中小學數學為什么是這樣的？（上）

歸巢鳥

2016

2018-7-28 06:00 原創(chuàng) · 圖片8

這個標題寫的很奇怪，其實我問的是，為什么中小學數學是這些內容，而不是別的？中小學數學的內容之間往往缺少聯(lián)系，代數是代數，幾何是幾何，這是怎么形成的？為了便于理解，先讀一段西游記中如來對來到西天的唐僧師徒說的話：

我今有經三藏，可以超脫苦惱，解釋災愆。三藏：有《法》一藏，談天；有《論》一藏，說地；有《經》一藏，度鬼。共計三十五部，該一萬五千一百四十四卷。真是修真之徑，正善之門，凡天下四大部洲之天文、地理、人物、鳥獸、花木、器用、人事，無般不載。汝等遠來，待要全付與汝取去，但那方之人，愚蠢村強，毀謗真言，不識我沙門之奧旨?！苯校骸鞍?、伽葉，你兩個引他四眾，到珍樓之下，先將齋食待他。齋罷，開了寶閣，將我那三藏經中三十五部之內，各檢幾卷與他，教他傳流東土，永注洪恩?！?/p>

細細讀這段話，有很多方面顛覆傳統(tǒng)認識。首先佛經無般不載，佛經并不是成天討論些輪回之類的玄乎其玄的東西，而是宇宙大百科全書，是系統(tǒng)的全部相通的知識。其次沒有達到一定水平的人類，沒法學習全部，只能從各個部分里選一些學習，這些知識可能是零碎不成體系的。但也只能先從這個方式入門學習了。

中小學數學的學習跟這個類似。整個數學大廈經過人類幾千年的發(fā)展后，各個獨立分支比如代數幾何都已經高度貫通，成了一個極其龐大又有機融洽的整體。面對這么龐大的體系，中小學在入門的時候只能先從很多零碎孤立的知識點開始學習。這種學習方法很無奈，學習的過程中有心的學生往往不能理解為什么學一些代數，突然又去學幾何，來回切換。物理學的學習也有這個特點，但物理學好歹有客觀世界對應，學了力學又學熱學并不奇怪，而數學較為抽象，在看到全局大廈之前不容易明白為什么要按教材的順序學習。

我不敢說能看到數學大廈的全局，但至少在學習了不少較為高級的數學知識后，回頭去看中小學的數學內容，有半山腰看山底的感覺。數學學的越多，對不同知識點之間的關聯(lián)就理解的越多。分享一些心得，不敢說是真理，僅僅是個人體會。這些心得不見得對提高中小學數學學習能力有直接幫助，但也許會有些啟發(fā)意義，或者對“奧數”學習也有些指導意義。

如前所說，數學大廈是一塊整體，為了分析方便，只能強行劃分一下，大致可以分為代數、幾何、分析、拓撲四大塊。劃分方式沒有統(tǒng)一標準，見仁見智。中小學學哪些數學知識，跟阿儺伽葉給唐僧師徒挑選經書一樣，并沒有絕對或固定的標準，古今不同，中外也不同，而且還要隨著數學前沿的發(fā)展和熱點的變遷而變化。

算術與代數

算術可能是最早的數學了，隨著生產的提高而產生，人類產生了計數與加減乘除運算的需要。農業(yè)社會下算術取得的巨大發(fā)展，比如中國古代社會。各種數的表示法應運而生，其中經過篩選十進制成了最優(yōu)選擇。用抽象的數比如3代表各種不同的東西，比如3可以代表3頭牛，也可以代表3只羊，這是數學上的第一次抽象，從具體的東西產生了數的概念，所以我們稱這門學科為“數學”。第二次抽象飛躍是代數，用符號代替具體的數，比如X既可以是3，也可以是5。數學的發(fā)展規(guī)律總是從具體到抽象，從特殊到一般。研究更抽象更一般的情況，可以大大減少信息的儲存空間，用較少的原則去處理大量不同的情況。比如1+1=2，可以代表牛的相加，也可以代表羊的相加。

中學基本就學到代數了。跟算術比，代數是更高的抽象，那有沒有比代數更高的抽象呢？當然有。代數上面還有“抽象代數”，“代數結構”，“群論”，“環(huán)論”等很多高級的數學內容，其中群或環(huán)等是一些抽象的“代數結構”。我們中小學學的實數上的加減乘除，僅僅是一種特殊的常用的代數結構，在數學大廈里還有很多別的代數結構，代數結構這門分支就是研究不同代數結構的性質。比如計算機科學里用到的0/1運算，叫布爾代數，就是另一種代數。在這種代數里，有與或兩種運算，而且其形式是完全對稱的。（中小學的算術里，加法和乘法是不對稱的，從分配律可以看出，只有乘法分配律，而加法分配律A+B最C=(A+B)最(A+C)是錯誤的。但在計算機布爾代數里，兩個分配律都是正確的）。計算機的發(fā)明與大規(guī)模應用，也從一個側面證明研究不同于我們日常加減乘除的別的代數結構，是非常有必要的。

群論的天才創(chuàng)始人法國數學家伽羅瓦

群論：https://baike.baidu.com/item/%E7%BE%A4%E8%AE%BA

抽象代數的研究由于是代數的拔高，所以能夠解決在代數領域內的很多難題，比如五次（含）以上的一元方程沒有通解公式。抽象代數還可以解決幾何問題，比如尺規(guī)作圖不能三等分角，不能倍立方。這看起來是幾何問題，但是兩千年內在幾何領域無法解決。后來數學家發(fā)現抽象代數的內容可以很好的描述尺規(guī)作圖的能力（直尺和圓規(guī)，類似抽象代數里的兩個運算），從而一舉解決這個問題。

在本科花了一個學期艱苦學完代數結構這門課后，我曾開玩笑的說，如果先學完這門課再上中小學，那算術代數根本不需要學幾年，三個月就夠了，實在是太太太簡單了：）。實際上在數學家研究了抽象代數后，又回過頭去對中小學的算術代數系統(tǒng)進行了深刻研究并將其公理化，嚴格論證了其合理性。

小學生在學加法的時候，最開始可能不理解為什么要相加，為什么相加是對的。學會了以后，很少有人再去想為什么加法是對的，加法在什么情況下是對的。實際上這不是個簡單問題。對于可數的東西，比如2只羊加3只羊，2+3=5，問題還算簡單，但是對實數尤其是無理數相加，問題很復雜。幾何計算問題，比如兩塊面積相加，從嚴謹的數學角度要定義清楚并不簡單，弄不好就會出Banach–Tarski悖論。（這個悖論就不細說了，可以理解成一個實體球能分成兩個一模一樣體積的球，這就違反了體積相加原則）。20世紀上半葉數學家在勒貝格積分的基礎上完善了測度論，較好的解決了這個問題。測度論是一個更一般的數學工具，嚴格定義了可測集合可測函數等概念并研究了上面的性質，不僅解決了算術系統(tǒng)的一些可加性問題，也給出概率論的公理化形式描述（在概率論里要面臨什么時候概率相加，什么時候概率相乘等問題）。實際上概率論是一種測度總和為1的特殊可測系統(tǒng)，而我們日常生活中的求面積體積等，則是另一種測度總和沒有上限的可測系統(tǒng)。

黎曼積分就是最常見的積分形式，一般微積分即學習這個。而勒貝格積分（右）的特點是把相同值湊在一起求乘積，再把各個乘積加起來

平面幾何

初中學的平面幾何，是古希臘人在邏輯學的基礎上發(fā)明的，與別的民族比顯得很象怪胎。別的民族為了農業(yè)研究幾何，處于丈量土地的需求，一般側重于形狀面積，而不會像古希臘人那樣研究邏輯，甚至尺規(guī)作圖這樣沒有多少現實意義的東西。古希臘歐幾里德著作《幾何原本》里的內容，基本就是現在初中平面幾何的框架，是最早的數學公理體系，也叫歐式幾何。近代以來，在許多數學家的共同努力下，數學的各個分支都被嚴密的公理化了，以保證整個數學大廈的自洽性，避免歷史上出現了三次的數學危機（第一次由無理數引發(fā)，第二次由微積分，第三次由集合論。一旦出現危機，那意味著前面辛苦搭建的數學大廈早就埋下了矛盾的根子在里面，如不能解決則意味著幾百年努力白費了）。

由于邏輯化的平面幾何非常完美優(yōu)雅，兩千年來一直是數學的必學內容并用以訓練思維能力。在解析幾何與微積分出現之前，大量的幾何問題通過歐式幾何邏輯方法研究，大大豐富了人類的知識。比如牛頓對萬有引力的推導，就主要用到了大量平面幾何知識，他本人也成為人類頂尖數學家。我們看到數學競賽里總有一些很難的平面幾何證明題，這些都是兩千年來的積累，有些被直接拿過來出題，有些進行了一些修改。這個領域的題庫是巨大的，中學課堂上只選取了一些比較簡單的。大學數學基本不會再研究這些東西，因為其公理化的數學思想并不復雜，而難題沒有多少通用性。

幾何原本在明朝由利瑪竇傳入中國，徐光啟翻譯，“幾何”一詞即當時的翻譯。

在數學大廈里，除了歐式幾何，還有非歐幾何。這是由對歐式幾何中第五公設（https://baike.baidu.com/item/%E5%B9%B3%E8%A1%8C%E5%85%AC%E8%AE%BE?fromtitle=%E7%AC%AC%E4%BA%94%E5%85%AC%E8%AE%BE&fromid=8754490）的否定推出的，主要貢獻者是高斯的學生黎曼，所以也叫黎曼幾何。非歐幾何的實質是曲面空間，比如球面或馬鞍形。數學家的研究往往超前于現實，在當時很多人覺得從公理體系角度非歐幾何也是自洽的，但是有什么用呢？還是歐式幾何更接近我們的直觀世界。一百年后愛因斯坦在研究廣義相對論時，意識到引力的本質是空間的彎曲，從而惡補了幾年非歐幾何，完成了廣義相對論。從此非歐幾何開始被數學界重視，成為數學大廈里的一顆明珠。

立體幾何

細心的學生會發(fā)現中學的立體幾何跟平面幾何差異很大，雖然也給出了很多公理定理推論，但是在出題時較少搞復雜的邏輯證明題，而側重于計算。從訓練邏輯思維的角度出發(fā)，平面幾何的難度就已經足夠了，添加輔助線等技巧已經很難了。如果在立體幾何里出這樣的題目，難度就太高了，過于奇技淫巧。立體幾何畫圖看圖都很費力，如果學生給的證明與答案不同，老師批閱起來也夠頭疼的。所以立體幾何沒有搞那么多花哨的東西。

球面積，球體積，球冠面積，球冠體積，錐形體積，這些公式的推導，在中學立體幾何里都是用了巧妙方法。在大學學習微積分后，都可以用微積分這個通用方法解決。比如回頭再看圓錐體積公式里有個系數1/3，這實際上就是平方函數在積分時得到的系數1/3。微積分里的球面積分環(huán)路積分等，將代數幾何三角融為一體，非常有意思。積分的對象也可以從實數空間推廣到復數空間，這也是復變數函數復分析的主要研究內容之一。中學畢業(yè)后再學習的立體幾何內容，基本上都是跟微積分相關了。人類自從掌握了微積分這個高級而且通用的工具后，就愛不釋手了。學會了二元一次方程，誰還用小學奧數湊的方法去解決雞兔同籠問題？

各種數：整數、分數、有理數、無理數、虛數、復數

我將這部分從上面的“算術與代數”部分分出來，這里側重于代數結構的操作對象，而非運算性質。（代數結構由操作的對象比如具體的數字和運算比如加減組成）。

數在歷史上的發(fā)展壯大，主要是從實用出發(fā)（比如整數不夠用了，必須要用分數表示一部分東西），同時也有理論上的完備性考慮。比如正整數上的加法具備完備性，怎么加都還是正整數，但減法就不一定了，兩個數相減，可能就不是正整數了，所以必須擴展到負整數上。同理整數上的乘法是完備的，但除法就不行了，于是就導出了分數，所有這些統(tǒng)稱有理數。面對數軸上的一段，比如0到1，有理數是不是完備的呢？畢達哥拉斯認為是的，但有人發(fā)現不是，比如等腰直角三角形的斜邊，根據勾股定理是直角邊的根號2倍，這個數不是個有理數。這就是前面說的第一次數學危機。后來數學家給出了無理數的嚴密定義，解決了這個危機。把無理數包括進來，數擴展到了實數。

后來人們發(fā)現了更多的無理數，比如圓周率。幸福的家庭都是相同的，而不幸的家庭都是不同的。有理數都顯得差不多，而無理數之間差異很大，比如根號2和圓周率就大不相同，后者是超越數，不是任何實系數一元多次方程的根，比根號2更“無理”。無理數是妖怪，有很多詭異的性質。比如有理數是可數（第三聲）的，和正整數一樣可以按一二三四五到無窮排成一列，但無理數是不可數（第三聲）的，不能排成一列（排成一列的嚴謹數學說法是與正整數集合形成一一映射）。數軸上0到1之間有無數個有理數，也有無數個無理數，每兩個有理數之間顯然都夾雜著無理數，那如果把所有有理數都搬家，讓他們一個挨一個排在一起，長度是多少？這個問題的答案很驚人，是0。也就是說，數軸上無理數比有理數多的多的多，要多無窮倍，有理數根本不占長度。有理數好象是一個個無比小的孤島，漂浮在無理數的廣闊海洋里。如果隨機在數軸上選一點，選到無理數的概率“幾乎”是100%。《從一到無窮大》這本書里對無理數的這個性質有很多通俗的描述。這個問題的實質，是無窮大也有不同層次的無窮大，無理數在這個意義上要比有理數更大。我在學代數結構關于可數與不可數內容時，看到了一個簡潔的證明，然而更嚴密的論證要在測度論里才能學到，涉及到勒貝格積分和Borel集合等復雜的知識。這個問題再深入研究下去，產生連續(xù)統(tǒng)假設，是希爾伯特23個問題中的第一個（https://baike.baidu.com/item/%E5%B8%8C%E5%B0%94%E4%BC%AF%E7%89%B923%E9%97%AE/8268330?fr=aladdin）。

無理數畢竟還和數軸對應，而虛數/復數要依靠-1的平方根，對中學生而言更加難以理解。由于課本和老師不可能解釋清復數的必要性，學生只能強行學下去，就當-1的平方根存在。從前面說的完備性出發(fā)，復數是有必要存在的，否則開根號就不是總能算出結果的。這個完備性的理由對數學家就足夠了，但對普通人似乎還是不滿意。我這里以一元三次方程求根公式為例說明復數的必要性：https://baike.baidu.com/item/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%B8%89%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B%E6%B1%82%E6%A0%B9%E5%85%AC%E5%BC%8F?？梢钥吹剑瑹o論哪個求根公式里，都要出現i即-1的平方根。而且更絕妙的是，有些一元三次方程的三個根明明都是實數，但卻必須要用帶i的公式才能算出來，在計算過程中共軛復數加減會正好把i都消掉，得到實數解。數學女神好像在說，復空間是真實存在的，實數空間上的有些問題，必須要繞到復空間上才能解決，最后又會回到實數空間。這實際上是用數學建模解決實際問題的常見過程：一旦建模后，推導都在貌似不存在的數學世界內按數學規(guī)則進行，推導的每一步不見得對應真實世界，但推導的最終結果可以映射回真實世界。（列方程解方程，可能是最直觀的例子。）

在工程應用上，復數最主要的物理含義是相位差，即時間延遲，比如交流電的描述。這是由復數的旋轉性質（體現在歐拉公式，下圖）決定的。不過在這個應用上，復數不是絕對必要的，因為總可以用兩個實數等價表示一個復數，但用復數是最簡潔方便的。在這里，復數與幾何產生了緊密的聯(lián)系。