2017
橘子：今天，請到了一位數(shù)學大牛，來回答問題：為啥很多孩子小學數(shù)學成績很好，到了初高中卻會落下？
這位大牛就是咱們的花友@昍爸（讀音：xuān），中國科學院計算機博士、前南京師范大學計算機教授，可謂“根正苗紅”的數(shù)學教育專業(yè)人士。
他自己數(shù)學也特別好：在初中和高中時曾獲得全國數(shù)學奧林匹克聯(lián)賽一等獎，江蘇賽區(qū)第一名，高考數(shù)學考了滿分。
現(xiàn)在家有兩位小朋友，對怎么教孩子數(shù)學，也有不少實踐心得。還曾利用業(yè)余時間撰寫文章，普及奧數(shù)與數(shù)學教育，著有《給孩子的數(shù)學思維課》等書。
《給孩子的數(shù)學思維課》這本書獲得了科技部2020年全國優(yōu)秀科普作品獎，得到了院士、長江學者、杰青等多位科學家的推薦。公眾號：昍爸說數(shù)學與計算思維
前段時間，小花生直播間也邀請到了昍爸，和大家聊“小學數(shù)學學習中的誤區(qū)“這個主題，反響很熱烈。（微信內掃描二維碼，就可以直接看完整的直播回放了）
這兩天，我們繼續(xù)跟進采訪了這位數(shù)學教育專家，請他就“小學學習誤區(qū)”這個主題做進一步的闡述：
“聽君一席話，勝讀十年書”。非常建議大家仔細讀讀這篇文章，花10分鐘的時間，搞明白一些數(shù)學學習的道理，無論是孩子或是家長，也許都會少走不少彎路。
訪談涉及校內數(shù)學的考試分析，校內各階段數(shù)學學習重點，小學數(shù)學該學什么等一系列經(jīng)驗和建議。非常貨真價實，今天，咱們一起來看！
01
為什么有些小學數(shù)學成績好的孩子，到了初高中數(shù)學會跟不上進度呢？能不能舉例分析下？
昍爸：其實回答這問題特簡單：因為小學數(shù)學成績所謂的“好”是假象。
小學階段的考試是過關考試而不是選拔性考試，區(qū)分度低。特別是期末考試，講究皆大歡喜，因此遍地高分是常態(tài)。這是兩年多前一次期末考試后六年級家長們在群里報告的信息。
坐標：長沙
英語：54人：100分38人，90-99.5分15人，86.5分1人，均分99.1分；
數(shù)學：54人：34個100分，均分97.7分；
語文：54人：7個100分，均分96.3分。
坐標：南京
數(shù)學：39人：14個100分，7個99分。
坐標：海淀
數(shù)學：全班最低94分。
坐標：杭州
自家娃：數(shù)學100，英語100，科學99，語文91（作文寫砸了）；
班級情況：數(shù)學100分很多，平時考七十幾分的也接近滿分了。
放眼望去，大片的100分和99分，這虛假的繁榮確實容易讓人癡迷其中無法自拔。但如果你真因此相信自己的孩子數(shù)學好，那就輸了。
小學數(shù)學知識點有限，這類考試通常考的都是做過的題型，常常只是簡單換個數(shù)字或場景，因此記住一些結論、口訣或公式就特別有用。
在這一階段，就對分數(shù)的貢獻來說，孩子的記憶力足以彌補甚至超越對數(shù)學原理的理解。
我舉兩個小例子：
第一個是植樹問題。
一條小路長36米，在這條小路的一側每隔6米種一棵數(shù)，那么從頭到尾一共可以種多少棵樹？
第一次孩子答36÷6=6，錯了。后來老師反復強調，要在除法結果的基礎上再加1。這樣幾次下來，即便孩子不理解這加的1到底是啥，他也能正確回答類似的問題。
第二個是正方體不同構的展開圖問題。
第一次，孩子可能花好長時間勉強枚舉了8種，其中還有兩種是同構的。好一點的老師可能會費九牛二虎之力講解整個枚舉過程，但最后發(fā)現(xiàn)依舊有不少同學沒法不重復不遺漏地枚舉所有情況，于是干脆教了個口訣。
正方體展有規(guī)律，十一種類看仔細；
中間四個成一行，兩邊各一無規(guī)矩；
二三緊連錯一個，三一相連一隨意；
兩兩相連各錯一，三個兩排一對齊。
一條線上不過四，田七和凹要放棄；
相間之端是對面，間二拐角面相鄰。
正方體不同構的展開圖
這樣一來，許多原來枚舉不全的孩子都會了，老師也不用再費口舌解釋。僅從提升分數(shù)的角度而言，后面這種方法勝出。
但最重要的是什么呢？記住這11種展開圖對我們的認知有什么額外的幫助嗎？
答案是沒有。
怎么有序地去列出這11種展開圖，為什么只有這11種展開圖，什么樣的展開圖算同構？這些問題才是最重要的。如果只背個口訣，那就完全掩蓋了學習的本質。
這也是為什么一大批名校在錄取后，還要重新組織摸底考試的原因。小學的這種考試成績，實在說明不了什么。
考試本來就應該有點考試的樣，讓人人都滿分的考試危害有二：一是蒙蔽了家長和孩子，讓大家不能及早清楚地認識自我、擺平心態(tài)；二是它助長了不正確的數(shù)學學習方式。
這么一路考下去，到了初高中，就開始有問題了。
因為初高中的數(shù)學，特別是高中數(shù)學，知識點更多，更抽象。
就拿數(shù)來說，引入了虛數(shù)的概念，虛數(shù)在英文里是imaginary number的意思，就是想象中的數(shù)。這個時候，如果我們學虛數(shù)只在數(shù)的范疇里機械地學它的運算法則，那很多問題是沒法解決的。我們需要把虛數(shù)的幾何意義搞清楚，建立知識點之間的聯(lián)系，做好數(shù)形結合，這樣往往能起到四兩撥千斤的作用。
虛數(shù)計算例子
僅依靠記憶，很多知識在頭腦中只是一個個的點，這對于應付小學的過關型考試問題不大，但如果不能通過理解把這些點連成線，再把線織成知識網(wǎng)，那是很難應對高考這種選拔性考試的。
02
那能不能拓展講講，在學習數(shù)學這門學科時，小學、初中、高中，不同階段的重點是什么？
昍爸：好的，那我分階段來說說：
1、小學數(shù)學，以數(shù)、形、計算和應用為主
小學階段的東西基本都是我們日常能碰得到和用得上的。
這個階段，我們可以在學習的數(shù)學知識和生活場景之間建立密切的聯(lián)系，用形象和生動的案例來加深孩子對數(shù)學知識的理解。
同時，除了要把計算基礎打牢，把基本概念理解清楚，更要把學到的東西應用于解決現(xiàn)實中的問題，這也就是小學階段有很多應用題的緣故。
當然，除了知識本身，類比和歸納是小學階段需要重點培養(yǎng)的元能力。比如，買水果的時候，我們都會先試吃一下，吃了覺得好才會購買，這就是一種歸納思維。
新版小學數(shù)學課本中關于計算的部分
2、初中數(shù)學，更注重是邏輯思維和抽象思維
比如，代數(shù)方面從具體的數(shù)的運算過渡到了用符號表示的多項式運算，幾何方面從計算周長和面積等具體的應用過渡到了純粹的演繹推理證明。特別是幾何證明，它對學生建立公理化體系、形成邏輯思維、提升思維嚴密性很重要。
不過就知識點而言，初中階段的數(shù)學相對于高中來說還是比較少的。在這個階段，課上學的數(shù)學知識點距離我們的日常生活就遠了一點，我們要稍微站得高一點，理解整個初中數(shù)學的體系。
比如，在數(shù)的方面，要理解從自然數(shù)到實數(shù)的數(shù)系擴充過程；在幾何方面，要了解平面幾何的公理化系統(tǒng)。
初中數(shù)學，常見一些幾何證明
3、高中數(shù)學，高度抽象是其代名詞
整個高中階段數(shù)學的體系性和抽象性明顯加強，體現(xiàn)在概念的抽象、體系的完備、思維的高度。比如數(shù)，從實數(shù)進一步擴充到了人造的復數(shù)域，虛數(shù)的英文叫imaginary number，意思是存在于想象中的數(shù)。
高中開始出現(xiàn)的虛數(shù)i
引入虛數(shù)僅僅是為了解決運算的完備性，它在我們的生活中本來是不存在的！類似于集合、映射、函數(shù)等概念也都是抽象的知識，在平時生活中基本上用不到，因此理解的難度一下子就上升了。
比如，初中階段也學習函數(shù)，但無論是一次還是二次函數(shù)，都可以直觀地表示在坐標系中，還是可以看得見摸得著的；但高中一下子就從集合和映射的角度抽象概括出函數(shù)的本質，有解析式的函數(shù)類型也是五花八門，更有對于無解析式的抽象函數(shù)性質的研究。
集合與映射
相比于初中數(shù)學，高中數(shù)學的節(jié)奏也明顯加快。初中數(shù)學，往往在某一個知識點上停留較長時間，相同題型可以給較多的時間反復訓練，而高中數(shù)學內容多，一個主干眾多枝丫，例如，高一講了集合之后，接著講函數(shù)，函數(shù)的定義域、值域、函數(shù)關系、函數(shù)的單調性、奇偶性……接踵而來，沒有時間作過多的停留。
與初中數(shù)學相比，高中數(shù)學的靈活性和難度也明顯加大。如果說初中數(shù)學還能靠總結知識點和反復訓練相同題型拿高分的話，高中數(shù)學重復刷題的效果會大打折扣。
要想學好高中數(shù)學，一定要注重理解和分析，理解清楚概念的本質內涵，搞透概念與概念之間的聯(lián)系，遇到問題基于邏輯分析而不是套用題型。很多人初中數(shù)學能考個不錯的分數(shù)，到了高中就直線下滑，就是學習方法不當和分析問題能力欠缺所致。
03
那么，從中高考的數(shù)學要求倒推，小學數(shù)學該怎么“學”、要學些什么呢？
昍爸：小學數(shù)學以數(shù)、形、計算和應用為主，與生活密切相關，知識點本身并不是很多。如今，面對社會的焦慮，小學數(shù)學學習最重要的已經(jīng)不是做了什么，而是不做什么。
首先，不要囫圇吞棗似地超前學。現(xiàn)在市面上有一種說法，說是甭管懂不懂，先吞下去再說，后面回過來再慢慢消化。我個人不支持這種做法，正所謂基礎不牢地動山搖，特別是不能超越思維能力去學習高階的東西。
其次，不要習慣于投喂解題技巧的教學，這種教法不適合學生鍛煉思維；最后，不要沉溺于偏題、怪題。
與之相對的，就是我們該干什么。
首先，要等思維發(fā)展到一定的程度才去學相應的內容，特別要注意形象思維到抽象思維的發(fā)展分界線；
其次，要學習思考和解決問題的方法，感受數(shù)學結論形成的過程，體會思考的威力、成就和樂趣；
最后，相比于偏題怪題，了解整個數(shù)學的體系、數(shù)學的用途以及數(shù)學的發(fā)展史，對孩子更有益處。
如果非要從中高考來倒推的話，小學階段可以在下面幾個方面下功夫：
1、利用所學的數(shù)學知識解決現(xiàn)實生活的問題，激發(fā)對數(shù)學的興趣。
這種興趣不是簡單地認為數(shù)學好玩，而是切實地感受到數(shù)學有用，體會到思考的威力，享受思考的樂趣。建立在深度思考之上的興趣才能更長久。
數(shù)學源于生活，高于生活，又回歸生活。生活中的數(shù)學孩子看得到摸得著，解決生活中的數(shù)學問題也能培養(yǎng)孩子的數(shù)學興趣，提升孩子的成就感。
其實，我在《給孩子的數(shù)學思維課》里面講了很多這方面的例子，比如：坐飛機時，為什么飛機的往返飛行時間不一樣？小學門口接孩子的標牌為什么要那么設計？抽五張牌，抽到順子和同花的可能性哪個更高？
這些問題能激發(fā)孩子的好奇心，一旦好奇心起來了，去搞清楚背后的原因是順理成章的事。
2、從小加強對孩子的數(shù)感、量感、空間感的培養(yǎng)，對數(shù)學的感覺和敏銳性很多時候會影響到數(shù)學的解題。
可以不夸張地說，數(shù)感和量感是決定大部分孩子日后數(shù)學高度的最重要因素。數(shù)感和量感強，學數(shù)學會輕松許多，反之，則會困難得多，考試也會感到異常吃力。
數(shù)感，顧名思義，就是一個人對數(shù)的感覺（常常會與直覺關聯(lián)），是對數(shù)字含義的感知，進行心算、估算、觀察世界和進行比較的能力。
學術界普遍認為，數(shù)感是一個人理解、關聯(lián)、連接和使用數(shù)的能力，包括：
知道它們的相對值，能夠比較兩個數(shù)的大?。?/span>
如何使用它們做出正確判斷；
在加減乘除時如何靈活地使用它們；
如何在計數(shù)、測量或估算時制定有用的策略。
早年發(fā)展起來的強烈數(shù)感是學好小學數(shù)學的關鍵，因為它將數(shù)數(shù)與數(shù)量聯(lián)系起來，鞏固和完善對多和少的理解，幫助孩子估計數(shù)量和測量值，并為更高階的學習奠定基礎。
相反，缺乏良好數(shù)感的學生，數(shù)學通常學不好。數(shù)感在數(shù)學學習中所扮演的角色就好比是自然拼讀里的音素意識在閱讀中的角色。
游戲對于加強和發(fā)展兒童的早期數(shù)感非常有用。在玩中學，孩子會興趣滿滿?，F(xiàn)在市面上有很多好玩的游戲教具，就是一種思路。
在數(shù)學新課標修訂中，小學階段的數(shù)學量感培養(yǎng)，被賦予與數(shù)感培養(yǎng)同等重要的地位：符號意識、數(shù)感、量感、空間意識、幾何直觀、推理意識、運算能力、模型意識、數(shù)據(jù)意識，再加應用意識、創(chuàng)新意識。
量感的培養(yǎng)，有助于學生理解量的概念，體會量的大小，加強對數(shù)量的感知，提高估算能力。
這話說起來很簡單，比如100米、100千克、10米/秒等，都可以進行直觀認知。然而，即便是大家所熟知的單位，有些量之間的關系也讓人驚訝。比如大家都能直觀感受1立方米和1毫升。可1立方米是1毫升的1百萬倍??！
怎么才能培養(yǎng)孩子的量感呢？
一方面，在課堂教學和日常生活中要學會用合理的量來描述所觀測到的物體的長度、大小、重量、速度、溫度等。
比如看到一只兔子跑步，我們要知道大概可以用米或分米來表示兔子的體長，用多少千克來表示兔子的重量，用米/秒或千米/小時來描述它奔跑的速度。而當兔子跳進一個裝滿水的盆子洗澡時，要知道用立方分米來描述溢出的水的體積。
另一方面，對于我們難以直觀感知的量，我們要善于類比，通過數(shù)量關系的轉化，將它們轉變成我們可以直觀感知的量，從而間接地感知這些陌生的量。
比如，地球到太陽的距離1.49×1011米，這是什么概念呢？我們大概模糊地知道很長，但到底有多長呢？
網(wǎng)上有這樣的太陽系示意圖，地球和太陽之間的距離好像就是地球直徑的幾倍。但這不是真實情況。
地球的直徑為12742公里=1.27×107米，所以地日距離就相當于11700個地球直徑的長度。地球的直徑差不多是中國到美國的飛行距離，也就是說，如果我們坐飛機，那差不多12個小時就能從中國飛抵美國，按照這個速度，從地球飛到太陽需要整整16年！
3、加強基本概念和基本原理的理解，比如位值的概念，基本運算律，面積的概念和基本求法，讓孩子自小懂得掌握本質和原理比學會一些雕蟲小技更重要。
學好數(shù)學，搞清楚基本概念非常重要。其實，基本概念的重要性不僅僅是在數(shù)學領域，在整個科學領域都一樣重要。
已故的南大計算機系泰斗級人物徐家福先生就非常強調基本概念。他每次給學生做講座，都要強調“基本概念、基本概念、基本概念！” 沒錯，每次他都會重復三遍。
歐幾里得的平面幾何奠定了西方公理化方法的基礎。公理化方法是“從某些基本概念和基本命題出發(fā)，根據(jù)特定的演繹規(guī)則，推導一系列的定理，從而構成一個演繹系統(tǒng)”的方法。歐氏幾何的數(shù)學大廈就是由基本概念（包括基本概念、基本關系）、公理、演繹規(guī)則和定理構成。其中，基本概念居于重要的位置。
很多數(shù)學問題，其實最終考察的是對基本概念的理解程度。但有些人卻在基本概念和定義都還沒有搞清楚的情況下，就去追求公式記憶和快速解題，這就有點本末倒置了。
這里列舉幾個例子。
比如，提到圓，很多人都會立刻想到圓的周長和面積公式，而往往忽略了一個最重要的性質，即圓上的任何一點到圓心的距離都相等。
再如，高中時學的橢圓和雙曲線，很多人都側重于去記住橢圓和雙曲線的代數(shù)方程。但是除了方程之外，這些曲線還有它們的幾何意義。許多時候，這些幾何含義往往可以成為解決問題的利器。
重視結論背后的原理
我自己學數(shù)學，很少刻意去背公式和記結論。自己不理解的結論，很難記住，即便一時記住，也容易忘記或記錯。
比如小學低年級的植樹問題、乘法分配律，我肯定會通過數(shù)形結合的方法去加深理解。
我記得某個培訓機構為了讓孩子記住乘法分配律，用了個警察抓小偷的故事來輔助記憶。但如果用下面數(shù)形結合的方式來輔助理解乘法分配律，是不是想忘記都難？
8X(6+4)=8X6+8X4
4、提升計算能力，以應對初高中幾何級數(shù)增長的運算量。
計算肯定枯燥是肯定的，但計算關必須要過。初中、高中的計算量會很大，不過計算關會吃大虧。
小學階段可以通過玩一些游戲來提升計算能力，另外，現(xiàn)在的數(shù)學游戲有許多，可以帶娃在玩中學。比如計算類的24點，多點妙算，心算大師、美國跳棋等；幾何類的七巧板，數(shù)學折紙，磁力方塊等；邏輯類的數(shù)獨、漢諾塔、九連環(huán)等。
通過美國跳棋里的兩個骰子，自然就能把20以內的加法練好了
5、重視過程而不是一味追求結果，注重解決問題能力的培養(yǎng)，特別是從簡單到復雜、從特殊到一般、從錯誤到正確的探索過程。
需要拷問自己：所采用的方法是否可以擴展？比如當問題規(guī)模n=10的時候方法可以用，當問題規(guī)模n=1000的時候方法還能不能用？
永遠要問自己，是否有其它解決方法？努力做到一題多解，并學會分析每種方法的好壞和適用條件。一般而言，效率和普適性往往是一對矛盾體。
變換角色，把自己當成出題人。想一想如果自己來出題，可以怎么改變出題條件，真正做到舉一反三。
如果能夠做到這些，那我相信數(shù)學解題能力想不提升都難。
最后
昍爸寫的這幾本數(shù)學課外讀物，
也許能給孩子的數(shù)學學習帶來新的啟發(fā) ...
昍爸目前一共出了四本書，給大家推薦的是《寫給孩子的數(shù)學之美》、《給孩子的數(shù)學思維課》和《給孩子的數(shù)學解題思維課》。
這幾本書的適合人群：小學中高年級和初中的孩子；具有小學數(shù)學水平且希望以正確方法輔導孩子數(shù)學的家長；所有希望能重新認識數(shù)學并欣賞數(shù)學之美的人。
這三本書各有側重。
第一本《給孩子的數(shù)學思維課》主要圍繞“思維自疑問和驚奇開始”這一核心理念鋪開。
數(shù)學源于生活、高于生活、又回歸生活。小學數(shù)學與生活緊密相關。書中通過眾多現(xiàn)實生活中的案例，比如“飛機的往返飛行時間為什么不同，科幻電影里導演為什么選用質數(shù)作為不同文明間交流的信號，學校門口接孩子的標牌設計有什么學問”等，為家長、教師和孩子詮釋了如何在生活中踐行新課標所提倡的“用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界、用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界、用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界”這一核心素養(yǎng)。
第二本《給孩子的數(shù)學解題思維課》可以算是對波利亞的名著《怎樣解題》的拙劣模仿。
《怎樣解題》使用中學數(shù)學知識作為載體去闡述數(shù)學思維，而我這本書則嘗試用小學數(shù)學知識作為載體，講清楚從讀題開始到分析評價的整個解題思考過程。美國教育家布魯姆總結出了認知的6個層次：記憶、理解、應用、分析、評價和創(chuàng)造。大部分人也就能到理解和應用的層次，這本書則希望能把認知的層次提升到分析和評價層次。
（注：這本書和第一本封面長得很像，但其實是側重點完全不同）
寫第三本《寫給孩子的數(shù)學之美》的一個動機是來源于20多年前大學數(shù)學老師宋方敏教授的一句話：人來到這個世界，就是為了欣賞它的美。
世界的美有很多種，其中有一種叫數(shù)學之美。這種美和藝術之美或自然之美沒有那么相似，但它深深地感染著人類的心靈。數(shù)學之美，是很自然地、明白地擺著的，但遺憾的是許多人終其一生都未能欣賞這種美。
這本書是希望僅具備小學數(shù)學知識的人也能欣賞數(shù)學內在的思維之美、感覺之美、證明之美、統(tǒng)一之美。如果我們不從事數(shù)學及相關行業(yè)，很多中學和大學所學的數(shù)學知識終究會被忘掉。當一個人把在學校學到的數(shù)學知識忘掉后，剩下的就是數(shù)學教育所賦予我們的。這也正是在人工智能時代我們需要重視的能力，也是我這本書重點闡述的內容：類比、歸納、舉一反三、深度思考的能力，以及對數(shù)學內在美的敬畏與欣賞。
-THE END-
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