2017
橘子：前段時間，小花生直播間請到了一位資深的數(shù)學(xué)老師 - 賊叉老師，跟大家聊“帶娃學(xué)數(shù)學(xué)”的事兒，反響很熱烈，非常感謝花友們的捧場。
如果你還不知道，先簡要介紹下賊叉老師：浙大數(shù)學(xué)系本碩博、理論物理的博士后，還曾擔(dān)任過多年的浙江省高考閱卷人，對數(shù)學(xué)教學(xué)及應(yīng)試有非常豐富的經(jīng)驗(yàn)。
這是他的“大頭照”，是不是很有點(diǎn)做了很多年數(shù)學(xué)老師的那種風(fēng)范？
這次直播中，賊叉老師講了很多“大實(shí)話”，信息量很大。花友們進(jìn)入小花生視頻號 - 直播回放中，可以看到完整內(nèi)容。當(dāng)然，大家最關(guān)注的問題依然是：怎樣提高孩子的數(shù)學(xué)成績？
作為數(shù)學(xué)老師，這個問題他遇到的實(shí)在太多了：
他說：“數(shù)學(xué)不可能一蹴而就，要把數(shù)學(xué)搞上去，必然要配套許多的基本訓(xùn)練。在這些基本訓(xùn)練中，我認(rèn)為最最重要、也是最最核心的就是計算能力的訓(xùn)練。
在小學(xué)階段數(shù)學(xué)能把計算學(xué)過關(guān)，對后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義是巨大的。”
一般來說，我們不太愿意聊這么應(yīng)試的問題。不過，賊叉老師的這次分享，點(diǎn)明了大家對計算的誤區(qū)，還給到了很多接地氣的做法，非常值得仔細(xì)一看！
來，一起聽聽這位資深數(shù)學(xué)老師“帶刺兒”的大白話 ...
賊叉老師還出過《不焦慮的數(shù)學(xué)+幾何+函數(shù)》系列，對帶孩子學(xué)數(shù)學(xué)書的問題，有更細(xì)致的講解。
-- 以下為正文--
對于大部分的孩子來說，如果家長想助力孩子的小學(xué)數(shù)學(xué)，輔導(dǎo)重點(diǎn)有兩個：一是養(yǎng)成好的數(shù)學(xué)思維，二是加強(qiáng)計算。
數(shù)學(xué)思維主要還是靠家長和老師共同培養(yǎng)，不是一朝一夕能見到成效的，但是加強(qiáng)運(yùn)算這件事，可以立竿見影地提高孩子數(shù)學(xué)成績。這里簡單講講如何加強(qiáng)運(yùn)算。
小學(xué)數(shù)學(xué)的系統(tǒng)性相對而言是比較弱的，知識點(diǎn)比較零散，所以更加凸顯鍛煉計算能力的重要性。
比如，看似簡單的兩位數(shù)乘以三位數(shù)，本質(zhì)上包含了對數(shù)的分解再組合的一個過程。
數(shù)學(xué)基本功
最核心的就是“計算能力”
萬丈高樓平地起，運(yùn)算過關(guān)是第一。
曾經(jīng)有一次和朋友吃飯，他說孩子要在三天后考我們本地最好的初中，問我有啥辦法提高數(shù)學(xué)成績。我當(dāng)場表示：我不是神仙哪！
數(shù)學(xué)不可能一蹴而就，要把數(shù)學(xué)搞上去，必然要配套許多的基本訓(xùn)練。在這些基本訓(xùn)練中，我認(rèn)為最最重要、也是最最核心的就是計算能力的訓(xùn)練。
從小學(xué)開始的數(shù)的計算到中學(xué)的式的計算，無論你到哪個階段，對于數(shù)學(xué)來說，計算能力都是至關(guān)重要的。如果計算不過關(guān)，其他都是白扯。
在小學(xué)階段數(shù)學(xué)能把計算學(xué)過關(guān)，對后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義是巨大的。
很多學(xué)生乃至家長對計算能力有一種誤解，認(rèn)為計算能力就是死算、硬算的能力。然而我所講的計算并不是類似 123 456 789 乘以 987 654 321 這種，當(dāng)然這個計算也重要，但畢竟是最基礎(chǔ)的，并不是最重要的。如果比賽這種計算，那你們十有八九比不過菜市場賣菜的阿姨。
所以，我們還是要學(xué)數(shù)學(xué)里要用的各種計算技巧。
我這么說，正是因?yàn)樘嗫忌搅烁呖茧A段，計算也沒有過關(guān)，然而那時候哪里還有工夫訓(xùn)練計算？只能是什么樣就什么樣了。
在初二之前，都是計算能力養(yǎng)成的好時機(jī)。過了這個時間點(diǎn)，后面的數(shù)學(xué)課再也沒有專門關(guān)于計算的章節(jié)了。再到后來，數(shù)學(xué)的知識點(diǎn)都學(xué)不過來了，哪有空練計算呢？
人教版九年級上的數(shù)學(xué)目錄（部分）
這就好比，小學(xué)畢業(yè)時的作文水平基本決定了高考時的作文水平，你初一讀完時的計算能力基本就是你高考時的計算能力。別人封頂而止，你封腰甚至封膝蓋而止，就是因?yàn)槟愀緵]有把計算練好。所以一定要在初二之前，把自己的計算能力盡可能地提高。
從小學(xué)到高中，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難度越來越大，區(qū)分度越來越高，靠數(shù)學(xué)成績拉分的現(xiàn)象越來越明顯。這些啊，在小學(xué)階段的數(shù)學(xué)考試中，是看不出什么差距的。有的孩子考了 99分，是因?yàn)樗荒芸?99 分；而有的孩子考了 100 分，是因?yàn)榫碜又挥?100 分。這種差距到了高中就會被放大到不忍直視的地步。
但是，良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣、扎實(shí)的基本功的作用在小學(xué)階段往往被忽視了，因此非常有必要從低年級就開始注意培養(yǎng)。
那么，小學(xué)娃的計算能力該如何提高？
小低年級階段：培養(yǎng)數(shù)感
“家學(xué)淵源”四個字可不是說著玩的。很多時候，高手都是受環(huán)境影響、被熏陶出來的。我們在日常生活中會有很多機(jī)會接觸到各種數(shù)。對于低年級的小學(xué)生來說，他們正處在積累感性認(rèn)識的重要時期。要培養(yǎng)孩子對數(shù)的敏感性，對數(shù)感興趣。
比如我們可以讓娃把房間里所有帶數(shù)字的地方都找出來，同時對同類型的物品進(jìn)行歸類。樂高現(xiàn)在差不多是每個孩子玩具的標(biāo)配，那么我們可以讓娃把積木按顏色、按形狀來進(jìn)行分類。類似地，我們可以問問孩子：“房間里有幾張凳子、幾張桌子？”
別小看這類訓(xùn)練，這里包含的分類思想是近世代數(shù)里十分重要的一類問題，訓(xùn)練的雛形可以追溯到低幼年齡段。
樂高分類
在這一階段，我們要教會孩子合理地使用手指進(jìn)行輔助運(yùn)算。
這是人的天性，不用白不用??！人類之所以采用十進(jìn)制的原因就是我們恰好有 10 根手指……如果我們每個人有 17 根手指，那現(xiàn)在最流行的恐怕就是十七進(jìn)制了。
采用手指幫助計數(shù)和輔助計算近乎是人類的本能，所以孩子在這個階段用此方法是完全必要的，不要一開始就禁止孩子使用這些天然的輔助手段。只有當(dāng)孩子能熟練地進(jìn)行計數(shù)之后，我們再來考慮計算能力。
無論做什么訓(xùn)練，就是兩條原則：循序漸進(jìn)和持之以恒。千萬不要動不動就覺得自己生了個天才，很多家長看到孩子取得一點(diǎn)成績就無限放大。
曾經(jīng)年幼無知的我在高中的時候也覺得自己就是那種為了數(shù)學(xué)而生的男人，然而大學(xué)第一學(xué)期就把我打回了現(xiàn)實(shí)世界。保持平常心對于客觀認(rèn)識娃的水平有著極其重要的意義。
小學(xué)中高年級階段：巧學(xué)計算
先給家長們教一招怎么判斷孩子的計算能力有沒有過關(guān)，用父母兩個人手機(jī)號做乘法！十一位數(shù)的乘法，你讓孩子去算一遍這種單純機(jī)械式的運(yùn)算，孩子能不能做對？如果能做對，那就進(jìn)階測試，讓孩子用算出來的結(jié)果除以其中一個電話號碼，看看結(jié)果是不是另一個手機(jī)號碼，只要測試這樣的兩組都過關(guān)了，孩子的基本運(yùn)算就沒有問題，家長就放心了。
十一位數(shù)乘法計算
在我的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、教學(xué)過程中，我認(rèn)為熟記一些數(shù)據(jù)其實(shí)對培養(yǎng)計算能力作用非常大，這些數(shù)據(jù)包括但不限于 100 以內(nèi)的平方、3 到 10 的高次冪、1 到 10 的算術(shù)平方根（精確到小數(shù)點(diǎn)后三位），等等。
我建議從三年級下學(xué)期或四年級上學(xué)期就可以開始背誦了，孩子在這個時候的記憶力好，并且有一定計算的基礎(chǔ)。當(dāng)然，孩子再大一點(diǎn)也沒問題，初中之前都來得及。
為什么要背這個東西？我前面講過數(shù)學(xué)這門學(xué)科在高考中的區(qū)分度非常大。不光是問題的思路難找，而且計算量大，特別是后面的解析幾何和函數(shù)這兩類題目的計算量更是驚人。如果把數(shù)學(xué)高考的時間拉長到四個小時，那么很多考生的分?jǐn)?shù)會有所提升，因?yàn)橛嬎愕臅r間充裕了。所以，計算熟練度在很大程度上決定了你的數(shù)學(xué)成績。
同樣一張卷子，假定兩個考生對知識點(diǎn)的掌握程度是一樣的，但是一個人計算過關(guān)，一個人計算糟糕，兩個人最后的分差達(dá)到 30 分是絕對有可能的。
然而令人遺憾的是，偏偏計算是最容易被忽視的地方。在課堂講解的時候，幾乎所有的老師都默認(rèn)你計算過關(guān)了，但實(shí)際情況呢？呵呵，你自己心里清楚。算得快就算不對，算對了就算不快。
必須要明確一點(diǎn)：計算越復(fù)雜，出錯的可能性就越大。我們對于簡單運(yùn)算出錯的概率肯定小于復(fù)雜運(yùn)算。也就是乘方、開方比乘除法容易犯錯，乘除法比加減法容易犯錯，抽象運(yùn)算比具體運(yùn)算容易犯錯。背平方表的直接目的就是把乘法變成減法來做。
一般來說，如果一個人不用打草稿就能計算兩位數(shù)乘以兩位數(shù)，那已經(jīng)可以認(rèn)為這人的計算能力很強(qiáng)了。要達(dá)到這個目標(biāo)，只要把平方表背熟了，就不是難事。
我們舉個例子，一個基本公式，即平方差公式，(a＋b)(a－b)=a2－b2 綜合平方表，這個公式將大顯神威。
舉個例子：
比如38×44，
我們看成
（41＋3)(41－3）
=1681－9
=1672
412=1681；32=9
是不是很快？換句話說，如果兩個兩位數(shù)的和是偶數(shù)，我們總可以把它們的積寫成 a＋ba－b 這種乘積的形式，把乘法直接變成了減法來做！假定平方數(shù)是直接背出來的，這樣減少了計算環(huán)節(jié)，自然正確率就提高了。
仍然以 38×44為例，如果你列豎式，要涉及 4 次乘法、4 次乘法進(jìn)位和 2 次加法。而用平方差公式就只要一次減法。你覺得哪個正確率高呢？
我們來看一個很簡單的概率題：假設(shè)你每次簡單計算的正確率是 99%，9 次運(yùn)算后的成功率就下降到 91.4%。所以對于上面這道題，你如果只做一次減法，解題成功率就是 99%。是不是很神奇？
等娃能把整張表背會以后，家長自己每天就出 100 個題目考娃，十天半個月就能鞏固得很好了。
以前看過一個視頻，武打明星梁小龍接受采訪的時候和主持人玩了一個游戲：他捏一張十塊錢的紙幣，隨時可能松手，然后讓主持人做好準(zhǔn)備去接，結(jié)果主持人每次都接不住。梁小龍的解釋就是，你用眼睛看到紙幣落下，然后再反應(yīng)，這個時間肯定就不夠了，只能憑感覺。無獨(dú)有偶，還有一個視頻，就是路人甲戴上拳擊手套去打一個職業(yè)拳手，職業(yè)拳手不還手、只閃躲，結(jié)果路人甲在一分多鐘的時間內(nèi)一拳都打不著人家。
這兩個例子無非在說明一個道理：不要靠臨場反應(yīng)，要靠本能判斷，要靠肌肉記憶。
同樣，理論上數(shù)學(xué)真的沒什么需要記的東西，你如果基本概念夠扎實(shí)，什么都能推導(dǎo)出來，但別忘了：考試是有時間限制的。我一再強(qiáng)調(diào)：現(xiàn)在的數(shù)學(xué)考試玩的不光是難度，還有熟練度，你運(yùn)算不夠熟練是沒有用的。所以正解還是要認(rèn)真地去背。
數(shù)學(xué)中?！按中摹眮G分？計算沒閉環(huán)！
其很多人都沒有搞明白，數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)，考試是考試，對大多數(shù)人孩子而言，他是不會去當(dāng)數(shù)學(xué)家的，對吧？數(shù)學(xué)考試對大多數(shù)人而言，具有更現(xiàn)實(shí)的意義，考分是多少，是大多數(shù)的學(xué)生和家長最關(guān)心的問題。
這就導(dǎo)致很強(qiáng)的結(jié)果導(dǎo)向，沒人會在意你是因?yàn)槭裁村e的，孩子是抄錯題也好，不會這道題也好，結(jié)果是不是都一樣？
沒人會在乎你的孩子到底是粗心還是笨，結(jié)果錯了就是錯了，娃的智商就是真的跟牛頓一樣也白搭。
我之前講過，從統(tǒng)計的角度來看，大部分孩子的智商水平差距確實(shí)不大，所以不要強(qiáng)調(diào)孩子錯得多只是因?yàn)榇中?，一定要找到深層次的原因，自欺欺人是于事無補(bǔ)的。在小學(xué)階段，父母充當(dāng)“虎爸狼媽”比甜言蜜語要管用得多，所以父母一定要在思想上糾偏。
我這么多年的這個學(xué)習(xí)，工作的經(jīng)驗(yàn)來看，真的高手?jǐn)?shù)學(xué)，絕對不會粗心的，不存在說題目都會，就是粗心沒做對。
我見過一把一把的好學(xué)生，可還真沒見過什么聰明的學(xué)生做題很“粗心”的。你可以問問你家娃，他在打《王者榮耀》的時候會把百里玄策和百里守約這兩個角色搞錯嗎？他為什么不會搞錯？那是因?yàn)樗麑@個游戲已經(jīng)完全掌握了，好嗎？
那做數(shù)學(xué)題的時候?yàn)槭裁淳鸵e、錯、錯？那是因?yàn)樗緵]搞明白，好嗎？搞明白了就不會錯！“孩子粗心”這種話只是用來自我麻痹，家長總說自己孩子這也挺好的，那也挺好的，就是粗心，這樣說自己心里也好受一點(diǎn)，沒有家長愿意說自己 家娃笨的。
當(dāng)然，有的家長可能對“粗心”這個事有不同看法。比如，腦子里想的是這個，寫的卻是那個，算不算粗心？還有，從上一步到下一步抄錯了，算不算粗心？
在我看來，這就是不會。因?yàn)樽鲆槐椤Ⅱ?yàn)一遍這是最基本的工作。如果連驗(yàn)算都檢查不出對錯，還敢說自己會計算？
所以我非常建議家長讓孩子掌握那些關(guān)于簡單的整除，比如背誦很多可以被1到11數(shù)字整除的數(shù)字。
這有什么好處呢？就是要讓孩子學(xué)會驗(yàn)算啊。如果我們掌握一些整除的性質(zhì)，甚至不動筆就能檢驗(yàn)對錯了。
首先，我來介紹一些簡單的整除的性質(zhì)。
被 2 整除的條件，尾數(shù)是偶數(shù)；
被 3 整除的條件，各位數(shù)位上的數(shù)字之和能被 3 整除；
被 4 整除的條件，末兩位數(shù)能被 4 整除；
被 5 整除的條件，末位數(shù)是 0 或 5；
被 6 整除的條件，同時能被 2 和 3 整除；
被 7 整除的條件，末位數(shù)乘以 2，所得的積與前面所有數(shù)字組成的數(shù)相減，若差能被 7 整除即可；
被 8 整除的條件，末三位數(shù)能被 8 整除；被 9 整除的條件，各位數(shù)位上的數(shù)字之和能被 9 整除；
被 11 整除的條件，奇數(shù)位數(shù)字之和與偶數(shù)位數(shù)字之和的差能被 11 整除；
......
有了這個規(guī)律，驗(yàn)算的速度就可以大大提高。接下來看如何應(yīng)用這些規(guī)律。
比如432÷24=18，這個答案對不對呢？
首先，18=2×9，所以，假如 432 能被 18 整除，就意味著 432 要同時被 9 和 2 整除；
其末位數(shù)字是 2，所以被 2 整除沒問題；
4＋3＋2之和為 9，能被 9 整除也沒問題；
然后看尾數(shù)，24 的尾數(shù)和 18 的尾數(shù)乘積確實(shí)是 2；
如果答案算成 34，就算 30 乘以 18 等于 540，大于 432，所以24 是沒有問題的。
這里順便說一句：尾數(shù)的相乘和相除往往是檢查的第一道防線，非常的重要。如果有余數(shù)，那么就把商和除數(shù)相乘得到的尾數(shù)加上余數(shù)的尾數(shù)，看看是否等于被除數(shù)的尾數(shù)。這個檢查技巧雖然簡單，但是非常實(shí)用。
于是，我們不列一個式子就完成了驗(yàn)算，而且基本保證是對的。
再來看15×18，如果得到的結(jié)果是 260，那怎么驗(yàn)算呢？
很顯然，260 的各位數(shù)字之和等于 8，并不能被 9 整除；
而 15 和 18 的乘積應(yīng)該至少可以被 27 整除，這個結(jié)果怎么可能會對呢？
有了這套整除規(guī)律，你第一時間就能知道自己計算結(jié)果正確的概率。
熟練運(yùn)用這樣的檢查方法之后，能極大地提升檢查的效率，并且降低檢查出錯的概率，把檢查真正變得有意義，而不是拿支筆點(diǎn)著自己的過程一遍遍地浪費(fèi)本不寬裕的時間，甚至干出“把對的改成錯的”這類蠢事。
運(yùn)算要形成一個統(tǒng)一的整體。到驗(yàn)算為止，運(yùn)算就構(gòu)成了一個完整的閉環(huán)。從加、減、乘、除，到初步的速算，再到如何用逆運(yùn)算檢驗(yàn)，你會發(fā)現(xiàn)是環(huán)環(huán)相扣的。
這些方法都是很簡單的，就是看你讓孩子做不做，做了以后能堅持多久，到上大學(xué)之前啊有12年的學(xué)習(xí)時間，有幾位家長能堅持到最后的呢？其實(shí)堅持不到最后，本身也是常態(tài)，所以大多數(shù)孩子數(shù)學(xué)學(xué)不好，也是常態(tài)。
關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，
大家還有什么想問賊叉老師的？
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