jīng)10歲了，我想說(shuō)，你盡管選擇戰(zhàn)術(shù)去解決當(dāng)下問(wèn)題吧，我們很難在一個(gè)10歲孩子身上去談從零開(kāi)始的發(fā)展戰(zhàn)略。如果今天你的孩子只有4歲，我認(rèn)為你完全可以篤篤悠悠地選擇發(fā)展這條路。當(dāng)你放棄一條原本可以有序穩(wěn)妥發(fā)展你孩子數(shù)學(xué)思維的戰(zhàn)略路線時(shí)，每一年，你越多接觸戰(zhàn)術(shù)策略層面的應(yīng)試技巧，你的孩子也在每一年透支他的發(fā)展資本，所以到了最后，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，你想走下這條路已經(jīng)不可能，他也沒(méi)有機(jī)會(huì)再回到發(fā)展這條路上去，于是只能硬著頭皮在戰(zhàn)場(chǎng)中血戰(zhàn)到底，拼爹也好拼娘也好，能上全都上，然而這也阻止不了瓶頸必然會(huì)出現(xiàn)，有時(shí)候，這也意味著，智力層面永久性地遇到平臺(tái)期。

讓我們回到數(shù)學(xué)思維發(fā)展這條路上來(lái)，戰(zhàn)略是如何制定出來(lái)的？它并不孤立于現(xiàn)實(shí)存在，雖然我們有規(guī)可循，有前輩們多少年研究積累，但是我們不可能脫離現(xiàn)實(shí)，現(xiàn)實(shí)是我們孩子必須面臨的考核，題目千變?nèi)f化，但所謂“萬(wàn)變不離其宗”，出題者挖空心思想提高難度來(lái)篩選出精英，但很顯然，這些難點(diǎn)，在基本結(jié)構(gòu)層面都是相通的，我們并沒(méi)有發(fā)明新的算術(shù)，我們也沒(méi)有憑空生成新的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，小學(xué)數(shù)學(xué)，各種題型衍變，只是在下面四個(gè)水平上變化。

第一水平：規(guī)律模式能力水平

為什么孩子的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)會(huì)遭遇瓶頸，我必須說(shuō)，首當(dāng)其沖的是，我們沒(méi)有重視兒童掌握“規(guī)律模式能力”的發(fā)展，或者直白一點(diǎn)講，我們?nèi)菀c(diǎn)到即止，不夠重視規(guī)律模式。這幾乎是兒童抽象思維得以發(fā)展進(jìn)階的基石，這塊基石有多堅(jiān)實(shí)，并不斷沉積下來(lái)更多經(jīng)驗(yàn)，決定了我們能夠在更高難度的挑戰(zhàn)上可以發(fā)揮到多大極致。

題型是永遠(yuǎn)講不完的，今年明年，每一年杯賽總是有新鮮出爐的題型，第二年各大機(jī)構(gòu)，老師都忙乎在研究發(fā)掘解題思路上，這個(gè)過(guò)程中，可能最受益的是老師，老師每一年都在“鍛煉”他們自己的模式能力，但是他們把咀嚼后的東西吐出來(lái)，就好像母親喂嬰兒一樣的，他們幫助兒童消化了“模式”，但是兒童自身沒(méi)有識(shí)別模式的能力，兒童的歸納能力在這種喂嬰式的教育里慢慢退化。家長(zhǎng)們也陪著孩子變成嗷嗷待哺的幼鳥(niǎo)，等著機(jī)構(gòu)出大招，給出終極方案。

別小看各種幼升小的圖形題，小學(xué)數(shù)字規(guī)律題，這不是什么奧數(shù)思維，是基礎(chǔ)得不能再基礎(chǔ)的規(guī)律模式題了。但是老師忙著出題解題的時(shí)候，卻忘記了識(shí)別模式的基本概念，是最最重要的（我在“八年積累聚焦一件事”中講過(guò)模式例題），父母其實(shí)也并不知道重點(diǎn)在哪里，只是跟著老師的思路來(lái)教孩子，我們看不明白孩子為什么做錯(cuò)，或者只是簡(jiǎn)單抱怨一下題目出得有歧義，但真正對(duì)孩子有幫助的概念我們忽略了。

規(guī)律模式能力的掌握，有一個(gè)漸進(jìn)的過(guò)程，有時(shí)候甚至你會(huì)覺(jué)得培養(yǎng)這個(gè)能力，壓根兒與數(shù)學(xué)無(wú)關(guān)，是的，假如我們?cè)诤⒆?，4歲開(kāi)始談這件事，你可以根本無(wú)需去談數(shù)字，生活中到處充滿規(guī)律模式，美來(lái)自于次序，次序是數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的重要部分。

“察覺(jué)”，是在看的基礎(chǔ)上，增加了思考。我們希望培養(yǎng)孩子的藝術(shù)能力，是認(rèn)為這有助于孩子的想象力創(chuàng)造力發(fā)展，只是我們忽略了真正的藝術(shù)來(lái)自于生活與哲思，沒(méi)有經(jīng)歷，藝術(shù)是蒼白的。同理，我們讓孩子學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，認(rèn)為有助于邏輯思維發(fā)展，但是我們忽略了數(shù)學(xué)是一門在生活中發(fā)展起來(lái)的學(xué)科，是以解決問(wèn)題為目的的，它滲透于各個(gè)領(lǐng)域和學(xué)科中，沒(méi)有對(duì)經(jīng)驗(yàn)的“察覺(jué)”，數(shù)學(xué)是空中樓閣。

規(guī)律模式能力的發(fā)展，關(guān)系到如何解決：

圖形規(guī)律題包括數(shù)線段數(shù)圖形

填數(shù)題以及理解等差數(shù)列

通過(guò)等差規(guī)律的理解進(jìn)而解決數(shù)獨(dú)數(shù)陣問(wèn)題

從圖形出發(fā)進(jìn)階補(bǔ)全相關(guān)的求周長(zhǎng)求面基以及一筆畫(huà)

結(jié)合運(yùn)算后的植樹(shù)問(wèn)題，奇偶數(shù)問(wèn)題

從算式中尋找規(guī)律去進(jìn)一步延伸等等

這些問(wèn)題，回歸本質(zhì)都是在規(guī)律模式中，或者說(shuō)解題中的瓶頸在此，有時(shí)候講一道題目，孩子似懂非懂，是因?yàn)樗麄儧](méi)有“察覺(jué)”規(guī)律模式的能力，你指出來(lái)看似懂了，換一題又察覺(jué)不出規(guī)律了，這種能力是無(wú)法依靠講解套路獲得的，舉一反三的能力本身就是依靠規(guī)律模式能力的發(fā)展。

如何解決這個(gè)問(wèn)題，規(guī)律模式在最初（學(xué)齡前）兩年，需要依靠大量具象經(jīng)驗(yàn)建立，這種能力還涉及到一種最基本的推理能力（類比推理），這甚至在兒童2歲多已經(jīng)開(kāi)始發(fā)展，各種各樣生活經(jīng)驗(yàn)的輸入，以及再整合，你不斷提醒兒童去“察覺(jué)”本身，是一種反省與歸納能力的培養(yǎng)，這些基礎(chǔ)，完全應(yīng)該成為你培養(yǎng)孩子早期幾年里的重點(diǎn)，如果把這些能力的培養(yǎng)替換成講題目，做題目，那可真是得不償失，本末倒置，你會(huì)發(fā)現(xiàn)到了兒童7，8歲再去彌補(bǔ)他們類比推理能力的缺失，是一件極為困難，或者我極端一點(diǎn)說(shuō)是不可能的事。

如果我們很好的建立了規(guī)律模式的基礎(chǔ)經(jīng)驗(yàn)，類比推理能力發(fā)展得也不錯(cuò)，我相信孩子抽象思維的基石已經(jīng)牢靠，在小學(xué)早期的1-2年時(shí)間里你可以放手讓孩子在運(yùn)算結(jié)構(gòu)中尋找規(guī)律，題目不在多，而在不斷回顧總結(jié)。學(xué)校里老師只是比較重視錯(cuò)題集，但是缺乏讓兒童找共性，歸納結(jié)構(gòu)的能力培養(yǎng)，我們?cè)谟?xùn)練兒童算術(shù)能力的同時(shí)，應(yīng)當(dāng)明確一點(diǎn)，既然題目可以千變?nèi)f化，說(shuō)明演繹是一種很重要的能力，兒童不是去應(yīng)對(duì)千變?nèi)f化的題目，而是應(yīng)該學(xué)會(huì)演繹的思路，演繹是在心中已經(jīng)有模式的基礎(chǔ)上，將生活經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化出來(lái)的方式，前提依然是已經(jīng)掌握了規(guī)律模式。

我們談?wù)摳鞣N各樣的加減法，什么結(jié)果未知，初始值未知，變化量未知，似乎我們認(rèn)為孩子怎么也搞不清正序逆序的關(guān)系，好難講啊，但其實(shí)回到本質(zhì)模式，只是整體部分的模式，對(duì)應(yīng)到世間事物，有些題目與物品有關(guān)，有些題目與事件有關(guān)，有些題目需要計(jì)算的是動(dòng)作，有些需要計(jì)算的是時(shí)間等等，模式化，是我們大腦傾向于應(yīng)用的方式，這能夠提高效率，并且達(dá)到一通百通的境界。

我們需要采取一種迂回的策略，并不為解題而解題，而為尋找模式而解題。

第二水平：表征與對(duì)應(yīng)能力水平

如果說(shuō)規(guī)律模式是數(shù)學(xué)思維發(fā)展的基石，那么表征以及對(duì)應(yīng)能力幾乎可以稱之為“神奇的解剖刀”，它是一樣可以解決任何數(shù)學(xué)難題的利器。

同樣的，在許多問(wèn)題的解答上，孩子不明所以，是因?yàn)樗麄儫o(wú)法像一個(gè)外科醫(yī)生那樣精準(zhǔn)地剖析，無(wú)處下手，眼睛已經(jīng)被表面現(xiàn)象迷亂，看到的是各種各樣的條件，以及數(shù)字滿天飛。學(xué)習(xí)過(guò)各種套路，就不管三七二十一，套上用用再說(shuō)，這是導(dǎo)致我們?cè)趺摧o導(dǎo)孩子，都很難突破瓶頸的第二個(gè)重要原因。

表征能力如果從低幼兒童開(kāi)始說(shuō)起，就是最最基礎(chǔ)的數(shù)量概念的建立，我們?cè)诮?shù)量概念的過(guò)程中要用到各種各樣的表征，我們不僅要使用文字語(yǔ)言上的表征方式，我們還要利用視空間的表征方式來(lái)讓問(wèn)題的整體性在空間層面表達(dá)出來(lái)。低幼時(shí)期是一個(gè)最佳的學(xué)習(xí)圖形表征的時(shí)期，而這一點(diǎn)也恰恰是我們數(shù)學(xué)教育中非常缺失的環(huán)節(jié)。既然題目已經(jīng)解答出來(lái)了，我們何必要畫(huà)圖呢？這大約因?yàn)槲覀兂扇俗约阂膊簧瞄L(zhǎng)這點(diǎn)吧。

表征對(duì)應(yīng)能力的發(fā)展，關(guān)系到如何解決：

圖形補(bǔ)缺來(lái)解決周長(zhǎng)和面積問(wèn)題

算式謎題里面各種圖形符號(hào)替換

代數(shù)思維，方程思路

在盈虧問(wèn)題中一個(gè)維度的增量調(diào)節(jié)到另一維度中

比例問(wèn)題以及矩形圖式在各種運(yùn)算結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用

表征是人類天生的系統(tǒng)，不斷在進(jìn)化，目的是為了更加簡(jiǎn)便高效，從這個(gè)角度講，數(shù)學(xué)作為一門應(yīng)用科學(xué)，在解決許多問(wèn)題的時(shí)候，其出發(fā)點(diǎn)和思路也是如此，為了高效，為了統(tǒng)籌，為了簡(jiǎn)化問(wèn)題，我們“發(fā)明”了各種表征方式。

而對(duì)應(yīng)從幼兒園時(shí)期開(kāi)始，我們就應(yīng)當(dāng)非常重視“一一對(duì)應(yīng)”能力的培養(yǎng)，父母老師都很在意孩子數(shù)數(shù)能力，但口頭上的重視，僅表現(xiàn)在關(guān)心數(shù)字大到幾了，而并不關(guān)心孩子是否能夠?qū)?yīng)物體去數(shù)數(shù)。大多數(shù)時(shí)候，我們太關(guān)心兒童“社會(huì)性知識(shí)”的獲得，所以總是表現(xiàn)在用記憶力來(lái)衡量?jī)和欠衤斆?。但是隱藏在一些不太明顯的舉動(dòng)后面的，比如兒童的秩序感，總是要求絕對(duì)對(duì)應(yīng)，以及模仿能力，都體現(xiàn)了兒童對(duì)應(yīng)思維的發(fā)展，往往難以量化來(lái)比較高低強(qiáng)弱，成人因?yàn)槭チ藰?biāo)準(zhǔn)和對(duì)比，所以往往將之忽略。

歸根結(jié)蒂，我們必須要說(shuō)，這是數(shù)學(xué)教育上的極大失誤，因?yàn)槲覀儙资甑慕逃谧屛覀冨e(cuò)誤認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)，總是把“數(shù)量”等同于數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)如果不能夠量化，還能稱之為數(shù)學(xué)嗎，所以我們從來(lái)不關(guān)心那些需要定性，只是展示了結(jié)構(gòu)模式，在視覺(jué)空間層面上有意義的行為表現(xiàn)。但恰恰是這些東西，決定了在高層挑戰(zhàn)中，兒童的表現(xiàn)是怎樣的。

第三水平：尋找數(shù)量關(guān)系能力水平

這一水平無(wú)論如何都必須到學(xué)齡后才能得以實(shí)現(xiàn)，如果說(shuō)前兩方面的能力，我們提前兩年，在學(xué)齡前就可以開(kāi)始準(zhǔn)備，并且一直貫穿到整個(gè)學(xué)齡后期，那么尋找數(shù)量關(guān)系，是學(xué)齡后的注意力焦點(diǎn)，這個(gè)焦點(diǎn)外圍，依然是規(guī)律模式以及表征對(duì)應(yīng)能力在不斷深化，他們夾帶著推理能力的越來(lái)越成熟，促進(jìn)了兒童越來(lái)越善于尋找數(shù)量關(guān)系，從而可以解決各種演繹出來(lái)的題目。

當(dāng)然，這是我們一個(gè)理想圖景，大多數(shù)困境都源自于我們既忽略了前兩個(gè)水平的發(fā)展，又在學(xué)齡后迅速陷入學(xué)習(xí)解題策略的陷阱中。忽略尋找數(shù)量關(guān)系能力的培養(yǎng)，意味著我們會(huì)在三個(gè)方面都做不到位：

第一個(gè)方面是分類排序，可能很多人會(huì)奇怪，數(shù)量關(guān)系與分類排序有什么關(guān)聯(lián)？我們以為數(shù)量關(guān)系就是4比2多2，6的一半是3，36與38的平均數(shù)是37，假如我們?nèi)绱巳ダ斫?，就好比我們?cè)谛蕾p一副畫(huà)時(shí)，看到了左邊是山坡，右上角是太陽(yáng)，中央上方是一條路，底下是一條河，嗯，還有左下角坐著一只兔子......這叫什么，叫“扁平式”思維，我們?nèi)绾卫斫馊Q于我們?nèi)绾慰创?，如何看待取決于我們?nèi)绾畏诸惒⑦x擇了什么構(gòu)成方式，如果我們選擇扁平，就會(huì)如此描述，如果我們選擇層次，我們會(huì)描述成畫(huà)面分成9個(gè)區(qū)域三個(gè)層次，光影決定了描繪的景深，色彩表達(dá)了情緒......數(shù)量關(guān)系，如果離開(kāi)了分類排序，就只是一堆無(wú)意義的“算術(shù)”。

第二個(gè)方面是運(yùn)算結(jié)構(gòu)，我想再次強(qiáng)調(diào)算術(shù)不是數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)意味著結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)意味著首先我們頭腦中都有分類盒子，然后有某種標(biāo)準(zhǔn)或者很多標(biāo)準(zhǔn)下的序列。然后我們才選擇依據(jù)什么來(lái)尋找數(shù)量關(guān)系。每一種運(yùn)算都體現(xiàn)了我們對(duì)事物的分類結(jié)構(gòu)，體現(xiàn)了我們看到的場(chǎng)景，是如何在頭腦中被安置了位置的。然后才有我們要去計(jì)算它們，量化他們。想象我們并不在意兒童頭腦中的結(jié)構(gòu)如何被建構(gòu)出來(lái)，我們只是往里面填塞一個(gè)個(gè)故事，每一個(gè)題型的解題套路都是一個(gè)故事，兒童需要記憶這些故事，但是內(nèi)在并無(wú)結(jié)構(gòu)，那么離開(kāi)了考試這個(gè)場(chǎng)景，這些故事都毫無(wú)意義。這也是為什么，我們很容易從日常生活中考察出兒童是否具有與考試相同級(jí)別的數(shù)學(xué)思維。

第三個(gè)方面是圖式表征，前面第二水平我們講過(guò)表征有兩種，一種文字語(yǔ)言表征，一種視空間表征。圖式表征是后一種，為什么我們要強(qiáng)調(diào)這一表征？因?yàn)閳D式表征可以表達(dá)文字語(yǔ)言所不能表達(dá)的空間結(jié)構(gòu)，這依然在結(jié)構(gòu)層面上具有優(yōu)勢(shì)，同時(shí)，我們有技巧可以將時(shí)間與空間統(tǒng)合在視空間圖形中。要知道，數(shù)學(xué)問(wèn)題與時(shí)空問(wèn)題息息相關(guān)，時(shí)間與空間是不可分割的，但我們?cè)谔峁﹥和茁窌r(shí)，通常都不會(huì)講時(shí)間線問(wèn)題，我們的數(shù)學(xué)中沒(méi)有滲透對(duì)時(shí)間這一維度的分析。也許是因?yàn)檫^(guò)于抽象，難以用語(yǔ)言表達(dá)得簡(jiǎn)潔易懂，而圖形在這方面就很容易將時(shí)間變化結(jié)合進(jìn)去。

如果我們從這三個(gè)方面去解決兒童尋求數(shù)量關(guān)系能力培養(yǎng)的問(wèn)題，我們大約需要2年時(shí)間來(lái)打通四則運(yùn)算，最最基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)運(yùn)算結(jié)構(gòu)單元。這個(gè)過(guò)程中，我們可以囊括所有的應(yīng)用題題型。

尋找數(shù)量關(guān)系能力的發(fā)展，關(guān)系到如何解決：

理解加法結(jié)構(gòu)以及加法與乘法的關(guān)系

理解平均數(shù)問(wèn)題進(jìn)而解決歸一歸總問(wèn)題

通過(guò)以上兩個(gè)方面理解和差／倍數(shù)問(wèn)題

這些問(wèn)題會(huì)衍生出來(lái)的年齡問(wèn)題

解決行程問(wèn)題以及將和差與行程結(jié)合起來(lái)的行船問(wèn)題

不用說(shuō)比例問(wèn)題已經(jīng)可以上升到很難的對(duì)應(yīng)題上了

結(jié)合表征我們可以學(xué)習(xí)代數(shù)思維方程結(jié)構(gòu)了

瞧，一連串的問(wèn)題都可以被帶出來(lái)，要提高兒童解題能力，不是簡(jiǎn)單粗暴地提供他們很多解題套路，不要總想著給孩子腦袋里裝進(jìn)一個(gè)又一個(gè)故事，要讓他們背出來(lái)記住，不斷拿故事去套題目，實(shí)力其實(shí)在于他們是否善于尋找數(shù)量關(guān)系，不管題目如何變，首先要尋找的就是數(shù)量關(guān)系，這種能力來(lái)自于我們前面說(shuō)的三個(gè)分支。假如我們循序漸進(jìn)地教導(dǎo)他們，每一個(gè)階段一個(gè)個(gè)側(cè)重點(diǎn)地去引導(dǎo)，并不斷結(jié)合舊的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，加以整合，我們可以期望兩年后，孩子可以變得對(duì)運(yùn)算結(jié)構(gòu)非常嫻熟，解題思路也靈活敏捷。

第四水平：洞穿復(fù)雜度能力水平

如果我們可以很好地掌握第三水平，那么第四水平，我們至少不會(huì)迷亂在復(fù)雜度增加的題目中，也就是通常我們說(shuō)的擴(kuò)展提型中。因?yàn)樗麄兊幕窘Y(jié)構(gòu)是不變的，只是增加了一些復(fù)雜度，有時(shí)候也稱為干擾因素。這些復(fù)雜度其實(shí)是 模擬了現(xiàn)實(shí)世界中，假如我們要解決一個(gè)問(wèn)題，情景必然是多種多樣，各種不均衡，不規(guī)律的，那么我們要洞穿這些問(wèn)題的本質(zhì)，在本質(zhì)結(jié)構(gòu)層面的模式一旦掌握，我們?cè)僭诘诙用娼鉀Q那些干擾因素，就可以輕松攻克難關(guān)了。

這里面我們都知道，通常復(fù)雜題目的解析，很依賴于人的條理性夠不夠，歸納分析能力強(qiáng)不強(qiáng)。這兩個(gè)詞總是反復(fù)出現(xiàn)在教育里，但是總是給人感覺(jué)是不可觸摸，因?yàn)檎l(shuí)也講不清到底什么是條理性，什么是歸納分析能力，具體到落地的時(shí)候，找不到一種合適的訓(xùn)練方式，精確的評(píng)估。

讓我們暫且放下這些模糊的概念，回到數(shù)學(xué)本身，條理的前提依然是結(jié)構(gòu)，只是這里我們特別強(qiáng)調(diào)的是“層級(jí)結(jié)構(gòu)”，人的頭腦中，存放著各種概念，這些概念并非孤立，也不是串聯(lián)，概念與概念之間有著密切關(guān)聯(lián)，猶如一個(gè)網(wǎng)絡(luò)一般。這個(gè)網(wǎng)絡(luò)中也分層級(jí)，在不同問(wèn)題的解決水平上，我們可以構(gòu)建出不同的路徑，這種路徑就體現(xiàn)了條理性，先思考什么，先做什么，然后下一步是什么，這種思維模式的培養(yǎng)，并非如此這般告訴孩子，“你要想第一步做什么，第二步做什么”，他們就建立起來(lái)的，而是從最早期的分類，到了后來(lái)的集合，類包含，到了數(shù)學(xué)運(yùn)算結(jié)構(gòu)本身，我們不斷強(qiáng)調(diào)，或者說(shuō)不斷在建構(gòu)兒童的層級(jí)結(jié)構(gòu)，他們從可以蓋一個(gè)茅草屋，到了可以蓋一棟摩天大樓的時(shí)候，也就是培養(yǎng)他們條理性以及歸納分析能力的過(guò)程。

洞穿復(fù)雜度能力水平的發(fā)展，關(guān)系到如何解決：

在四則運(yùn)算題目中發(fā)現(xiàn)各種關(guān)系量的問(wèn)題

關(guān)系量可能發(fā)生在一個(gè)維度或者幾個(gè)維度上的問(wèn)題

不管是總量還是分量都可能被隱藏我們?nèi)绾握业綄?duì)應(yīng)關(guān)系的問(wèn)題

類似過(guò)橋問(wèn)題這樣看似動(dòng)靜結(jié)合其實(shí)只是擴(kuò)展維度的問(wèn)題

在許多枚舉題統(tǒng)籌安排的問(wèn)題中將會(huì)涉及到如何分類分層的問(wèn)題

學(xué)習(xí)的方式是滾雪球式的，燙的飯，我們總是一層層吃，堅(jiān)硬的冰激凌我們總是一層層刮，越是艱難的問(wèn)題，我們?cè)叫枰獙訉舆f進(jìn)，很多時(shí)候，我們放棄這種循序漸進(jìn)的方式，是認(rèn)為每一次都只在每個(gè)領(lǐng)域遞進(jìn)了一步，實(shí)在太慢了，我們希望一次性就徹底解決一個(gè)問(wèn)題，但是又忽略了兒童的思維在每一層的深度上其實(shí)都需要各個(gè)領(lǐng)域的概念的輔助，于是一個(gè)問(wèn)題的深度就牽扯出十個(gè)問(wèn)題的廣度，這個(gè)時(shí)候，我們發(fā)現(xiàn)智力不夠用了，那么就放棄思考吧，直接記住背出來(lái)即可，再不行，刷題必然能解決問(wèn)題。

這就是一個(gè)惡性循環(huán)，我們永遠(yuǎn)逃不出的深淵，一旦進(jìn)入，沒(méi)有回頭之路。這也是為什么我從一開(kāi)頭就講，如果一個(gè)孩子已經(jīng)經(jīng)歷了三四年這樣的學(xué)習(xí)方式了，基礎(chǔ)層面千瘡百孔，你若要回歸正途，你會(huì)發(fā)現(xiàn)無(wú)論是你還是孩子都需要付出極大代價(jià)，這種精神力層面的代價(jià)尤其折磨人，所以也是基本上極少人可以成功。

原本我們可以談?wù)劦谖鍌€(gè)水平，模型思維水平，鑒于家長(zhǎng)們?cè)疽呀?jīng)夠焦慮，現(xiàn)在教育也已經(jīng)夠超前，我也不想在此篇里詳解了。下面就上面談到的四個(gè)能力水平，我們從兒童學(xué)習(xí)的時(shí)間線上，我提供一份六年學(xué)習(xí)計(jì)劃，僅供對(duì)數(shù)學(xué)思維發(fā)展有興趣的家長(zhǎng)學(xué)習(xí)參考。

兒童數(shù)學(xué)思維發(fā)展六年學(xué)習(xí)計(jì)劃

第一年：4-5歲

重點(diǎn)目標(biāo)：數(shù)量概念建立與表征能力培養(yǎng)

中班開(kāi)始，可以正式進(jìn)行數(shù)學(xué)啟蒙了，這個(gè)時(shí)候，不要去想怎么樣學(xué)會(huì)加法，什么時(shí)候背出乘法口訣表。我們的重點(diǎn)是抽象思維啟蒙，什么是抽象思維，不受事物外在屬性干擾，可以就其抽象本質(zhì)進(jìn)行思考。數(shù)量是事物的一種抽象本質(zhì)，搞清楚加減法的前提也得是在理解數(shù)量的基礎(chǔ)上建立的。搞清楚10以內(nèi)的數(shù)量概念，你需要花一年時(shí)間，毫不夸張，因?yàn)槔锩嬗刑嗟膶W(xué)問(wèn)了，我說(shuō)過(guò)，這如同人類在月球上邁出第一步。這個(gè)過(guò)程中，我們會(huì)遇到各種表征以及類比推理，這些都是最最基礎(chǔ)的表征能力，同時(shí)，已經(jīng)開(kāi)始理解基數(shù)與序數(shù)的區(qū)別，建立最最簡(jiǎn)單數(shù)字規(guī)律的概念了。規(guī)律這件事，我們還要在其他生活經(jīng)驗(yàn)層面上，結(jié)合數(shù)字概念玩起來(lái)，秩序是這一時(shí)期的相當(dāng)敏感的方面，孩子的大腦很容易從秩序?qū)用鎭?lái)接受規(guī)律，建立模式，他們也會(huì)通過(guò)藝術(shù)表達(dá)的方式表征出這些對(duì)規(guī)律模式的理解。如果這個(gè)時(shí)期，能夠充分接觸積木，將對(duì)于兒童發(fā)展空間智能起到非常大的幫助，也能很好促進(jìn)后面的視空間表征能力的進(jìn)一步發(fā)展。

第二年：5-6歲

重點(diǎn)目標(biāo)：學(xué)習(xí)類別結(jié)構(gòu)以及建立模式

大班，雖然快要幼升小了，但是不用緊張，如果你前一年的數(shù)量概念建立得很好，就算此時(shí)他／她壓根兒不會(huì)加減法，也不用擔(dān)心，很快你的孩子會(huì)在半年里掌握10/20以內(nèi)加減法，這個(gè)時(shí)期的重點(diǎn)依然不是在運(yùn)算，而是在建立類別的各種結(jié)構(gòu)以及識(shí)別各種模式，當(dāng)然其中必然有數(shù)字模式（序列結(jié)構(gòu)）。掌握加法是從模式中獲得的，即便還沒(méi)有進(jìn)入小學(xué)，你的孩子已經(jīng)可以從算式中推導(dǎo)出規(guī)律，并依據(jù)規(guī)律來(lái)寫(xiě)答案或者補(bǔ)全算式了。如果前一個(gè)階段你把用功的地方放在了類比推理上，恭喜你，你會(huì)在本階段發(fā)現(xiàn)自己的孩子怎么會(huì)如此“聰明”，自己都能發(fā)明算術(shù)了！從孩子可以推導(dǎo)出加法，到減法，這個(gè)過(guò)程中，我們還需要深化表征能力，體現(xiàn)在我們需要通過(guò)圖式來(lái)解決一些最最簡(jiǎn)單的文字題，算式代表什么，此時(shí)是表征的重點(diǎn)。我們也始終會(huì)在表征中貫穿一個(gè)結(jié)構(gòu)思想：整體部分思想。

第三年：6-7歲

重點(diǎn)目標(biāo)：加乘原理以及圖式表征

小學(xué)第一年，你肯定會(huì)遇到很多孩子的同班同學(xué)已經(jīng)在外面各種超前學(xué)習(xí)了，此時(shí)你感覺(jué)到了壓力，怎么課還沒(méi)上，有些孩子已經(jīng)在做乘法題了，或者幾位數(shù)加減法了。稍安勿躁，你可以把眼光放再遠(yuǎn)一點(diǎn)，我們可以解決的不只是一年級(jí)運(yùn)算結(jié)構(gòu)問(wèn)題，還可以將二三年級(jí)的基礎(chǔ)先打牢靠了。重點(diǎn)就是加乘原理，要理解這種運(yùn)算結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系，我們必然涉及到層級(jí)結(jié)構(gòu)，以及如何用各種各樣的圖來(lái)表征這種分層的結(jié)構(gòu)或者是整體部分的關(guān)系，我們也會(huì)在圖式中正式引入時(shí)間線概念，要知道，孩子對(duì)時(shí)間的認(rèn)知是多么重要！如果說(shuō)前兩年我們?cè)诒碚饔螒蛑幸呀?jīng)讓孩子接觸了時(shí)間類型，那么此時(shí)是真正在時(shí)間序列上去考慮事情的發(fā)生變化，以及對(duì)應(yīng)的算式如何表征，運(yùn)算只是在解決時(shí)間空間維度上的一些未知，這些未知都依靠于我們將結(jié)構(gòu)分析得一清二楚獲得。不出意外的話，兒童自己能夠在解析結(jié)構(gòu)的過(guò)程中，將歸納能力與演繹能力得到很好的統(tǒng)一，而這就是你孩子在這一年里得到的最寶貴的禮物。

第四年：7-8歲

重點(diǎn)目標(biāo)：各種常見(jiàn)應(yīng)用題結(jié)構(gòu)分析以及數(shù)游戲

小學(xué)二年級(jí)，此時(shí)你的孩子已經(jīng)和別的孩子不同了，我所說(shuō)的不同是思維結(jié)構(gòu)上的不同，或許很多概念你的孩子還沒(méi)有接觸，比如各種奧數(shù)題型的名稱以及思路，但是你的孩子對(duì)于四則運(yùn)算的結(jié)構(gòu)已經(jīng)掌握得很清楚了，你要知道加減乘除相互之間的關(guān)聯(lián)，可以衍生出無(wú)數(shù)種題目，但是知道本質(zhì)結(jié)構(gòu)，就可以定定心了，孫悟空逃不出如來(lái)佛掌，結(jié)構(gòu)意味著一切。但是你需要小心的是你孩子在抽象思維上可能存在的平臺(tái)期和斷層，你需要讓他盡快習(xí)慣于只與數(shù)字打交道，或者說(shuō)，從數(shù)字游戲中獲得樂(lè)趣。前幾年我們?cè)谝?guī)律模式上打下過(guò)扎實(shí)的基礎(chǔ)，此時(shí)在兒童熟練于四則運(yùn)算的前提下，你可以讓他玩玩大量的數(shù)游戲，不管是數(shù)獨(dú)還是撲克牌24點(diǎn)，都是極佳的訓(xùn)練敏捷運(yùn)算的方式。如果說(shuō)應(yīng)用題的結(jié)構(gòu)分析訓(xùn)練的是兒童清晰的思路，條理分明的解題手法，那么數(shù)游戲訓(xùn)練的是兒童速度以及效率層面的能力和意識(shí)。一年時(shí)間足矣讓他變成心算高手，同時(shí)也是一個(gè)概念高手。

第五年：8-9歲

重點(diǎn)目標(biāo)：分?jǐn)?shù)小數(shù)運(yùn)算以及比例概念

三年級(jí)的時(shí)候，我們并不滿足于當(dāng)前的層級(jí)結(jié)構(gòu)，需要在結(jié)構(gòu)的維度上進(jìn)行拓展，數(shù)字并非越大越好，小的數(shù)字更不容易掌握，當(dāng)分?jǐn)?shù)小數(shù)這樣的概念推出的時(shí)候，無(wú)疑，兒童需要解構(gòu)他的舊體系，重建一套新的結(jié)構(gòu)，以便納入這些數(shù)字概念，我們需要兒童從更為抽象的層面去理解數(shù)字關(guān)系，比例百分比概念，是建立在整體部分以及空間圖式表征層面上的，讓我們想象兒童具有極佳的結(jié)構(gòu)思維以及類比推理能力，將很容易掌握這些數(shù)量關(guān)系。然后我們可以將過(guò)去的題目重新翻出來(lái)，再次用新的概念來(lái)解析一遍，哦，原來(lái)，數(shù)學(xué)可以在不同層次上以不同方法解決！這是一種發(fā)現(xiàn)奧秘的驚喜。

第六年：9-10歲

重點(diǎn)目標(biāo)：方程思想與多策略應(yīng)用

假如我們前五年都可以如此有效地安排每個(gè)階段的學(xué)習(xí)，充分聚焦于重點(diǎn)目標(biāo)上，那么第六年，我們可以順理成章地進(jìn)入代數(shù)方程結(jié)構(gòu)的學(xué)習(xí)了，這個(gè)水平我們肯定會(huì)分化為幾個(gè)維度去思考，必須重新思考兒童數(shù)學(xué)思維的體系性，是否均衡，無(wú)論從概念結(jié)構(gòu)角度，還是從技巧操練角度，兩者的推進(jìn)總是相輔相成。從代數(shù)角度，或是從幾何角度，也都存在著差異，每個(gè)個(gè)體總會(huì)在此時(shí)顯現(xiàn)出其優(yōu)勢(shì)面和劣勢(shì)面?？傮w上，我們主張揚(yáng)長(zhǎng)避短，但在小學(xué)數(shù)學(xué)這樣的基礎(chǔ)層面上，我們也強(qiáng)調(diào)均衡。所以無(wú)論從哪個(gè)角度講，我們更需要此階段，解決問(wèn)題，以多策略方式進(jìn)行，用推理也好，用方程表達(dá)數(shù)量關(guān)系也好，用圖式層面內(nèi)在結(jié)構(gòu)也好，我們永遠(yuǎn)不會(huì)滿足于用一種方法解決問(wèn)題。我們應(yīng)該不會(huì)為答案正確度煩惱，而應(yīng)該思考更多路徑的問(wèn)題。偶爾，我們可以考量一下兒童的運(yùn)算速度，這完全是在趣味競(jìng)爭(zhēng)層面上的。

在我結(jié)束這篇長(zhǎng)篇大論之前，想說(shuō)：兒童并非一張白紙，也不是海綿，更不是什么橡皮泥可塑性很強(qiáng)，我們從某個(gè)方面如此談?wù)撚X(jué)得有道理，但人類其實(shí)進(jìn)化至今，在基因?qū)用嫔?，已?jīng)讓一名出生嬰兒頭腦中已經(jīng)預(yù)存了許多前概念，只是思維在渾沌與沉睡中，兒童的發(fā)展是在與世界的交互中，不斷被激活，被喚醒的過(guò)程，思維從渾沌區(qū)域走向清明，必須經(jīng)歷錯(cuò)誤，失敗。不完美即時(shí)完美，每一時(shí)刻，我們知道自己不知道什么，才有追求的動(dòng)力。我們接受不完美的現(xiàn)狀，才有打通某一關(guān)的驚喜。放下教育的焦慮，首先要放下的是面面俱到的欲望，專注單純的當(dāng)下，才擁有豐富的未來(lái)。