淺談如何學(xué)好小學(xué)數(shù)論

關(guān)于小奧的七大模塊，已經(jīng)分別寫了

淺談如何學(xué)好小奧行程

淺談如何學(xué)好小奧幾何

淺談如何學(xué)好小奧計(jì)數(shù)

淺談如何學(xué)好小奧組合

這是該系列的完結(jié)篇，我的寫作順序就是難度排名，閱讀量也是越來越低。 

數(shù)論研究的是整數(shù)的性質(zhì)，小奧競(jìng)賽必考內(nèi)容，在初中高中的聯(lián)賽中也會(huì)繼續(xù)深入。小奧的數(shù)論就是初等數(shù)論中最簡(jiǎn)單的一部分，可初等數(shù)論不“初等”，這個(gè)東西就不是給普娃學(xué)的。

 01難點(diǎn)

 數(shù)論第一個(gè)難點(diǎn)在于整體性：一般機(jī)構(gòu)的數(shù)論的主線順序是整除-質(zhì)數(shù)與合數(shù)-因數(shù)與倍數(shù)-余數(shù)問題-位值原理-進(jìn)位制/取整/不定方程/完全平方數(shù)，這種學(xué)習(xí)順序有一點(diǎn)問題，因?yàn)閿?shù)論是一個(gè)大的整體，各知識(shí)點(diǎn)之間聯(lián)系及其緊密，很多內(nèi)容是互相定義。先學(xué)哪個(gè)都可以，先學(xué)哪個(gè)又不可以。

 第一遍學(xué)習(xí)的時(shí)候，很多知識(shí)點(diǎn)理解起來會(huì)比較痛苦，甚至有一些老師會(huì)直接說，這是一個(gè)結(jié)論先記住，后面會(huì)講。比如整除特征要用到位值原理，判斷整除要看余數(shù)，質(zhì)數(shù)合數(shù)的判定要依靠因數(shù)倍數(shù)，因數(shù)倍數(shù)里面又有分解質(zhì)因數(shù)。所以，每學(xué)一個(gè)新的知識(shí)點(diǎn)時(shí)，都要想一下，這個(gè)知識(shí)點(diǎn)和以前相比的有哪些聯(lián)系。

 數(shù)論第二個(gè)難點(diǎn)在于抽象性：其他模塊如果不明白，畫個(gè)圖也能解釋，可絕大部分?jǐn)?shù)論題目是極為抽象的，只能用代數(shù)的方法去推導(dǎo)，如果強(qiáng)行用一些方式去直觀展現(xiàn)，是不符合學(xué)習(xí)路徑的，也是舍本逐末的方法。

 數(shù)論第三個(gè)難點(diǎn)在于困難性：現(xiàn)在很多小奧的數(shù)論題，都是當(dāng)年的初聯(lián)題目，如果打開初中的小藍(lán)本，會(huì)發(fā)現(xiàn)目錄還是那些東西。小奧區(qū)分度最高的兩個(gè)模塊就是組合和數(shù)論，即使到了高聯(lián)二試，也是代數(shù)、平幾、數(shù)論、組合四大模塊，數(shù)論、組合屬于貫穿了小學(xué)、初中、高中整個(gè)競(jìng)賽過程的模塊，也一直是最難的兩個(gè)模塊。如果一個(gè)孩子學(xué)不明白數(shù)論，那么大方承認(rèn)是普娃。

 數(shù)論第四個(gè)難點(diǎn)在于獨(dú)立性：課內(nèi)關(guān)于數(shù)論只有極少的概念性掃盲，具體知識(shí)點(diǎn)幾乎沒有。所以奧數(shù)里面的數(shù)論完全獨(dú)立。這樣就導(dǎo)致了兩個(gè)困難，對(duì)于孩子來要學(xué)一個(gè)未來課內(nèi)絕對(duì)不會(huì)考的知識(shí)點(diǎn)。對(duì)于非競(jìng)賽出身的家長(zhǎng)來說，如果不重新學(xué)習(xí)可能連孩子都不如。所以很多高年級(jí)的家長(zhǎng)在孩子面前也沒有低年級(jí)的底氣，我自己也是從0開始學(xué)習(xí)。

 數(shù)論第五個(gè)難點(diǎn)在于跳躍性：數(shù)論表述極其簡(jiǎn)單，最難的題目一般人也能看懂，所以很多民科都喜歡數(shù)論?？伞翱此茖こＷ钇閸纭?，題干字越少的題目越難，你能用的工具就那么幾個(gè)，但是要解決的問題卻很困難，解題過程還分好多步驟，再加上很多老師和解析喜歡跳步，中間一個(gè)環(huán)節(jié)沒弄懂，可能要研究很久才能搞明白。

 02應(yīng)對(duì)

 前面說了那么多難點(diǎn)，也不是說只能束手無策，雖然數(shù)論看智商，可我們學(xué)習(xí)奧數(shù)就是要突破自己的天花板，也就是先確定自己學(xué)習(xí)的目標(biāo)，因?yàn)槟繕?biāo)不同需要付出的努力是不一樣的。競(jìng)賽并不是一條捷徑，絕大數(shù)人還是走綜合，學(xué)習(xí)的難度要取決于目標(biāo)考試的難度，比目標(biāo)稍微高一些就可以。

 一、學(xué)習(xí)路線

前面說了那么多難點(diǎn)，也不是說只能束手無策，雖然數(shù)論看智商，可我們學(xué)習(xí)奧數(shù)就是要突破自己的天花板，也就是先確定自己學(xué)習(xí)的目標(biāo)，因?yàn)槟繕?biāo)不同需要付出的努力是不一樣的。競(jìng)賽并不是一條捷徑，絕大數(shù)人還是走綜合，學(xué)習(xí)的難度要取決于目標(biāo)考試的難度，比目標(biāo)稍微高一些就可以。

解決數(shù)論的總體思想就是吃透概念，明白原理，適量刷題，降維打擊。

一、學(xué)習(xí)路線

從學(xué)習(xí)進(jìn)度來說，我認(rèn)為數(shù)論至少要學(xué)習(xí)兩遍，因?yàn)槭亲噪u，所以我們的學(xué)習(xí)一直都是模塊化學(xué)習(xí)，數(shù)論作為最后一個(gè)模塊，因?yàn)檎w性太強(qiáng)，在短期內(nèi)大火猛攻效果更好，如果像機(jī)構(gòu)那樣螺旋上升，可能過段時(shí)間遺忘了不少。其實(shí)所有的模塊都可以集中學(xué)習(xí)，數(shù)論因?yàn)槠涮厥庑孕Ч绕涿黠@。

每一遍的側(cè)重點(diǎn)不一樣，第一遍側(cè)重于進(jìn)度，主要是快速過一遍，將概念和定理都弄明白，要注意的是，這里的明白是明白原理，而不是記住結(jié)論。課程難度選擇機(jī)構(gòu)的創(chuàng)新難度，習(xí)題用導(dǎo)引配套，因?yàn)閷?dǎo)引的題目至少有20年的歷史了，所以數(shù)論部分整體的難度偏低，達(dá)到五年級(jí)導(dǎo)引難度即可。

這一遍的目的就是了解概念，掌握方法，也為第二輪的拔高做鋪墊。如果目標(biāo)只是機(jī)構(gòu)的高端班型、XSC或者分班考，那么這個(gè)難度已經(jīng)足夠，是投入產(chǎn)出比最高的方案，沒有必要再往下深入了。

這一遍的重點(diǎn)就是底層邏輯的培養(yǎng)，這是能做出難題的前提，也是我們學(xué)習(xí)小奧的目標(biāo)之一。奧數(shù)里面的概念很多，方法也很多，看起來很復(fù)雜，其實(shí)學(xué)到最后就剩下那么些內(nèi)容，每個(gè)模塊都有各自的邏輯，只不過有的模塊就算孩子沒學(xué)明白底層邏輯，靠記憶也能做題，區(qū)別就是能做哪種難度的題目而已。

第二遍是將數(shù)論的知識(shí)點(diǎn)重新學(xué)習(xí)一遍，目標(biāo)應(yīng)對(duì)應(yīng)機(jī)構(gòu)的頂級(jí)班型、一線初中ZDB的XSC或者某些有含金量的比賽的高級(jí)別獎(jiǎng)項(xiàng)。這一遍的難度要比第一輪高一個(gè)臺(tái)階，需要把第一遍中一些重要知識(shí)點(diǎn)全部推導(dǎo)一遍，并且要引入高階的方法降維打擊。比如為什么1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)，為什么質(zhì)數(shù)有無數(shù)個(gè)，為什么分解質(zhì)因數(shù)方式唯一，余數(shù)為什么不具有可除性，還是在一定前提下滿足可除性？

另外根據(jù)孩子的接受程度補(bǔ)充高階技巧，比如余數(shù)為負(fù)、歐拉函數(shù)、費(fèi)馬小定理、裴蜀定理等。這部分對(duì)大多數(shù)孩子來說就很難了。不過數(shù)論最講邏輯，有的孩子無法理解，需要家長(zhǎng)或者老師帶著從頭證明一下，如果證明實(shí)在困難，至少要記住結(jié)論和方法。

對(duì)于數(shù)論來說，如果不懂底層邏輯絕不可能學(xué)好，第二遍的目的就是體會(huì)數(shù)論這個(gè)模塊到底是研究什么的。如何下定義，如何證明定理，有哪些推論，即使很多內(nèi)容不考，或者老師不講，也最好弄明白，因?yàn)檫@些是一個(gè)整體，而你在教材和上課學(xué)的內(nèi)容太零散，終極目標(biāo)就是能把各個(gè)知識(shí)點(diǎn)從頭到尾講一遍，到達(dá)這個(gè)程度就說明已經(jīng)融會(huì)貫通了。

那么問題來了，能不能把兩輪合并成一輪提高效率呢，對(duì)于非天牛來說幾乎不可能。因?yàn)槟悴豢赡軐?duì)一個(gè)知識(shí)點(diǎn)有了簡(jiǎn)單的認(rèn)識(shí)后，馬上就能解決復(fù)雜的問題。就像學(xué)了雞兔同籠后未必馬上就能解決濃度題目，雖然它們本質(zhì)上就是一回事。所以兩輪是必須的，而且至少是二輪。

 二、參考資料

 網(wǎng)課就不具體推薦了，經(jīng)常提起的名師其實(shí)就那么幾位，低難度用W老師的七大模塊，高難度用S老師的三模塊，此外Z老師，R老師，兩位C老師和兩位L老師的資源都可以看看，除了他們的常規(guī)課程，也可以他們針對(duì)杯賽的刷題班的數(shù)論部分。比較后就會(huì)發(fā)現(xiàn)，每位老師講的方式都不一樣，很難做出取舍，每聽一位老師，就有一次收獲。除了大白、導(dǎo)引作為練習(xí)冊(cè)外，再額外推薦3本書，如果是主要是孩子學(xué)，就讓孩子看，當(dāng)然家長(zhǎng)也能看最好。

 第1本是科普，名稱為《數(shù)序女王的邀請(qǐng)-初等數(shù)論入門》，這本書優(yōu)點(diǎn)是內(nèi)容非常有趣，并且篇幅不多，正好處于入門的難度，但是涵蓋的內(nèi)容很全，有時(shí)間可以翻翻，一般成年人幾天就看完了。

 第2本是必修，6年級(jí)的《明心資優(yōu)教程》，明心資優(yōu)一共4、5、6年級(jí)各一本，編寫最好的就是6年級(jí)這本，厚度幾乎是4、5年級(jí)的總和，所以沒有時(shí)間和毅力的就不用買了。數(shù)論部分是6年級(jí)的壓軸幾講，而且篇幅接近整本書的一半，可見明心對(duì)于數(shù)論的重視，相關(guān)部分如果能學(xué)習(xí)完，絕對(duì)有一個(gè)質(zhì)的飛躍。除了基礎(chǔ)的內(nèi)容，拓展也有很多價(jià)值，比如“大衍求一術(shù)”。

 如果明心還覺得不過癮，那么可以看第3本的選修，也就是初中小藍(lán)本的數(shù)論那一冊(cè)，全稱為《2022數(shù)學(xué)奧林匹克小叢書初中卷6-整除同余與不定方程》。初中小藍(lán)本一套8本，華東師范大學(xué)出版社出品，這本書在整個(gè)系列中屬于比較經(jīng)典的一本，作者是上海中學(xué)的校長(zhǎng)。題目不多但是題題經(jīng)典，解析也比較詳細(xì)。如果看著有困難，可以找網(wǎng)課輔助學(xué)習(xí)，但最好先研究再看視頻，否則幾乎沒有效果。

該書對(duì)于競(jìng)賽生屬于入門難度，但是對(duì)于小學(xué)生來說難度非常高，不用全部掌握，對(duì)于孩子來說，可以挑一些自己能看懂的部分進(jìn)行研究，大部分題目用來欣賞和開拓思路即可。對(duì)于家長(zhǎng)的作用我會(huì)放在最后。

 03細(xì)節(jié)

 在這部分會(huì)講一下在第二遍學(xué)習(xí)中，各個(gè)知識(shí)點(diǎn)注意事項(xiàng)，在前面已經(jīng)提高過，數(shù)論就是一個(gè)整體，先將哪個(gè)知識(shí)點(diǎn)都可以，我選取的是機(jī)構(gòu)的常用順序。

 整除特征：所有機(jī)構(gòu)都先講整除，因?yàn)橄鄬?duì)簡(jiǎn)單，任何一個(gè)數(shù)都有整除特征，小奧只講了最簡(jiǎn)單的幾種。無論是尾數(shù)系、和系、差系，都是圍繞著10進(jìn)制的特點(diǎn)來研究的。分別對(duì)應(yīng)著10^n, 10^n-1和10^n+1。在這部分其實(shí)主要研究的就是余數(shù)和進(jìn)位制。如果理解了，那么那些整除特征根本不用背。

 因倍質(zhì)合：是數(shù)論的基礎(chǔ)和重點(diǎn)內(nèi)容，質(zhì)合是基礎(chǔ)，因倍是重點(diǎn)，分解質(zhì)因數(shù)和公約數(shù)公倍數(shù)務(wù)必極其熟練，這里面每個(gè)知識(shí)點(diǎn)都有多種做法，在保證自己能夠有一種最擅長(zhǎng)的基礎(chǔ)上，盡量熟練其他方法。另外最好學(xué)習(xí)一下歐拉函數(shù)，應(yīng)對(duì)某些問題可以秒殺。

 余數(shù)問題：絕對(duì)的難點(diǎn)，這里我講幾個(gè)可以降維的點(diǎn)，第一個(gè)是余數(shù)范圍的擴(kuò)大，課內(nèi)要求余數(shù)在0和除數(shù)之間，在數(shù)論里面，余數(shù)可以為負(fù)數(shù)，也可以比除數(shù)大，這樣可以降低計(jì)算量，另外可以改變余數(shù)的奇偶性，方便化簡(jiǎn)。第二個(gè)是同余式，要能夠熟練進(jìn)行加減乘除。第三是費(fèi)馬小定理，這個(gè)推導(dǎo)起來比較難，最基本的要求是記住結(jié)論，應(yīng)對(duì)某些問題可以秒殺。

 余數(shù)問題的重要性還體現(xiàn)在與其他模塊的交叉，一般是計(jì)數(shù)+余數(shù)或者組合+余數(shù)，這些題目難度都非常高，如果想做出來務(wù)必對(duì)常見的余數(shù)處理技巧很熟悉。

 不定方程：相對(duì)比較簡(jiǎn)單，小奧階段的常用題型和做法就那么幾種，如果有興趣，可以了解一下裴蜀定理。

 進(jìn)位制：其實(shí)是一個(gè)很難的模塊，能夠很好區(qū)分孩子的天賦，小孩初學(xué)可能會(huì)不好理解，不過小奧范圍內(nèi)考的相對(duì)比較簡(jiǎn)單，進(jìn)位制其實(shí)在計(jì)算、組合里面有很多應(yīng)用，可以多了解下，也可以適當(dāng)拓展，比如進(jìn)制里面的小數(shù)如何表示。

 位值原理：這是數(shù)論的基礎(chǔ)，我是放在整除前面講的，因?yàn)椴恢v位值原理的話，很多數(shù)論的內(nèi)容不好解釋，這個(gè)部分不難理解，小奧范圍內(nèi)也不會(huì)考的太難。

 04總結(jié)

 有的家長(zhǎng)覺得孩子不努力，要不知識(shí)點(diǎn)學(xué)不明白，要不過段時(shí)間就忘了。每當(dāng)有這種想法，可以打開初中的數(shù)論小藍(lán)本，學(xué)完以后再做題，那么以后面對(duì)孩子的時(shí)候，可能會(huì)更加心平氣和一些。