二下暑 數(shù)論概論學(xué)習(xí)記錄1（未完）

數(shù)論不是必要的，如果不是喜歡+閑，沒必要特地學(xué)。

印象特深的一段：“然而，迄今為止，數(shù)學(xué)中還有一大體系除了可以訓(xùn)練思維外沒有任何實際應(yīng)用，簡直可以被光榮地授予“純粹皇冠”了。這就是所謂的“數(shù)論”（這里指整數(shù)），數(shù)學(xué)中最古老的分支之一，也是純數(shù)學(xué)思維最錯綜復(fù)雜的產(chǎn)物之一。”

笑死，其實還是有用+好玩的，跟娃一起胡說八道很開心。其實還是有點遺憾本科生中大多沒開展數(shù)論課程，給欣賞一下數(shù)學(xué)有趣的地方。

新內(nèi)容我都帶前幾章，后面娃自習(xí)和做題。我以前沒選修過數(shù)論，不了解的部分只在單位趕進度看看，回家再討論，所以只總結(jié)小部分，暑假慢慢更新下。手上數(shù)論好材料不多，歡迎推薦。

《數(shù)論概論》比小藍本更適合入門+討論，小藍本當(dāng)題庫不錯。

1.前三分之一難度不大，有很詳細的引導(dǎo)。

2.課后題引導(dǎo)了很多后續(xù)概念的證明推導(dǎo)，引導(dǎo)興趣很有效，可以說進度是不固定的、是可以控制在拓展里的。

3.書里每節(jié)都涉及到編程，娃還沒學(xué)哎……某些手動計算了。

4.上學(xué)期看幾何原本時，數(shù)論這章沒開好頭，經(jīng)過這次長見識，倒是理解了幾何原本里的數(shù)論章（類似輾轉(zhuǎn)相除法的理解）。

作者很幽默。

前期介紹很通俗。會介紹普遍的知識，娃看到這里說她記得費馬大定理，記錄下

思考題有小部分不需要證明出來，可以做亂七八糟小聯(lián)想。娃說有些是以前數(shù)學(xué)科普書里看的，比如《素數(shù)的陰謀》等

拆解奇素數(shù)為平方和，娃還想出個題，將奇素數(shù)因分成復(fù)數(shù)形式，能拆的都是除以4余1的數(shù)（又可以結(jié)合平方數(shù)性質(zhì)來推導(dǎo)），查了下都是高斯素數(shù)。（后面章節(jié)會展開）

二、勾股數(shù)組

是初始幾章里很有意思的部分，構(gòu)造數(shù)組的方式很多樣。（最好有函數(shù)計算基礎(chǔ)，對復(fù)平面、向量等有認識，拓展很有趣。）

1、通過分析奇偶，分析平方數(shù)性質(zhì)，推導(dǎo)公式。

關(guān)于一組本原勾股數(shù)組（即互素的），里面必有2/3/5的倍數(shù)，正文里給出了2的證明方式。娃說很喜歡這步證明，跟醇香奶一樣美妙，還補充寫了在前一步就能完成證明（其他都是4的倍數(shù)，有一項卻模4余2）。

課后題里，讓證明3和5的倍數(shù)的情況：娃用平方數(shù)的性質(zhì)，模3余1或0，來證明3的倍數(shù)；用平方的尾數(shù)（只有0.1.4.5.6.9等情況）組合，來證明5的倍數(shù)情況。

（后半題是用一種方法構(gòu)造一組勾股數(shù)組。）

對比下：小藍本（整除）提及的2、3、5的倍數(shù)性質(zhì)，是作為單獨練習(xí)題，糅合在同一題里證明完的。

也是數(shù)組構(gòu)造題

（不知為啥還畫了個亂亂小設(shè)計）

2、書里還用了函數(shù)＋固定坐標(biāo)的方式推導(dǎo)勾股數(shù)組，但娃也用復(fù)平面和向量做了一樣的構(gòu)造結(jié)果。

復(fù)平面法：第二題就是用的向量運算得出的勾股數(shù)組。（有次在店里玩，娃還拿小票背面出題為難爸爸，還自己寫了答案紙，不過沒畫復(fù)平面。那天娃倒是給爺爺科普了一回虛數(shù)的幾何意義，原來爺爺當(dāng)年大學(xué)醫(yī)學(xué)還沒學(xué)過虛數(shù)、復(fù)平面。）

三、輾轉(zhuǎn)相除法

原本只用它求最大公因數(shù)GCD。這書給出了其與線性方程的證明和關(guān)聯(lián)應(yīng)用，原理講得非常清楚，后面大量應(yīng)用到。從這里開始完全是娃自習(xí)了，我在單位放了本中文版的，盡量同步看，有時沒看就等回家聽娃講一講。

先是求公因數(shù) gcd

然后是用于線性方程。（二元一次不定方程，求出一組解后列通解）

爺爺友情提供了好多草稿紙，亂亂

比較了一下奧精、小藍本的不定方程求整數(shù)解，第一組解多半是用嘗試法（枚舉法），再出通解，普遍性上差一點點，遇到較大數(shù)可能會很難湊。

書的正文推導(dǎo)了二元不定方程的整數(shù)解，課后出了三元的題，一開始，我讓娃想個通解模式，她還嘗試摸了套公式（一拍腦袋就寫了，挺好玩，邏輯自洽了，也判斷了有公因數(shù)的關(guān)聯(lián)，做能做，但湊數(shù)還是一樣麻煩）

后來福至心靈想起來可以拆成兩組分別用輾轉(zhuǎn)法出通解。（小傻子還很高興，說發(fā)現(xiàn)一次不定方程的整數(shù)解全解法啦哈哈。給她搜索了網(wǎng)上的解法論文23333，人家早就解出來了）

之后就能解決多元一次不定方程，還可判定有無整數(shù)解。

多元一次不定方程。還從小藍本摘了點題做。

（部分內(nèi)容跟初中很像，就當(dāng)復(fù)習(xí)了）

四、同余、費馬小定理、歐拉φ相關(guān)

娃原來在尖子生系列的整除中學(xué)到過同余，倒是一直用得很溜，估計小孩都喜歡這類精簡、偷懶的法子。

涉及到同余部分，娃原來在尖子生那套的整除練習(xí)中學(xué)到過，倒是一直用得很溜，估計小孩都喜歡這類精簡、偷懶的法子。

同余式解決還是會用到輾轉(zhuǎn)法哦

還寫錯詞……（本來是列一下費馬小定理的證明）

后來看到歐拉φ定理的證明，說方式與費馬小定理一致，還吐槽來著。

求φ值時，說書里用的是代入的歸納法，自己寫了個因分的推導(dǎo)模式，不過最后還是歸納法。

φ值翻來覆去地求解/倒推/z證明很好玩。

有些題目里要求推五種，娃倒很耐心地推很多、推十來個。

這題本來是求1-9每個數(shù)字的1000次的末四位數(shù)，就相當(dāng)于求 mod 10000。娃開始還試探了下能不能用歐拉φ，結(jié)果還是用了逐次平方法，需要幾次就拆為二進制數(shù)的組合。從這題開始熟練使用計算器撳平方找尾數(shù)了2333，發(fā)現(xiàn)規(guī)律非常有趣。（只要算出素數(shù)的那些，合數(shù)可以由素數(shù)的對應(yīng)次冪得出。）

期間我在網(wǎng)上摘了點題，另外考娃。

不得不說，用到同余規(guī)則的地方都反應(yīng)比較快。

結(jié)果娃還說自己總結(jié)了點規(guī)律（亂來的）

五、素數(shù)介紹章，不過主要在后面章節(jié)開展

完美數(shù)部分，題目做著做著還會畫漫畫小人23333不注意還真沒發(fā)現(xiàn)

六、密碼學(xué)相關(guān)
好像從十幾章開始都跟密碼學(xué)有關(guān)，這就到她感興趣的部分了。

書里涉及編程部分，因為還沒學(xué)，一般手動計算一下，或列一下需要的過程、原理。

六、密碼學(xué)相關(guān)
好像從十幾章開始都跟密碼學(xué)有關(guān)，這就到她感興趣的部分了。

這題解碼解得蠻逗的，過程中有一步是用輾轉(zhuǎn)法解次數(shù)關(guān)聯(lián)的線性方程，娃把正負號搞反了，悲劇啊，本來只要兩位數(shù)次方的，變成要算六千多次。更沒想到的是居然很有毅力地一路算到了，然后解出的碼毫無意義。（算二進制數(shù)次冪模時，她都檢查確認了，怎么就沒在輾轉(zhuǎn)法里檢查符號呢，小孩好嫩2333）

盡管這樣，我還是很感動的，這多繁瑣啊，還能堅持下來。我跟娃爸都試著撳了撳計算器，馬上淚奔了（畢竟只給了娃一只基礎(chǔ)計算器）。當(dāng)然二進制數(shù)的次方也不是白算的，能用上一部分。接下來一張就正本清源，算對了。解碼為Fermat。好像是這次被我倆大夸特夸，覺得很有趣，后面幾天還編了好幾句密碼考大人（編碼解碼的步驟一樣繁瑣）orz

特別夸一下娃想出的流暢的計算器撳法（①撳 “某數(shù)”“x”“ =” 可算該數(shù)平方；按"-""某數(shù)"，再持續(xù)按"="，會連減該數(shù)），比如撳出2604的平方，為七位數(shù)，娃就先連減7081的百倍，再連減其十倍，再連減7081，直到剩余數(shù)；接著余數(shù)平方，再如上做連減。這樣可以連貫撳，而不用每步都記錄來記錄去求整數(shù)倍。娃不會編程，也有其他的收獲，起碼是動腦解決麻煩了。

數(shù)碼表對應(yīng)如圖

我斷斷續(xù)續(xù)跟進度的，后面的還沒拍，待補充整理。

PS：陸續(xù)看到有個別題目里的小分題是奧數(shù)里出現(xiàn)過的。

最近回看了二次剩余定理和二次互反律，據(jù)娃說很有趣。