說說古代中國(guó)數(shù)學(xué)

如何評(píng)價(jià)古代中國(guó)數(shù)學(xué)，早已是個(gè)老掉牙的話題。有些人吹的很厲害，有些人則貶低的一塌糊涂，高級(jí)一些觀點(diǎn)認(rèn)為沒有發(fā)展出公理體系所以比較落后。我這些年時(shí)不時(shí)想想這個(gè)問題，逐漸形成了一些觀點(diǎn)，有些似乎從未見別人提及。系統(tǒng)全面的討論古代中國(guó)數(shù)學(xué)，是個(gè)不可能完成的任務(wù)，我只能從個(gè)別角度談?wù)劊窒碛^點(diǎn)。

造成現(xiàn)在對(duì)古代中國(guó)數(shù)學(xué)褒貶不一，我有兩個(gè)重要原因，第一個(gè)是因?yàn)楝F(xiàn)代數(shù)學(xué)傳承自西方主要是古希臘的那套公理體系，第二個(gè)我命名為“冰山假象”，這個(gè)似乎很少見到有人討論，算是我的新觀點(diǎn)，如有雷同，純屬巧合。

現(xiàn)代數(shù)學(xué)傳承字西方主要是古希臘的公理體系，是不爭(zhēng)的事實(shí)。自大航海以來，在商業(yè)驅(qū)動(dòng)下人類的認(rèn)知得到了極大提高，歐洲數(shù)學(xué)水平突飛猛進(jìn)，尤以牛頓萊布尼茨發(fā)明微積分以后為甚，以至現(xiàn)代，數(shù)學(xué)已經(jīng)發(fā)展到匪夷所思的抽象高度。古代中國(guó)數(shù)學(xué)，因?yàn)殚]關(guān)鎖國(guó)脫離主流，近代嚴(yán)重落伍，以至斷流，現(xiàn)在只能作為文化被研究，在現(xiàn)實(shí)中沒有多少人去應(yīng)用，即便有同等的內(nèi)容，在中小學(xué)課堂中也被教授西方數(shù)學(xué)中的等價(jià)內(nèi)容。認(rèn)為沒有公理體系所以比較落后，不能說沒有道理，但以后代的傳承來評(píng)價(jià)師父的水平，也有失公允。有人就是自己學(xué)習(xí)好，超級(jí)學(xué)霸，但不會(huì)教學(xué)生，這并不能影響對(duì)他本身的評(píng)價(jià)吧？評(píng)價(jià)古代中國(guó)數(shù)學(xué)，還是應(yīng)該以其本身的水平作為論據(jù)，比較妥當(dāng)。另外也不能說古代中國(guó)數(shù)學(xué)沒有公理體系，只能說這套體系與古希臘傳承至現(xiàn)代的那套不同罷了。沒有類似公理體系的東西，是不可能進(jìn)行任何數(shù)學(xué)討論與研究的。

以其本身水平作為論據(jù)，說起來容易，但實(shí)際很難。大量典籍已經(jīng)丟失，不可能復(fù)原其整體樣貌。比如祖沖之的圓周率，現(xiàn)在只有正史隋書有記載，而計(jì)算過程，已經(jīng)隨著《綴術(shù)》一書的失傳而怕是永久消失了。人們?cè)u(píng)價(jià)古代中國(guó)數(shù)學(xué)水平，往往只看到現(xiàn)存的部分，而懶于去推測(cè)丟失的部分，即只看到水平的冰山，看不到水下更大的部分，這就是我說的“冰山假象”。

以我淺薄的知識(shí)水平，粗粗去推測(cè)一下水下部分，發(fā)現(xiàn)比想象的要雄偉的多。比如華羅庚有本書《從祖沖之的圓周率談起》，中學(xué)生可以看懂，里面介紹了連分?jǐn)?shù)的基本原理，有很多應(yīng)用比如天文置閏法，也常常做為數(shù)學(xué)競(jìng)賽的素材。我用這個(gè)方法安排娃的每日維生素補(bǔ)充，每幾天需要停一次云云，非常簡(jiǎn)潔有效，有空可以展開談?wù)?。這本書沒有談祖沖之怎么計(jì)算圓周率的，因?yàn)檫@個(gè)已經(jīng)隨著《綴術(shù)》失傳。我大膽猜測(cè)，綴大約就是后綴的意思，類似于微積分里的X和DeltaX的關(guān)系，可能這本書有較多微積分的思想。3.1415926，22/7，355/113可以寫進(jìn)正史隋書，被皇家認(rèn)可，《綴術(shù)》必然是經(jīng)過欽天監(jiān)算學(xué)館嚴(yán)格審稿的，教學(xué)的時(shí)候也要經(jīng)受學(xué)生的質(zhì)疑。倘若一個(gè)人穿越回去，告訴古人355/113是分子分母1000以內(nèi)最接近圓周率的，而給不出計(jì)算過程，是沒有人相信的。3.1415926的背后，必然有一個(gè)龐大復(fù)雜的體系。我們現(xiàn)在可以有很多方法計(jì)算出這個(gè)結(jié)果，但恐怕無法復(fù)原出祖沖之的計(jì)算方法。

古代中國(guó)解線性方程，一度遙遙領(lǐng)先。元代以后，算盤逐漸成熟，大量數(shù)學(xué)家花費(fèi)精力研究珠算方法，比如開高次方。這類方法現(xiàn)在也成了絕學(xué)，沒有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。我對(duì)計(jì)算機(jī)算法包括并行算法曾有較為深入研究，由此想到如果將來人類采用了完全不同的計(jì)算工具，那么現(xiàn)在的很多計(jì)算機(jī)算法，尤其是跟體系結(jié)構(gòu)緊密關(guān)聯(lián)的優(yōu)化算法，豈不就類似珠算方法要永遠(yuǎn)被廢棄，那么將來的人們會(huì)不會(huì)貶低我們呢？所以可以合理的推測(cè)，這個(gè)方面古代中國(guó)數(shù)學(xué)被嚴(yán)重低估了。

（楊輝三角）

中國(guó)剩余定理，或稱孫子定理，韓信點(diǎn)兵，是極少數(shù)能寫進(jìn)大學(xué)數(shù)學(xué)教材的內(nèi)容。高斯的代數(shù)學(xué)著作開篇即討論此問題，足見其在代數(shù)學(xué)中的重要地位。事實(shí)上，同余問題是數(shù)論和抽象代數(shù)群論等的起點(diǎn)。同樣根據(jù)“冰山假象”，有理由認(rèn)為其后有較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)理論，而冒泡的韓信點(diǎn)兵，僅僅是水面一角。

造成“冰山假象”的一個(gè)重要原因在于，古代中國(guó)數(shù)學(xué)的內(nèi)容，往往以特例口訣的形式存在，而不給出一般形式。比如韓信點(diǎn)兵問題，以質(zhì)數(shù)357為特例：

“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二。問物幾何？”答案是：“三三數(shù)之剩二，置一百四十；五五數(shù)之剩三，置六十三；七七數(shù)之剩二，置三十。并之，得二百三十三，以二百十減之，即得?！薄按鹪唬憾?。”

幸好這個(gè)特例的求解過程就足以體現(xiàn)一般通解形式，所以被現(xiàn)代數(shù)學(xué)界承認(rèn)。有些內(nèi)容比如”勾三股四弦五“，無法體現(xiàn)平方和關(guān)系，就很可能被低估。關(guān)于古代中國(guó)到底何時(shí)證明出勾股定理，存在很大爭(zhēng)議，即因此而起?！毒耪滤阈g(shù)》等書，大多是具體的題目，類似于習(xí)題書。應(yīng)該注意到習(xí)題書的背后有更龐大的理論體系，而且習(xí)題書的內(nèi)容可能取了很多簡(jiǎn)化特例。比如雞兔同籠問題，是二元一次方程，但實(shí)際上應(yīng)該認(rèn)為這是個(gè)教學(xué)簡(jiǎn)化，實(shí)際工程應(yīng)用中應(yīng)該已經(jīng)會(huì)解更多元的方程。

（三國(guó)劉徽給出的勾股定理證明）

采用特例口訣等等形式，而不是通解，部分原因也在于古代中國(guó)數(shù)學(xué)的應(yīng)用方式。因?yàn)槊耖g商業(yè)較中央和地方政府為弱，需要較為復(fù)雜的大工程多為政府主持，民間并不需要很多人精通數(shù)學(xué)，民間各種工程應(yīng)用，采用特例口訣等方式即可。比如要蓋一個(gè)五角亭，按照“ 一六中間坐，二八分兩旁”的比例寫個(gè)“士”字，再把外圍連起來即可得到一個(gè)近似形（小時(shí)候在十萬個(gè)為什么上看到，記憶深刻）。這其實(shí)也類似現(xiàn)代很多并不懂?dāng)?shù)學(xué)的人，也可以應(yīng)用Matlab等數(shù)學(xué)工具完成工程計(jì)算。如果過了幾千年，現(xiàn)在的很多東西都失傳了，但有一些計(jì)算機(jī)程序被考古發(fā)現(xiàn)，比如計(jì)算圓周率的基準(zhǔn)程序，那么未來人當(dāng)然應(yīng)該合理推斷這些程序不是憑空寫出來的，而是背后有著復(fù)雜的微積分理論體系。對(duì)古代中國(guó)數(shù)學(xué)口訣所代表的背后內(nèi)容，也應(yīng)做如是合理推測(cè)。從某種意義上說，前面說的珠算方法研究，以及這里的口訣應(yīng)用，倒是很有很多現(xiàn)代數(shù)學(xué)普及的味道，從某種意義上甚至可以說非常先進(jìn)。

造成“冰山假象”的令一個(gè)重要原因是皇帝制度對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的掩蓋和故意神秘化。比如日月食的計(jì)算，主要就靠前面華羅庚的《從祖沖之的圓周率談起》里提到的連分?jǐn)?shù)方法，早已成熟。但皇帝為了自稱真命天子，對(duì)外發(fā)布日月食預(yù)測(cè)時(shí)故意稱是上天告知的，自然不能將這類數(shù)學(xué)知識(shí)外傳，只限于欽天監(jiān)和高級(jí)算學(xué)館內(nèi)秘傳。這就給農(nóng)民起義造成了很大障礙，因?yàn)槟悴荒茴A(yù)測(cè)日月食，別人就不認(rèn)為你是真命天子。這種秘傳自然也極大阻礙了數(shù)學(xué)的發(fā)展傳承和民間科技的發(fā)展。明朝末期和清朝大部分時(shí)期，因?yàn)閿?shù)學(xué)水平嚴(yán)重下降，甚至要依賴西洋傳教士主持欽天監(jiān)的數(shù)學(xué)計(jì)算，但卻一直對(duì)此高度保密。其實(shí)不光是古代中國(guó)，大多數(shù)古代君主文明都有這個(gè)問題。神職人員其實(shí)大多是當(dāng)時(shí)頂級(jí)的科學(xué)家或社會(huì)科學(xué)家，他們?cè)谥卮鬀Q策比如開戰(zhàn)與否之前已經(jīng)做了大量合理分析與決策，得出了結(jié)論，只不過最后通過占卜這種方式說服普通民眾罷了。千萬不能認(rèn)為他們自己是真信占卜的。這里扯遠(yuǎn)了。

上面列了關(guān)于“冰山假象”的方方面面，不是說古代中國(guó)數(shù)學(xué)多么厲害，比誰誰更強(qiáng)，只是想說其內(nèi)容和復(fù)雜程度要遠(yuǎn)超表面上我們能看到的，其理論體系很可能因?yàn)閼?yīng)用方式而現(xiàn)在不為人知，從而被低估。在評(píng)判古代中國(guó)數(shù)學(xué)水平時(shí)，要適當(dāng)把這些看不見的東西考慮在內(nèi)。這個(gè)體系和全貌，隨著斷流，恐怕已經(jīng)無法復(fù)原了。至于古代中國(guó)數(shù)學(xué)沒有發(fā)展出公理體系，這個(gè)問題到底對(duì)其評(píng)價(jià)有多大影響，是一個(gè)非常復(fù)雜問題，恐怕只能見仁見智了。回到現(xiàn)實(shí)中，自牛頓以來數(shù)學(xué)大發(fā)展，遠(yuǎn)超任何古代文明的數(shù)學(xué)水平，內(nèi)容廣博，令人擊節(jié)叫好處處不計(jì)其數(shù)，無論何種數(shù)學(xué)水平，皆可以從中找的樂趣。勸君閑暇時(shí)多讀讀適合自己水平的數(shù)學(xué)書，大體上是那些百分之七八十你能看懂，剩下百分之二十左右需要思考才能理解的，留有百分之十不明白也不要緊。

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