終于講明白了數(shù)學(xué)（轉(zhuǎn)）

學(xué)數(shù)學(xué)需要天賦嗎？

這是一個(gè)很熱門的話題。作為一個(gè)數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育工作者，我想來談?wù)勎业目捶ā?/p>

數(shù)學(xué)天賦是什么 

天賦不看早晚。有的孩子小時(shí)看似數(shù)學(xué)天才，長(zhǎng)大了卻并沒有任何數(shù)學(xué)天賦，原來僅僅是有做題天賦，這二者有著天壤之別。 

我稍稍說一下做題天賦和數(shù)學(xué)天賦的區(qū)別......我為一些數(shù)學(xué)項(xiàng)目做過招生面試，發(fā)現(xiàn)有一個(gè)競(jìng)賽牛校，無論我出什么面試題，所有這個(gè)學(xué)校的學(xué)生給出的答案竟然全都一模一樣。我立即就知道，這些人沒有任何數(shù)學(xué)前途。他們只能解決前人已經(jīng)解決出來的問題，但是如果前人都解決不出來，他們也沒有能力跳脫出前人的框架，找到新的方向。 

 

一、學(xué)數(shù)學(xué)到底需要什么？

首先，成為數(shù)學(xué)家顯然是需要一定天賦的。不過，很多家長(zhǎng)在提出這個(gè)問題的時(shí)候，并不是想搞清楚他的孩子是否會(huì)成為數(shù)學(xué)家，而僅僅是在考慮高中及之前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。家長(zhǎng)們實(shí)際想問的是： 數(shù)學(xué)考試（比如中考和高考數(shù)學(xué)）需要天賦嗎？這就好比說，人人都知道成為鋼琴家是需要天賦的，但是鋼琴考級(jí)需要天賦嗎？

從一定程度上講，確實(shí)需要一點(diǎn)點(diǎn)天賦。如果一個(gè)人連手都沒有，顯然很難鋼琴考級(jí)。

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，如果智商確實(shí)太低了，那肯定是比較吃力的，這一點(diǎn)我并不否認(rèn)。不過對(duì)于大多數(shù)孩子來說，智商并不是一個(gè)問題。

有的時(shí)候，我們看到一些孩子相當(dāng)機(jī)靈，而且他們學(xué)習(xí)其他科目也沒什么問題。怎么數(shù)學(xué)就是學(xué)不好呢？他們是否缺乏某種神秘的“數(shù)學(xué)天賦”，使得他們一輩子學(xué)不好數(shù)學(xué)呢？

在大多數(shù)情況下，天賦往往是無辜的背鍋俠。因?yàn)楫?dāng)一個(gè)孩子的數(shù)學(xué)成績(jī)不好，家長(zhǎng)心中會(huì)感到十分憋屈，總想找個(gè)負(fù)責(zé)的東西。

怪孩子嗎？舍不得，再說孩子可能也盡力了，不是故意不學(xué)。

怪老師嗎？可是同一個(gè)老師教的，怎么有的孩子數(shù)學(xué)就很厲害，好像也不是老師的問題。

找來找去，不知道怪啥。算了，怪天賦吧。

這種時(shí)候的“怪天賦”，其實(shí)就是“誰知道這孩子為什么數(shù)學(xué)不好？反正我真的搞不清楚”的意思。如果就此放棄努力，未免有些令人遺憾。

那么，如果不是天賦，到底是東西造成了數(shù)學(xué)不好的困境呢？

想要理解為什么學(xué)不好數(shù)學(xué)，首先要對(duì)數(shù)學(xué)有一個(gè)粗淺的了解。數(shù)學(xué)和其他科目相比，確實(shí)有一些顯著不同的特征。

比如說，很多人都會(huì)提到 “開竅”這個(gè)說法。有些孩子似乎數(shù)學(xué)就是“不開竅”；而有的孩子原本數(shù)學(xué)很差，但是突然“開竅”了，數(shù)學(xué)一下就有了飛躍。

??????這里符合大家探討的逆襲：知識(shí)難了，人家還逆襲了，按照教授所言，輪不到智商天賦作怪，一般逆襲好像理科居多，就是解決問題能力提高了。

回想有些人說的到了初中就好了，為什么有些娃到了初中還沒有好呢？那就是解決問題（解決學(xué)習(xí)的能力，解決學(xué)習(xí)各科的能力，特別理科本質(zhì)就是運(yùn)用知識(shí)解決理論上的問題）能力沒有提高，沒有隨著年齡的增長(zhǎng)而提升。

是什么發(fā)生了改變呢？肯定不是知識(shí)，因?yàn)橹R(shí)是一個(gè)逐步累積的東西，只有可能量變，不可能發(fā)生質(zhì)變。我覺得更可能發(fā)生的改變，是 孩子青春期的性格和習(xí)慣上的改變，導(dǎo)致孩子解決問題的方式和能力發(fā)生了質(zhì)變，從而數(shù)學(xué)“開竅”了。

為什么其他科目很少會(huì)“開竅”呢？因?yàn)樵S多學(xué)科是不需要?jiǎng)?chuàng)造力的——你看書聽課，把知識(shí)搞懂，該背的背住，把題刷夠了，考試成績(jī)自然就會(huì)得到提高。

然而數(shù)學(xué)就要靈活得多了。 數(shù)學(xué)問題往往需要你發(fā)揮一定的創(chuàng)造力，從而解決陌生的問題。如果老師的水平不夠，而你又沒能自己找到正確的方法和方向，很有可能白努力，越學(xué)越崩潰。

歸根結(jié)底，數(shù)學(xué)考試往往考的并不是知識(shí)本身，而是解決問題的能力、習(xí)慣和性格。

因此，如果大家在乎的是小學(xué)中學(xué)的數(shù)學(xué)考試，那么與其盯著并沒有什么直接關(guān)聯(lián)的“天賦”， 不如來看看怎么樣培養(yǎng)孩子解決問題的能力、習(xí)慣和性格。

二、解決問題的方法論

大多數(shù)時(shí)候，我們做不出來一道數(shù)學(xué)題，差的并不是天賦，而是解決問題的習(xí)慣有問題。比如說，兩個(gè)天賦差不多的學(xué)生，面對(duì)同一道高考模擬的難題，可能一個(gè)人總能做出來，而另一個(gè)總是做不出來。這是現(xiàn)實(shí)中經(jīng)常發(fā)生的情況。這兩個(gè)學(xué)生很有可能只是差了一個(gè)方法論的距離。

比方說，我們來考慮這樣一個(gè)有趣的問題。

我們面前有一杯牛奶和一杯水，牛奶和水一樣多。

假設(shè)我用一個(gè)勺子，盛一勺牛奶到水里，攪拌均勻；再?gòu)脑摶旌衔锢锩媸⒁簧追呕氐脚Ｄ汤铩?/p>

問：現(xiàn)在是牛奶里面的水多，還是水里面的牛奶多？

（假設(shè)純牛奶不含水，且忽略混合后體積變化）

解決這個(gè)問題，一般可能會(huì)有以下幾種思路。大家可以自己體會(huì)其中方法論的不同與優(yōu)劣，找找你在哪一層。

??直覺瞎猜法

你拍拍腦袋想一下，水里面摻了牛奶之后，似乎水就變濃了一點(diǎn)。盛一勺混合物，似乎盛的水少了一點(diǎn)？畢竟一勺里面不全是水了，還有一點(diǎn)點(diǎn)牛奶。

所以最后是不是牛奶里的水少？

（這個(gè)思路到這里就結(jié)束了，好像沒有其他可能性了。但是，不好意思猜錯(cuò)了，答案不是這個(gè)。）

??機(jī)械狂算法 

你設(shè)了個(gè)未知數(shù)，開始計(jì)算。

然而怎么設(shè)未知數(shù)？具體怎么算？

這等于是在賭老師和刷題。老師講過，或者刷過類似的題目，那么機(jī)械作答即可。如果老師沒講過，也沒見過這種題型，那么很可能就要腦袋空空了。

??嘗試極端情況

你假設(shè)勺子的體積為零。

那么你一來一回，等于什么都沒盛。所以水中的奶和奶中的水一樣多。

你再假設(shè)勺子的體積等于杯子中全部溶液的體積。那么你首先把所有的奶都盛到了水里，然后牛奶的杯子空了，而水杯里面是各50%的混合液。

再把混合液盛回去，兩杯現(xiàn)在都是一半一半，于是你發(fā)現(xiàn)水中的奶和奶中的水還是一樣多。

（如果是選擇題的話，正確答案已經(jīng)可以猜出來了。）

??高級(jí)數(shù)學(xué)視角

采用抓不變量的思路。盛一勺過去，再盛一勺回來，那么兩杯各自的溶液量都是不變的。因此牛奶杯中少了多少牛奶，就多了多少水。而少的牛奶，恰恰就是加到水中去的。

因此牛奶中的水和水中的牛奶一樣多。

顯然這四種思路中，后面的三種方法都能夠得到正確答案，而后兩種需要更高級(jí)的方法論。

理論上來說，一個(gè)好的老師肯定講過以上全部的方法論，不僅是中學(xué)老師講，很多小學(xué)老師都會(huì)教。

??????遇到難題怎么辦？

??先試試一個(gè)簡(jiǎn)單的情況嘛，比如遇到選擇題，代個(gè)數(shù)進(jìn)去看看到底發(fā)生了什么，這就是剛才第三種方法。

??????遇到復(fù)雜問題怎么辦？

??抓不變量嘛，大家在物理課上都學(xué)過能量守恒吧！抓不變量是近代數(shù)學(xué)和物理的最核心的思路之一，這就是剛才的第四種方法。

??????那么，為什么老師講過，到了考場(chǎng)上，面對(duì)考試題，自己卻用不出來呢？除了不專心聽講，或者不求甚解之外，很多時(shí)候還是一個(gè)習(xí)慣的問題。

這種解題習(xí)慣并沒有說起來這么輕松。 養(yǎng)成習(xí)慣之前，我們必須先要克服一些阻力，比如我們的直覺?？恐庇X去猜是最省事的方法，所以我們總是有惰性去依賴直覺，但是當(dāng)我們的知識(shí)功底還不夠深厚的時(shí)候，直覺往往很不可靠。（????太有道理了）

為了幫助我們?cè)诿鎸?duì)題目的時(shí)候能調(diào)取合適的方法論，也就是養(yǎng)成一個(gè)好的解題習(xí)慣，我們需要在平時(shí)學(xué)習(xí)的時(shí)候付出很多努力。比如說： 
 

1. 我們對(duì)知識(shí)的理解不能停留在內(nèi)容表面，更要對(duì)知識(shí)之間的聯(lián)系有著比較深刻的把握；

2. 一定要養(yǎng)成 一題多解的習(xí)慣，不斷去使用不同的方法論來打磨自己的技藝；

3. 當(dāng)然還要有 足夠的做題量（??一定不要懷疑刷題，但是刷題不是以量取勝，而是要刷的精準(zhǔn)），如果題都沒做過幾道，方法論的應(yīng)用也就無從談起了。

幸運(yùn)的是，這些都不需要天賦。??????

數(shù)學(xué)考試，和鋼琴考級(jí)有些相似——成為鋼琴大師需要天賦，而鋼琴考級(jí)卻基本不用。只要有好的老師（課內(nèi)或課外甚至是家長(zhǎng)自己都可以），好的學(xué)習(xí)態(tài)度與習(xí)慣，外加刻苦努力，就一定能成功。

三、解決問題的能力與性格

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、解決數(shù)學(xué)問題，尤其是涉及到一些難題， 往往考驗(yàn)的不是知識(shí)，而是一個(gè)人的整體解決問題的能力和性格 。當(dāng)一個(gè)方法失敗了，你遇到挫折，是否能夠不氣餒？一個(gè)方法差一點(diǎn)就成功了，你能否靈活一點(diǎn)，變通一下，把差的這一點(diǎn)繞過去？ 
 

??????????這段話說的太好了！ 

解數(shù)學(xué)難題也常常是這樣的——直接成功是罕見的，遇到挫折和阻礙是常見的；怎么和阻礙共生，和挫折周旋，不屈不撓，越戰(zhàn)越勇，是我們必須要學(xué)會(huì)的課題；只有這樣，我們才有可能戰(zhàn)勝他們，從而解決這些難題。

當(dāng)家長(zhǎng)討論數(shù)學(xué)天賦的時(shí)候，往往有一種錯(cuò)覺，仿佛天賦能夠解決一切問題，只要孩子有了天賦，數(shù)學(xué)生涯就能一帆風(fēng)順、一往無前。

事實(shí)并非如此。 
 

在我的數(shù)學(xué)工作生涯中，我有幸和唯二的華人數(shù)學(xué)菲爾茲獎(jiǎng)得主共事過。他們無疑都極具天賦，聰慧過人，但他們的數(shù)學(xué)之路都不是一帆風(fēng)順的。天賦可以帶你走一程，但你最終能走多遠(yuǎn)，仍然是你解決問題的能力和性格決定的。

我們的教育理念，非常重視孩子的自我探索和自由玩耍，因?yàn)檫@正是幫助他們培養(yǎng)解決問題的能力和性格的最核心要素。尤其是對(duì)于學(xué)齡前的孩子來說，大量的自由玩耍，雖然不能提升孩子的天賦，但卻是每一個(gè)孩子發(fā)揮自己全部天賦的必要條件。和學(xué)習(xí)知識(shí)相比，學(xué)齡前的自由玩耍，不僅可以幫助孩子練習(xí)解決各種問題，更可以鍛煉他們堅(jiān)韌不屈的性格。

如果沒有時(shí)間去自由玩耍，去自己支配和探索，如果家長(zhǎng)和老師總是急于幫助孩子，迫不及待地把問題的答案都展示給孩子，那么這些孩子在成長(zhǎng)的過程中，就幾乎沒有機(jī)會(huì)去練習(xí)，去真正自己獨(dú)立解決問題。
 

等到孩子大一點(diǎn)，開始面對(duì)越來越困難的題目，他們就要花費(fèi)更多的時(shí)間去從頭練習(xí)“解決問題”這種技能，而課業(yè)的壓力從各個(gè)方面席卷而來，他們很可能沒有這個(gè)時(shí)間和精力去彌補(bǔ)童年的功課。造成的結(jié)果是，我看到很多人直到成年、工作之后，仍然沒有解決問題的能力，他們對(duì)數(shù)學(xué)如此恐懼也就不難解釋了。

說來說去，學(xué)數(shù)學(xué)到底需要天賦嗎？用簡(jiǎn)短的話來說，如果你并不指望成為一代數(shù)學(xué)大師，那么數(shù)學(xué)天賦并不重要。

在大多數(shù)孩子所經(jīng)歷的小學(xué)、中學(xué)、甚至大學(xué)時(shí)期，數(shù)學(xué)都并沒有上升到需要使用天賦的地步。如果你認(rèn)為數(shù)學(xué)很難，數(shù)學(xué)考試的成績(jī)總是提升不上去，請(qǐng)不要責(zé)怪天賦——你更應(yīng)該關(guān)注的是解決問題的方法論，還有解決問題的能力和性格。

如果你成功調(diào)整了關(guān)注的重點(diǎn)，有效提升了以上幾種能力，你會(huì)發(fā)現(xiàn)不止是數(shù)學(xué)變得簡(jiǎn)單而有趣，你的生活也會(huì)變得更加順利。
 

說數(shù)學(xué)是解決問題的方法論，其實(shí)我覺得學(xué)習(xí)就是個(gè)方法論問題（當(dāng)然還可以再擴(kuò)大范圍，因?yàn)槿松恢挥袑W(xué)習(xí)這一項(xiàng)） ，可惜我到大學(xué)畢業(yè)都懵懵的，不知道這些。