2017
熟悉我的粉絲知道，我是數(shù)學(xué)系出身，本科學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)，研究生是概率統(tǒng)計專業(yè)的，目前在雙鴨山大學(xué)（哈哈，中山大學(xué)）的統(tǒng)計系擔(dān)任專業(yè)碩士導(dǎo)師，每年參與研究生答辯。
所以自從開始討論教育，就有很多粉絲在后臺問我，如何激發(fā)孩子學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣？學(xué)而思的奧數(shù)班到底有沒有用？
日常生活中我也碰到過很多家長，自己對數(shù)學(xué)毫無興趣，卻格外關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。
有的出于應(yīng)試考慮，希望“學(xué)而思”等課外機構(gòu)學(xué)奧數(shù)，在升學(xué)考試中取得好成績，進而獲得一個好學(xué)位；
有的可能看得更遠，希望培養(yǎng)孩子的數(shù)學(xué)思維，人工智能已經(jīng)步步逼近，可能未來就是一個算法的世界，是數(shù)學(xué)家統(tǒng)治的世界，感覺不學(xué)好數(shù)學(xué)，未來的精英之門都要向TA關(guān)閉了。（其實也沒這么夸張，還有藝術(shù)之門呢）
看來，談教育就很難繞得過學(xué)而思，也很難繞得過數(shù)學(xué)這個“難題”、“話題”。
到底什么是數(shù)學(xué)思維？數(shù)學(xué)思維在我們的人生中到底有多重要？如何培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維？今天我們就談?wù)勥@個問題。
什么是數(shù)學(xué)思維？
先跟大家說件最近聽說的事兒，大家也練練腦：
朋友的公司最近正在招人，由于公司效益好，簡歷特別多。
一開始他們只是設(shè)定了專業(yè)的要求，沒有設(shè)置學(xué)歷的要求。朋友就跟HR說，我們要提高招聘標準，不然面試的人數(shù)太多。
隨后HR就給出了一個新的招人條件——
原先只看專業(yè)，現(xiàn)在的條件變成“先看專業(yè)，如果專業(yè)不合格就看學(xué)歷”，只要學(xué)歷高，也可以進面試。
這就是這位HR理解的所謂“提高”了面試條件。
我這個朋友是學(xué)理科出身，當(dāng)時就樂了。
我聽了之后，也是笑壞了。
這個HR說，先看專業(yè)，專業(yè)不行的再看學(xué)歷，這哪里是提高招聘標準的意思？這明明是降低標準嘛。
用數(shù)學(xué)的語言來解釋——
原先只看了專業(yè)，如果要提高標準，應(yīng)該是取專業(yè)合格且學(xué)歷也合格的交集；
若是先看專業(yè)再看學(xué)歷，這就變成了專業(yè)和學(xué)歷的并集，只要專業(yè)和學(xué)歷有一個達標就可以進入下一級了。
相信很多朋友看了這一段還是云里霧里的，其實這個故事就是一個典型的缺乏數(shù)學(xué)思維的HR鬧出來的笑話。
交集和并集，這是高中學(xué)的數(shù)學(xué)知識點，相信大部分人都學(xué)過，卻早已經(jīng)還給老師了。
把具體問題抽象到數(shù)學(xué)思考里，我還可以講一個著名數(shù)學(xué)家亞伯拉罕·瓦爾德（Abraham Wald）與失蹤彈孔的故事。
1902年，亞伯拉罕·瓦爾德出生于當(dāng)時的克勞森堡，隸屬奧匈帝國（后隸屬羅馬尼亞）。瓦爾德是一位天生的數(shù)學(xué)家，憑借出眾的數(shù)學(xué)天賦，他被維也納大學(xué)錄取。后來去了紐約。
二戰(zhàn)期間，瓦爾德都在哥倫比亞大學(xué)的統(tǒng)計研究小組（SRG）中工作。統(tǒng)計研究小組是一個秘密計劃的產(chǎn)物，它的任務(wù)是組織美國的統(tǒng)計學(xué)家為“二戰(zhàn)”服務(wù)。
當(dāng)時軍方需要解決飛機被擊落的概率問題，只要降低飛機被擊落的概率，就可以奪得空戰(zhàn)的優(yōu)勢。
數(shù)據(jù)分析后，有人發(fā)現(xiàn)返航的飛機中，大部分的彈孔出現(xiàn)在機翼和機身，而發(fā)動機幾乎沒有彈孔，所以軍方就認為應(yīng)該對機翼和機身披上裝甲。
瓦爾德卻給出了一個完全不同的答案。
他說，需要加裝裝甲的地方不應(yīng)該是留有彈孔的部位，而應(yīng)該是沒有彈孔的地方，也就是飛機的引擎。
瓦爾德的獨到見解可以概括為一個問題：
飛機各部位受到損壞的概率應(yīng)該是均等的，但是引擎罩上的彈孔卻比其余部位少，那些失蹤的彈孔在哪兒呢？瓦爾德深信，這些彈孔應(yīng)該都在那些未能返航的飛機上。勝利返航的飛機引擎上的彈孔比較少，其原因是引擎被擊中的飛機未能返航。大量飛機在機身被打得千瘡百孔的情況下仍能返回基地，這個事實充分說明機身可以經(jīng)受住打擊（因此無須加裝裝甲）。
如果去醫(yī)院的病房看看，就會發(fā)現(xiàn)腿部受創(chuàng)的病人比胸部中彈的病人多，其原因不在于胸部中彈的人少，而是胸部中彈后難以存活。
當(dāng)然，瓦爾德是對的。
為什么瓦爾德能看到軍官們無法看到的問題？根本原因是瓦爾德在數(shù)學(xué)研究過程中養(yǎng)成的思維習(xí)慣。從事數(shù)學(xué)研究的人經(jīng)常會詢問：“你的假設(shè)是什么？這些假設(shè)合理嗎？”
在這個例子中，軍官們在不經(jīng)意間做出了一個假設(shè)：返航飛機是所有飛機的隨機樣本。如果這個假設(shè)真的成立，我們僅依據(jù)幸存飛機上的彈孔分布情況就可以得出結(jié)論。但是，一旦認識到自己做出了這樣的假設(shè)，我們立刻就會知道這個假設(shè)根本不成立，因為我們沒有理由認為，無論飛機的哪個部位被擊中，幸存的可能性是一樣的。用數(shù)學(xué)語言來說，飛機幸存的概率與彈孔的位置具有相關(guān)性。
——素材選自《魔鬼數(shù)學(xué)：大數(shù)據(jù)時代，數(shù)學(xué)思維的力量》
數(shù)學(xué)帶來安全感？
個體心理學(xué)的大家阿德勒曾經(jīng)這樣談?wù)摗皵?shù)學(xué)”：
我們將一個孩子是否運用數(shù)學(xué)視為一個孩子是否心理健康的重要指標。因為數(shù)學(xué)是少數(shù)幾個給人安全感的學(xué)科之一。
數(shù)學(xué)上的思想操作，可以讓我們周圍混亂的世界，通過數(shù)學(xué)間的運算而穩(wěn)定下來。但具有強烈不安全感的人，通常在數(shù)學(xué)方面都有欠缺。
——《兒童的人格教育》
聽起來，在心理學(xué)大師眼里，數(shù)學(xué)也是極為重要的。當(dāng)然，除了數(shù)學(xué)，他也提到了寫作、繪畫、體操和舞蹈等。
我的理解是，為什么數(shù)學(xué)能帶來安全感？因為世界是無常的，而數(shù)學(xué)能夠通過形式邏輯把事情變得確定。
當(dāng)然，就算數(shù)學(xué)這種方法是可信的、科學(xué)的，可是由于掌握的數(shù)據(jù)不足，我們依然不能完全把握自己的命運。每個人都是在這種安全與不安全之中游離。
如果只看到那些我們把握不了的東西，毫無疑問，心理就會不健康，沒有安全感。所以，我們需要去思考那些能把握的東西，而能把握的東西，其實本質(zhì)上就是我們的思維方式、邏輯推理的方式。
數(shù)學(xué)教育渠道有哪些？
數(shù)學(xué)對于未來教育而言，非常重要。
現(xiàn)在的孩子，能夠接觸到的所有跟數(shù)學(xué)相關(guān)的教育渠道有哪些呢？
從家長們的討論看，自己數(shù)學(xué)不好，想提高孩子的數(shù)學(xué)思維感覺就是無門了，好像必須推給“學(xué)而思”了。
其實，在互聯(lián)網(wǎng)時代，什么資源都不缺。這些年，關(guān)于數(shù)學(xué)思維的討論多了，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資源也多了。
第一類，最常見的就是課內(nèi)數(shù)學(xué)的補充，比如學(xué)而思這種課外輔導(dǎo)班、奧數(shù)班；
第二類，不以應(yīng)試為目的的數(shù)學(xué)思維啟發(fā)課程，以低齡為主，一般針對5-10歲的孩子；
第三類，網(wǎng)絡(luò)課程資源，比如說像可汗學(xué)院這樣從數(shù)學(xué)起步的慕課課程，可以從數(shù)數(shù)一直教到微積分復(fù)變函數(shù)實變函數(shù)，經(jīng)過很多人驗證，完全可以達到相應(yīng)的數(shù)學(xué)層級的要求。
這么多資源，如果要培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維，真正可以用得上是哪些資源呢？
關(guān)于奧數(shù)班
奧數(shù)班、學(xué)而思到底好不好？
我從小學(xué)開始進入奧數(shù)班，一直到中學(xué)六年，后來又專業(yè)讀數(shù)學(xué)。雖然不才，沒有成為數(shù)學(xué)家，好歹也有些經(jīng)驗。
坦白講，我認為解答難題是進入數(shù)學(xué)思維的開始。如果永遠談基礎(chǔ)要扎實，不斷把過去學(xué)過的簡單知識反復(fù)應(yīng)用，這是無助于數(shù)學(xué)思維的，這叫理科學(xué)習(xí)文科化、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)政治化。天天把加減法背到爛熟，也和數(shù)學(xué)思維沒有一毛錢關(guān)系。我們中國的老太太，在菜市場可以輕松玩轉(zhuǎn)加減法，她們可不一定有數(shù)學(xué)思維。
最近，國內(nèi)有個教育機構(gòu)邀請了美國奧數(shù)隊的教練，卡耐基梅隆大學(xué)的數(shù)學(xué)教授羅博深做了一個講座，他也談到這個問題：中國孩子做題很快，而數(shù)學(xué)真正的樂趣在于做難題，挑戰(zhàn)自己，而不是重復(fù)計算機可以做的事情。
我讀書時還沒有什么課外輔導(dǎo)班，都是學(xué)校老師召集一些尖子生在搞奧數(shù)；現(xiàn)在聽說已經(jīng)不同了，學(xué)校老師不敢z也不愿意去承擔(dān)這項工作，奧數(shù)也不再是少數(shù)人的事情，全民學(xué)奧數(shù)，成了商業(yè)機構(gòu)的盈利點。
學(xué)而思或者奧數(shù)班，能夠推動孩子們，從具體到抽象，去解決較難的、進階的問題，這是好的一面。
可是我們見到的奧數(shù)班普遍存在著一種傾向——同一類問題的熟練程度掌握（刷題）。雖然提高難度很有意義，可是難度提高之后，就在這個難度上反復(fù)訓(xùn)練直至熟練掌握套路，這就犯了與課內(nèi)教育相同的錯誤，又偏離了向數(shù)學(xué)思維行進的方向。
關(guān)于數(shù)學(xué)思維啟蒙班
上周，我就帶著8歲多的兒子，親身去體驗了一個數(shù)學(xué)思維啟發(fā)課程：教具十分新穎，教學(xué)思路也比課堂和輔導(dǎo)班有趣得多。
可是它的不足在于，它的高度并不是逐層向上累進，而是一種散點式的頭腦體操，比如說今天拼個圖，明天做個棋類的數(shù)字游戲。對數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，只能起到一半的作用。
關(guān)于網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)資源及其他
可汗學(xué)院的數(shù)學(xué)課應(yīng)該大家都比較熟悉了，現(xiàn)在也已經(jīng)有了中文版，不了解的可以到搜索一下。剛才說的羅博深教授也做了一個網(wǎng)站（https://www.expii.com/solve），據(jù)說是選出了350道有趣的題目讓大家免費挑戰(zhàn)。
現(xiàn)在也有很多翻譯著作非常好，如我已經(jīng)推薦過的《數(shù)學(xué)很好玩》（具體名字記不清了），就是從身邊的數(shù)學(xué)談起，引申到6個數(shù)學(xué)難題，展示了數(shù)學(xué)之美與深奧。
《迷人的數(shù)學(xué)》這本書，是兒子的同學(xué)家長借給我的，也是很不錯的書，適合中學(xué)的孩子了解數(shù)學(xué)史。
這類關(guān)于數(shù)學(xué)思維的書籍，近些年來隨著這個概念的興起，而不斷傳入中國。有心人都可以找到。
我來總結(jié)一下，數(shù)學(xué)思維培育的大致路徑是這樣：
通過課內(nèi)學(xué)習(xí)，已經(jīng)初步具備解決基礎(chǔ)數(shù)學(xué)問題的能力→通過一些數(shù)學(xué)思維課進一步激發(fā)學(xué)數(shù)學(xué)的興趣→找到可汗學(xué)院這樣的系統(tǒng)學(xué)習(xí)平臺，通過不斷推進學(xué)習(xí)新知識來強化舊知識的掌握→有興趣的同學(xué)學(xué)奧數(shù)解決數(shù)學(xué)難題
有了這種抽象的思維能力之后，再去看待現(xiàn)實生活中發(fā)生的頭緒紛雜的事情，能夠根據(jù)已有的形式的符號代入，來解決實際的問題，這才是真正的數(shù)學(xué)思維的一種循環(huán)。
怎么規(guī)劃數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)？
雖然越來越多家長意識到數(shù)學(xué)思維的重要性，可是有多少家長會對如何進行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)這個問題做系統(tǒng)性的思考呢？根據(jù)我的觀察，很少很少。
很多家長本身從小就對數(shù)學(xué)充滿了恐懼，現(xiàn)在忽然意識到數(shù)學(xué)思維是影響孩子未來成長的重要因素，既茫然又焦慮，更容易無方向地亂撞亂試。
到底該如何制定一個有目標的整體的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)規(guī)劃？
數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)，離不開兒童認知的發(fā)展。所以，我們還是有必要先看一看皮亞杰的兒童認知發(fā)展四階段理論。到目前為止，這還是被廣泛認同的。
第一階段：感知運動階段（0-2歲）；
第二階段：前運算階段（2-7歲），兒童認知出現(xiàn)象征或符號功能。這一階段又劃分為兩個階段：前概念或象征思維階段（2～4歲）和直覺思維階段（4～7歲）。
第三階段：具體運算階段（7-12歲）：兒童這時進行的運算仍需具體事物的支持，對那些不存在的事物或從沒發(fā)生過的事情還不能進行思考。
第四階段：形式運算階段（12-15歲）：思維不必從具體事物和過程開始，可以利用語言文字，在頭腦中想象和思維，重建事物和過程來解決問題。
并不是所有兒童都在同一年齡完成相同的階段，但這些階段都是必經(jīng)的。
在此，給大家?guī)c可以操作的建議：
直覺思維階段
在孩子早期的時候，例如四到六七歲，可以用形象的方式讓孩子對數(shù)學(xué)開始有感覺。比如說各種各樣的游戲，包括益智類桌面游戲；還有現(xiàn)在層出不窮的數(shù)學(xué)繪本。蒙特梭利教具，也是這一階段不錯的選擇。
在早期，孩子對抽象思維是沒有興趣的，應(yīng)該用形象的游戲化的方式激發(fā)孩子的興趣。
我十分認可這種引導(dǎo)孩子學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的入門做法?？墒?，作為一個專業(yè)學(xué)數(shù)學(xué)的人，我也得明確告訴大家——真正的數(shù)學(xué)思維恰恰在于抽象的能力，不要指望完全通過形象化的方式來建立數(shù)學(xué)思維。
根據(jù)皮亞杰的觀點（《智力心理學(xué)》），很多孩子的智力不差，但是數(shù)學(xué)能力卻不好，這是一個世界常見的現(xiàn)象。為什么會出現(xiàn)這種情況呢？
什么是智力？智力是我們解決問題本身的邏輯思考能力?？墒菙?shù)學(xué)卻是了解邏輯結(jié)構(gòu)的專屬科學(xué)。
我們不了解邏輯結(jié)構(gòu)但依然可以用邏輯用得很好，就好比很多人不了解樂理，但是唱歌唱得很好，但這樣的人不能說他音樂素養(yǎng)很高。同理，很多智力很高、數(shù)學(xué)能力很差的孩子也佐證了這一點。
從這個角度，益智游戲是可以激發(fā)人的智力，但是如果不加引導(dǎo)，還是無法轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)思維。
具體運算階段
這個階段大概在7-12歲，就是小學(xué)階段。這個階段，家長應(yīng)該開始密切觀察，當(dāng)孩子對這些益智游戲有感和某些數(shù)學(xué)難題有興趣的時候，要開始進入數(shù)學(xué)思維的引導(dǎo)。
如果家長自己無法把游戲轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，就要借助專業(yè)機構(gòu)的一些課程，比如學(xué)校的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，或者可汗學(xué)院的初級課程。課外的某些數(shù)學(xué)思維課程，也是可以嘗試的。這些課程普遍會在形式上下功夫，比較有趣。
這類數(shù)學(xué)游戲其實在某寶上特別多，大同小異，可以讓孩子玩玩，不要太迷信就是了，會玩游戲和學(xué)數(shù)學(xué)還是兩碼事。
形式運算階段
到了初中階段（12-15歲），就是真正塑造數(shù)學(xué)思維的階段了。在這個時候，如果真要培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維，就應(yīng)該快速向前，推動孩子從形象表達、圖形表達中迅速上升到抽象表達，要鼓勵孩子邁過抽象這個難關(guān)，這可能才是真正培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的開始。
當(dāng)觀察到孩子通過形象化的方式對數(shù)學(xué)建立起一定的認知，能夠解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題后，要馬上進入下一步，進入抽象的能力。
什么叫抽象的能力？前面說的失蹤彈孔的故事說的是一個抽象能力，把具體的現(xiàn)實生活中的問題，抽象成數(shù)學(xué)的語言，再通過數(shù)學(xué)中已有的結(jié)論來解決。
這個過程恰恰是形象思維的反過程，是真正體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的過程。
我認為數(shù)學(xué)思維有兩個不可缺少的因素：
第一個是用數(shù)學(xué)的方式把具體問題抽象出來的能力；
第二個是感受純數(shù)學(xué)之美的能力。
數(shù)學(xué)之美的傳遞，絕不是依靠機械傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教育，很多數(shù)學(xué)家都在數(shù)學(xué)教育方面做出了努力，父母自己也可以先去看看。
在《愛與數(shù)學(xué)》這本書中，著名的數(shù)學(xué)家愛德華.弗倫克爾這段話寫得非常好，就好像是我們中國的數(shù)學(xué)教育的寫照，看來全世界的數(shù)學(xué)教育都差不多——
如果學(xué)校在我們必修的“美術(shù)課”上只教給我們粉刷籬笆的方法，卻從來不各我們展示達芬奇與畢加索的作品，那么大家會有什么樣的感覺呢？這樣做能提高藝術(shù)鑒賞力嗎？你還會有學(xué)習(xí)的欲望嗎？我想答案是否定的。。。但是，學(xué)校就是這樣教授數(shù)學(xué)的。因此，在大多數(shù)人眼中，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)毫無意義，就像在籬芭旁邊坐等油漆干透。
想要看到美術(shù)大師們的畫作并不那么困難，但是數(shù)學(xué)大師們的研究成果卻通常被束之高閣。
數(shù)學(xué)教育是如此僵化，我們也只能依靠自己了。
要敢于去理解抽象，敢于去挑戰(zhàn)，這是建立數(shù)學(xué)思維需要具備的能力。這是父母必須傳遞給孩子的，鼓勵他們，而不僅僅是把他們送到輔導(dǎo)機構(gòu)，學(xué)會刷題。
當(dāng)然，到了這個階段，自學(xué)能力是更為重要的，父母除了精神鼓勵、幫忙找找學(xué)習(xí)資源之外，已經(jīng)很難進行具體的指導(dǎo)了。
關(guān)于進入形式運算階段的年齡，按照皮亞杰的觀點，可能要到12歲以上，才會有這種抽象思維的能力。不過很多偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家可能十四五歲時已經(jīng)在學(xué)微積分了。
皮亞杰的時代已經(jīng)過去幾十年，時代環(huán)境都在變化，其實是不能迷信的。但是目前很多早教和兒童發(fā)展的觀點還是延用了他的觀點。
我的態(tài)度是，每個孩子的情況不同，需要家長細心觀察。
結(jié)語：
前面提到的數(shù)學(xué)思維，其實并不屬于專業(yè)的數(shù)學(xué)家范疇。
數(shù)學(xué)家愛德華說，我們學(xué)幾個和弦可能就能彈奏吉他來點綴生活，但絕不是要求你成為一個音樂家或吉他演奏專家。
我們了解數(shù)學(xué)的基本概念，有一定的抽象能力，能夠感受數(shù)學(xué)之美，就能在生活中、學(xué)習(xí)其他學(xué)科時游刃有余了，并不是要求孩子們都成為數(shù)學(xué)家。
殘忍地說一句，如果你不想當(dāng)甩手掌柜，數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，某種程度上來說還是要依靠家長自身的視野和對資源的把控力（另外，你自己首先要克服當(dāng)年對數(shù)學(xué)的恐懼吧，否則這種心態(tài)也是會傳染的）。
在這個日新月異的時代，一個數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)尚且如此，更不要說給孩子制定更加系統(tǒng)的成長和學(xué)習(xí)的規(guī)劃了。
來源：蜂窩兒童互聯(lián)網(wǎng)實驗室
2017
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