2022
在考察暖暖的數(shù)學(xué)啟蒙路線時，發(fā)現(xiàn)大都是走
學(xué)前思維+小低提前學(xué)+小中小高上淺奧=博小升初擇校
（省了一筆學(xué)位房的錢）
但總是覺得，和我的快樂教育的初衷有點相違，怎么才能知道娃能真正的愛上數(shù)學(xué)，不是我推著上的呢。。。
于是看了很多專業(yè)從事數(shù)學(xué)研究的學(xué)霸經(jīng)歷，希望能得到一些啟發(fā)，雖說短指媽是理工科，但看到數(shù)學(xué)題目還是跳著看的。小花生麗文科媽媽多，也推薦跳著看吧。
如果有其他好文章，我也會轉(zhuǎn)發(fā)過來。
1-1 學(xué)前潛移默化受到的數(shù)學(xué)教育
1-2 小學(xué)與初中時
1-3 高中時與備戰(zhàn)高考
1-4 第一章的結(jié)語
2-1 大學(xué)階段
2-2 研究生階段
2-3 工作之后
2-4 關(guān)于做題
2-5 概率論的翻譯
3-1 學(xué)好數(shù)學(xué)只是依賴天賦么？
3-2 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特點與常見問題
3-3 數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方法
首先還是需要談?wù)勛约涸诖髮W(xué)之前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，不是為了顯示自己有多么天資卓越，而是為了說明一名數(shù)學(xué)愛好者在應(yīng)試教育大背景下的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)歷程，以及現(xiàn)在看來的是非得失。
1-1 學(xué)前潛移默化受到的數(shù)學(xué)教育
小平邦彥《惰者集》，一部思想隨筆文集
據(jù)日本數(shù)學(xué)家小平邦彥的說法，這個世界上大約有60%的學(xué)生對于數(shù)學(xué)是有感覺的（需要確認(rèn)引用是否確切，參見小平邦彥《惰者集》）
還是一些人可能天生沒有數(shù)感。我想我應(yīng)該是屬于那60%對于數(shù)學(xué)有點感覺的學(xué)生。我家是在一個四面環(huán)山的小山村里，當(dāng)時是鎮(zhèn)上一個重要的煤礦所在地。那時候沒有奧數(shù)班，我卻在煤礦高處通過數(shù)來來往往的運煤車學(xué)會了基礎(chǔ)的加減法（父親教我來一輛車+1，走一輛車-1）。
據(jù)父親說，我在三歲時已經(jīng)對于一百以內(nèi)的加減法非常精熟。那時候也沒有幼兒園，小學(xué)的入學(xué)標(biāo)準(zhǔn)是能從1數(shù)到100。我四歲過一點就被當(dāng)小學(xué)教師的爸爸帶去他所在的學(xué)校給其他老師考核。我快速從1數(shù)到了100，這樣本來就有資格上小學(xué)一年級了。但是旁邊一位老師跟我開了一個過分的玩笑，我感覺受到了羞辱，開始激烈的反駁她。因此我爸爸的這位同事就對我爸爸說，“廖老師，您的小孩實在是太小了，還是等到他大一點再上學(xué)吧！”這樣我就又等了一年，等到我五歲多的時候正式上了小學(xué)。
1-2 小學(xué)與初中時
小學(xué)時我初窺到了奧數(shù)的端倪
初中時一位良師為我打開了自由探索數(shù)學(xué)世界的窗戶
即使如此，現(xiàn)在想來，過小的年齡加上敏感性格的組合也給我后來的學(xué)習(xí)生活帶來很多曲折和不確定性的因素，只記得我開始很不喜歡上學(xué)，前幾年經(jīng)常逃學(xué)去瘋玩。由于這方面與本文主題無關(guān)，也就不再贅述。
小學(xué) 當(dāng)時數(shù)學(xué)和語文在現(xiàn)在看來應(yīng)該是極其簡單，所以我對于小學(xué)學(xué)習(xí)整體上沒有太多印象，只記得數(shù)學(xué)基本是滿分。但是我覺得當(dāng)時至少應(yīng)該有10%的學(xué)生應(yīng)該也都是滿分，所以沒覺得自己有什么特別的。
直到小學(xué)五年級的時候，我曾代表學(xué)校去縣城參加數(shù)學(xué)競賽。具體競賽成績已經(jīng)不記得了。還能記得的是，最后舉辦了一個現(xiàn)場互動搶答的環(huán)節(jié)。老師問：有5個數(shù)之和是40，這5個數(shù)是什么？我第一個高高舉起了手，正確給出了答案。 由此可見那時候所謂“奧數(shù)”的基本水平。
進了初中，數(shù)學(xué)應(yīng)該比小學(xué)難了很多。初一有位姓衛(wèi)的數(shù)學(xué)老師給我印象很深，因為他的教學(xué)方法與眾不同。首先，我們用的不是大家普遍使用的標(biāo)準(zhǔn)教材。他給我們發(fā)了自己購買的一種新型的實驗型教材。這一教材的特點是以自學(xué)和自己探索為主，哪怕是最重要的定理也是通過引導(dǎo)內(nèi)容由學(xué)生自己探索得到。
自主探索型課程中的經(jīng)典案例便是勾股定理
書中的正文中都有許多空，需要學(xué)生自己去填充。所以衛(wèi)老師講課時，前面都是由我們通過這個特別的教材自學(xué)，最后10分鐘他才開始講課。前5分鐘還是復(fù)習(xí)上節(jié)課的內(nèi)容，最后5分鐘才過渡到新學(xué)習(xí)的內(nèi)容。
他還有一個特點是不批改作業(yè)。每次課代表會將我們做的數(shù)學(xué)作業(yè)收上去，但是上課時他會將我們的作業(yè)原封不動地搬回來。他會隨機給我們每人發(fā)一本作業(yè)，并且說如果自己被分到了自己的作業(yè)，需要跟別人交換。然后他就在上面講習(xí)題答案，由我們自己給同學(xué)判習(xí)題并打分。 我至今都覺得這種教學(xué)方式和判作業(yè)的方式都是極大的創(chuàng)新，不知道為什么沒有被普及開來。反正我非常喜歡衛(wèi)老師的這種教學(xué)方法，也非常習(xí)慣于這種以自學(xué)為主的學(xué)習(xí)方式，所以數(shù)學(xué)成績一直不錯。
衛(wèi)老師后來也不再教我們，初二初三我們換了老師，也換回了標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)教材。由于原來那本探索性教材的影響，就算換回了標(biāo)準(zhǔn)教材，我也會在預(yù)習(xí)看例題時嘗試先蒙住解答部分自己去嘗試得到答案。
集趣味與數(shù)學(xué)知識為一體的兒童數(shù)學(xué)期刊，是激起學(xué)生數(shù)學(xué)的愛好的好讀物
對于數(shù)學(xué)，我的興趣一直比較濃，自己會到書店去淘一些類似《趣味數(shù)學(xué)》的書看。初二和初三我到縣里參加數(shù)學(xué)競賽，都得了獎。第二次還被選拔去參加市級的比賽。
中考前幾個月，我大約有兩個月都在準(zhǔn)備這個數(shù)學(xué)競賽，當(dāng)時學(xué)校也沒有什么競賽培訓(xùn)班，我自己通過在新華書店買的中科大單墫老師寫的奧賽教材自學(xué)。 不過老實說，我有些地方還是不能深入理解，而且兩個月的時間也不可能把那幾本書都學(xué)完。所以最后去參加的市里的競賽也沒有獲得什么成績，這還曾經(jīng)讓我感到很失落。接下來就繼續(xù)準(zhǔn)備中考。
單墫教授在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的初等數(shù)論、解析數(shù)論和組合數(shù)學(xué)研究方面取得了一些國際先進水平的成果
發(fā)表了30多篇具有較高水平的學(xué)術(shù)研究論文。
記得中考時我的數(shù)學(xué)考個人的不算滿意，130的滿分考的是123分，最后一道10分最難的證明題我沒有完全證出來。事后我發(fā)覺原因是我試圖去證明“兩個三角形對應(yīng)的兩角及其夾邊相等，兩個三角形全等”這個“定理”，但是其實這在書中是個“公理”。或者說我對于這個“公理”的可靠性不覺得有保證，所以不敢繼續(xù)往前走。
盡管如此，由于其他科目的成績，特別是語文與英語的成績，我仍然以縣狀元的身份考入了縣一中。
1-3 高中時與備戰(zhàn)高考
一位好老師與興趣的重要性
高一時自己的成績曾經(jīng)不達(dá)預(yù)期，一度滑落到十名開外。除了要自己擺脫“中考狀元”的心理負(fù)擔(dān)外，我想還有一個重要原因是我的數(shù)學(xué)成績下滑了。我很不喜歡高一時的數(shù)學(xué)老師：覺得他講課基本是照著書念，也沒有太大激情。這伴隨而來是自己數(shù)學(xué)成績的下滑。我成績最差的時候120分的試卷我只能拿到八九十分。
幸運的是，高二下學(xué)期文理重新分班時，我換到了一個新的班級，也換了一個新的數(shù)學(xué)老師藍(lán)禮敬老師。他是省級特級教師，講課時總是充滿興趣和激情，像講故事一樣講數(shù)學(xué)。我也開始聽得津津有味，換班后的第一次考試，我數(shù)學(xué)就考到了110分以上，而且是新班級的數(shù)學(xué)第一。
另外，我記得有一次我拿一本教輔材料上我有疑惑的習(xí)題答案之處去問藍(lán)老師，他很快說是那個答案有問題。高二下也去參加過一次數(shù)學(xué)競賽，拿的是市級二等獎。盡管我自己不太滿意，藍(lán)老師確認(rèn)為已經(jīng)挺好的了。在數(shù)學(xué)成績極大提升的加持下，我的總體排名也有了提升，高二下學(xué)期期末還破天荒又拿回了一次全校第一。
我有時候跟妻子開玩笑說，她數(shù)學(xué)不好，高考數(shù)學(xué)不及格，也許不是她是對數(shù)學(xué)不開竅，而是從來沒有碰到一位激發(fā)她數(shù)學(xué)興趣的好老師。高考之前雖然也被迫跟其他同學(xué)一樣刷題，但是我實在不喜歡重復(fù)做一些很簡單的題目。
《數(shù)學(xué)通訊》上半月刊和下半月刊主要設(shè)置4個大的欄目，包括輔教導(dǎo)學(xué)、專論薈萃、復(fù)習(xí)參考、課外園地
我訂了《數(shù)學(xué)通訊》雜志，在高考前幾天主要是看里面的一些文章，嘗試?yán)锩娴囊恍╇y題。高考時我數(shù)學(xué)150分考了145，盡管也不是最高的（我們班有個同學(xué)考了滿分150，但是卻報了同濟大學(xué)學(xué)醫(yī)），但是也足夠幫助我考上自己理想的大學(xué)。
自主探索數(shù)學(xué)的趣聞一則：
高中階段還記得的一件事。有一位校外的演講者到學(xué)校里做演講，主題是“學(xué)好數(shù)理化，走遍天下都不怕”。演講的過程演講人主要是做了兩個“數(shù)學(xué)魔術(shù)”：一個是卡片猜數(shù)，另一個是將一手撲克牌隔一張翻一張，出來全部是順序的。然后以此為基礎(chǔ)說明數(shù)理化的重要性。他現(xiàn)場并沒有對這兩個魔術(shù)做任何揭秘，我們原來也不知道這兩個游戲。我記得演講結(jié)束后，我跟另外一名同樣愛好物理的同學(xué)就急不可耐地想知道那兩個魔術(shù)背后的原理，并且很快將其破解了出來。
我跟這位同學(xué)由于共同愛好物理，關(guān)系一直很好。重新分班后，他曾擔(dān)任另一個班的班長。高中時，他曾經(jīng)送給我一本《數(shù)學(xué)手冊》。這本書很長時間一直伴隨著我。
我一直珍藏著的高中同學(xué)送我的一本《數(shù)學(xué)手冊》
記得我還在里面寫了句“數(shù)學(xué)乃科學(xué)之皇后”。關(guān)于物理、數(shù)學(xué)與科學(xué)的關(guān)系，我至今還抱著這種觀點，“物理學(xué)是科學(xué)之王，而數(shù)學(xué)則是科學(xué)的皇后”。 另外同樣的一句可能是大學(xué)里寫的。上大學(xué)后這本《數(shù)學(xué)手冊》一直伴隨著我。而且我比較感慨的是大學(xué)之前所學(xué)的所有數(shù)學(xué)只占這本900頁的數(shù)學(xué)手冊的不到前100頁的內(nèi)容，所以大部分的數(shù)學(xué)是大學(xué)之后學(xué)習(xí)的。
1-4 第一章的結(jié)語
還有就是記得高三在學(xué)微積分的時候，我對于圓內(nèi)接多邊形的面積極限是圓面積這件事一直覺得難以理解：無論如何逼近，內(nèi)接多邊形也不會變成圓。這個極限等于圓面積究竟有什么意思呢？(lim x→∞) 1/2^n=0這個是什么意思呢？我一直覺得不能理解。
微積分中極限的概念
回顧整個大學(xué)之前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)歷程，我深感慶幸的是，碰到過激發(fā)自己學(xué)習(xí)興趣的數(shù)學(xué)老師，在應(yīng)試方面取得了還算不錯的成績。然而，遺憾的是，在那個時候，我沒有機緣接觸到世界級的數(shù)學(xué)名著，即使是科普級別的名著也基本沒有看過。
2-1 大學(xué)階段
大學(xué)我第一志愿報的是應(yīng)用物理，第二志愿是應(yīng)用數(shù)學(xué)。因為我覺得自己最喜歡的還是物理，其次是數(shù)學(xué)。大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)按部就班，我們作為物理系學(xué)生其實也沒有學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析，也是高等數(shù)學(xué)。教我們高等數(shù)學(xué)的老師是編寫清華《高等數(shù)學(xué)》教材的施學(xué)瑜教授。這大概也是物理系所能得到的數(shù)學(xué)上的優(yōu)待了吧。 當(dāng)時我們已經(jīng)知道有北京大學(xué)張筑生教授編的三冊版《數(shù)學(xué)分析新講》，有的同學(xué)應(yīng)該拿這套書做參考。
北大張教授編寫的數(shù)學(xué)分析新講第三冊 重視培養(yǎng)啟發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力
不過，對我最有影響的還不是這個，而是R.柯朗的《數(shù)學(xué)是什么》和《微積分和數(shù)學(xué)分析教程》(這兩本書的第二作者分別是H.羅賓和F.約翰)。當(dāng)然看這兩本都是正常的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之外，也是在大三之后。 我先在圖書館里發(fā)現(xiàn)了《數(shù)學(xué)是什么》這本書，就興致勃勃地將其看完，也感覺到很受益。我對于極限概念的真正理解就是通過閱讀這本書得到的。
運用到極限概念的積分圖與公式
記得大二時我還跟從自動化系毅然轉(zhuǎn)到物理系的檀時鈉同學(xué)討論極限的概念。他說了一大通，我知道他是已經(jīng)懂了，但是我當(dāng)時還不懂。若談天賦，我覺得他在數(shù)學(xué)和物理上應(yīng)該屬于真有天賦者。據(jù)說我們班有好些同學(xué)自從他過來后決定不再學(xué)習(xí)物理，因為肯定學(xué)不過他。他后來獲得了美國物理斯隆獎，現(xiàn)在是北京大學(xué)物理學(xué)院的教授。
但我這種數(shù)學(xué)后知后覺也通過持續(xù)的思考和閱讀《數(shù)學(xué)是什么》獲取到對數(shù)學(xué)“極限”概念一直追求的“理解”：核心是無窮大并不是一個實在確定的數(shù)，極限是一個滿足極限定義的過程。
有關(guān)無窮大的最知名概念是由德國數(shù)學(xué)家格奧爾格·康托爾提出的康托爾定理
然后我又找到了同一作者寫的《微積分與數(shù)學(xué)分析導(dǎo)論》。這是共有兩卷，每卷各有二分冊的數(shù)學(xué)教程。我從第一卷第一分冊開始看起，開始還是覺得有點難，但是其深刻性吸引著我。我也會去一道道去做教程后面的習(xí)題，也覺得很受益。
這后面的習(xí)題沒有一道是只套用公式就可以簡單解決的，每做完一道都會覺得有收益。這套書比較吸引我的地方還在于作者強調(diào)“闡明數(shù)學(xué)分析與其各種應(yīng)用之間的相互作用，并強調(diào)感性認(rèn)識的意義”的基本態(tài)度。
大學(xué)期間對自己影響最大的兩本數(shù)學(xué)書：《數(shù)學(xué)是什么》和《微積分和數(shù)學(xué)分析引論》。《數(shù)學(xué)是什么》現(xiàn)在有了新的譯本，我特地從孔夫子舊書網(wǎng)上淘了這個我原來看的版本作為紀(jì)念。
作者在《序言》中說：
“數(shù)學(xué)，作為一種自封的，一環(huán)接一環(huán)的真理系統(tǒng)，而不涉及其起因和目的，也是有其誘惑力的，并且還能滿足某種哲學(xué)上的需要。但是，這種在學(xué)科本身中做內(nèi)省的態(tài)度和方法，對于那些獲得獨立的智能而不是訓(xùn)條式的教導(dǎo)的學(xué)生們是不適宜的; 不顧及應(yīng)用和直觀，將導(dǎo)致數(shù)學(xué)的孤立和衰退，因此，使學(xué)生和教師們不受這種自我欣賞的純碎主義的影響，看來是非常重要的.”
我對于這種態(tài)度感到非常認(rèn)同。遺憾的是，我到臨畢業(yè)時也只是差不多看完了第一卷第一分冊。臨畢業(yè)時我發(fā)覺圖書館里有這套書習(xí)題解答的書，還將其中一些以及第一卷第二分冊的教材都復(fù)印了，希望工作以后能繼續(xù)看。
除了這兩本書外，我還看了一些數(shù)學(xué)科普及數(shù)學(xué)史的書，比如克萊因的《數(shù)學(xué)：確定性的喪失》及《古今數(shù)學(xué)思想》等，也感覺很受益。《古今數(shù)學(xué)思想》當(dāng)時沒有完全看完，但是后來學(xué)習(xí)相應(yīng)的數(shù)學(xué)內(nèi)容時我會補看相關(guān)部分。這套書我認(rèn)為是目前為止我能找到的最好的數(shù)學(xué)史教材。遺憾的是，其中并不包含對于當(dāng)代科技影響很大的隨機數(shù)學(xué)（概率論與隨機過程）部分。
知名數(shù)學(xué)家克萊因的一大被世人所熟知的發(fā)現(xiàn)即為對于克萊因瓶概念的提出
一個永遠(yuǎn)的裝不滿的瓶子擁有與二維的莫比烏斯帶相似的概念
2-2 研究生階段
從大學(xué)到研究生之間我又工作了三年，是后來考的研究生。前二年在一家電子公司做，其實也沒有再學(xué)數(shù)學(xué)，主要是學(xué)習(xí)工作相關(guān)的單片機編程等。到第三年準(zhǔn)備考研，我才真正接續(xù)了數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。
考研雖然是應(yīng)試的，但是我的目標(biāo)也很明確，要借這個契機重新按著數(shù)學(xué)分析的要求來重新學(xué)習(xí)一次高等數(shù)學(xué)。 我主要使用的教材是華東師大的《數(shù)學(xué)分析》以及上面提到的《微積分和數(shù)學(xué)分析教程》，最后考研100分的數(shù)學(xué)考了96，也算是為自己考上研究生立了汗馬功勞。
隔壁學(xué)校在是指清華大學(xué)的隔壁學(xué)校北京大學(xué)
研究生時，我對于數(shù)學(xué)的興致越來越濃。“隔壁學(xué)?！焙芏鄶?shù)學(xué)老師講課非常有意思，幾乎從所有的數(shù)學(xué)老師那里都能感受到他們對數(shù)學(xué)的強大興趣。我旁聽了《微分幾何》《實變函數(shù)》《拓?fù)鋵W(xué)》等課程，基本是跟著數(shù)學(xué)系同學(xué)一起上課，以至于有個數(shù)學(xué)系的學(xué)生以為我是他們專業(yè)的。當(dāng)他得知我是空間物理專業(yè)的學(xué)生后吃了一驚。 其實我學(xué)《微分幾何》是為了學(xué)習(xí)和理解《廣義相對論》的需要，其他更多是出于對數(shù)學(xué)本身的興趣。
不過還記得我在微分幾何課當(dāng)我聽到老師說剛體運動是一個數(shù)學(xué)上的平移旋轉(zhuǎn)變換群時的震撼。 作為物理系的畢業(yè)生我自認(rèn)為理解什么是剛體運動，直到此時我才覺得原來對于剛體運動的理解還是很淺顯，只有換到這個視角才是真正理解了剛體運動。拓?fù)鋵W(xué)課上老師講如何用兩個球體粘合成一個四維空間的講解也很有意思，非常符合我認(rèn)為自己花了很長時間才想通的宇宙形狀的直覺。
當(dāng)時我對概率論也有一定興趣。原因是我們研究生同學(xué)一起坐火車去上海開行業(yè)會議，有多個人玩殺人游戲，有位女同學(xué)連續(xù)二次抓到的牌是殺手，成功地當(dāng)了二次職業(yè)殺手。第三次大家重新玩，幾個人無辜被殺。大家又懷疑起她。她為自己辯護道，上兩次我是殺手，這次我又是殺手的概率是很小的。
狼人殺是一款適合多人聚會玩的策略性游戲
而別人則說，每一次都是重新開始的，你當(dāng)兇手與我們可能是兇手的概率是相同的。我好奇從概率論的角度，我這位女同學(xué)對自己的辯護是否有道理。 我自己找了本概率教材來自學(xué)，也做了些筆記，但是并沒有完全學(xué)完。 反而是對于線性代數(shù)，研一那個暑假，我找來北京大學(xué)的《高等代數(shù)》教材，并將其完整學(xué)習(xí)了一遍。
另外聽過的一些數(shù)學(xué)演講讓我記憶猶新：一次是聽文蘭院士的演講。他說他想將數(shù)學(xué)從微積分開始重新學(xué)習(xí)一遍。他當(dāng)時已經(jīng)是院士了，應(yīng)該也已經(jīng)有了很大的數(shù)學(xué)成果，但是為什么還希望從微積分開始重新學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)呢？這種學(xué)習(xí)肯定屬于為己之學(xué)。這也幾乎成了我自己的數(shù)學(xué)愿望：我并不以數(shù)學(xué)為業(yè)，但是基于興趣，我也希望自己能將重要的數(shù)學(xué)課程逐漸學(xué)習(xí)一一遍。
陳省身先生是世界20世紀(jì)最偉大的幾何數(shù)學(xué)家之一
被譽為 “整體微分幾何之父”
另一次是聽陳省身先生的演講，當(dāng)時陳先生已經(jīng)92歲了，是坐著輪椅出來的，但是目光深睿。他講的如何幾何角度看待DNA雙螺旋結(jié)構(gòu)讓人很震撼。（這篇網(wǎng)絡(luò)文章大致記錄了類似的陳先生演講的內(nèi)容
https://www.163.com/dy/article/EPA2RUO20538057A.html ;
該鏈接并并非公眾號鏈接所以無法超鏈接，需要麻煩讀者復(fù)制到瀏覽器進行閱讀
還有一件事讓我印象深刻。有一次去人大英語角，碰到一位讀力學(xué)的清華師弟，我們兩個人辯論了半天，原因他說物理比數(shù)學(xué)重要，我說數(shù)學(xué)比物理重要。我很能理解他對物理的熱情以及物理重要的認(rèn)知。但是若論總體重要性而言，我還是認(rèn)為數(shù)學(xué)更為重要一些，因為它是所有定量科學(xué)的基礎(chǔ)。
我讀高中的時代，理科數(shù)理化分?jǐn)?shù)是相同的?，F(xiàn)在數(shù)學(xué)被賦予更高的分?jǐn)?shù)，物理則總體分值更低些。我的一些繼續(xù)研究物理的同學(xué)還對此感到痛心疾首，他們認(rèn)為這對于后續(xù)的科學(xué)研究不利。然而，我則認(rèn)為將數(shù)學(xué)賦予更高權(quán)重是合理的，盡管物理學(xué)作為現(xiàn)代科學(xué)的典范學(xué)科，其重要性不言而喻 ，讀完空間物理研究生才想著轉(zhuǎn)行做互聯(lián)網(wǎng)的原因一言難盡。
當(dāng)時閱讀的文獻(xiàn)中已經(jīng)出現(xiàn)了星際網(wǎng)絡(luò)（IPN的概念），就是不同國家的深空探測器都可以通過IPN傳輸數(shù)據(jù)。對IPN的接觸讓我意識到互聯(lián)網(wǎng)的出現(xiàn)是這個時代一件大事，自己或許應(yīng)該對這個新生事物有更多了解。另一方面，可能也是不希望自己的工作過于偏理論。
民科一詞的百科定義
其廣大愛好者們的數(shù)量之多僅在貼吧的一個平臺就有33萬的討論著
研究生時選了俞允強教授的《廣義相對論》和《物理宇宙學(xué)》課程。但是上課時發(fā)覺旁邊一起上課的可能有一半是校外的業(yè)余相對論研究者或物理學(xué)愛好者。我不想用”民科”一詞來形容這樣一個群體，因為這似乎代表了一種所謂科班出身者的傲慢與偏見。我經(jīng)常為這個群體中的人對于物理和數(shù)學(xué)的熱情而感慨。
數(shù)學(xué)方面就是有一批相信自己已經(jīng)證明哥德巴赫猜想的人，但是卻是用初等數(shù)學(xué)的方法
他們大多相信自己已經(jīng)證明相對論或量子力學(xué)錯了，并且已經(jīng)創(chuàng)建了一套更好的理論。 據(jù)說勸退這群人繼續(xù)研究物理的最好方法是告訴他們離開了數(shù)學(xué)語言，現(xiàn)代物理學(xué)難以為繼。 但是事情往往也沒有那么簡單。
我曾經(jīng)去過一個物理學(xué)“獨立研究者”家里并跟他聊了一晚上。他法律博士畢業(yè)，現(xiàn)在已經(jīng)辭職專門研究物理（前提是他北京家里的確有十套以上的房子作為經(jīng)濟支撐）。他研究的物理理論中也的確有一些簡單的數(shù)學(xué)公式。不過我的確懷疑這些公式的來源與推導(dǎo)過程是否可靠。因為他曾經(jīng)問我1/(1+x)的數(shù)列展開為什么是1-x +x^2-x^3-x^4+x^5+…… 而不是1-x^2-x^3-x^4…… 另外，又說“如果物質(zhì)只會進入黑洞，又不會出來的話，這豈不是說黑洞里的質(zhì)量不會守恒了？”
2-3 工作之后
中山站是中國在南極洲所建立的科學(xué)考察站之一
再之后是南極中山站的一年。我當(dāng)時已經(jīng)確定轉(zhuǎn)行計算機，所以在中山站主要是以學(xué)習(xí)計算機相關(guān)內(nèi)容為主，數(shù)學(xué)上主要是學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)，另外還帶了一本F. 哈拉里的《圖論》，也看了一部分。那時中山站也沒有互聯(lián)網(wǎng)，基本是與世隔絕的狀態(tài)。這是一本我2000年從舊書攤淘到的書，這本《圖論》從哥尼斯堡七橋問題講起，我只覺得講得很好。但是也不清楚作者的背景，回來后查了查互聯(lián)網(wǎng)，才知道作者是著名的圖論學(xué)者。
計算機方面高德納（Knuth）的《計算機程序設(shè)計藝術(shù)》給了我很大的震撼，但在那里也只是學(xué)習(xí)了其中第一卷的部分內(nèi)容。
工作時我主要從事數(shù)據(jù)挖掘和機器學(xué)習(xí)算法工作。所以我后面的學(xué)習(xí)主要跟機器學(xué)習(xí)相關(guān)。做機器學(xué)習(xí)和數(shù)據(jù)挖掘離不開數(shù)據(jù)分析，所以統(tǒng)計學(xué)可以說是最直接的基礎(chǔ)。所以數(shù)學(xué)方面我補充的主要是概率論和統(tǒng)計學(xué)的書，概率論主要是將汪仁官教授的《概率論引論》以及復(fù)旦大學(xué)李賢平教授的《概率論基礎(chǔ)》看完并做完了習(xí)題。
陳希孺教授為中國科學(xué)院院士
陳院士一生致力于數(shù)據(jù)統(tǒng)計學(xué)的研究與教育事業(yè)
概率統(tǒng)計方面陳希孺院士的書對我的影響比較大，我?guī)缀踬I了他的所有著作: 《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》《數(shù)理統(tǒng)計學(xué)教程》《非參數(shù)統(tǒng)計》《高等數(shù)理統(tǒng)計學(xué)》等。 不要以為大佬的煉成是一日之功。我淘到過一本陳希孺先生1980年由重慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)印的《概率論及其應(yīng)用題解》，其中憑一己之日解答的費勒兩卷本經(jīng)典概率論教材的所有習(xí)題，這也可見他在概率論方面用功之深。陳希孺先生的書籍也是國內(nèi)不多的在其中比較詳細(xì)介紹貝葉斯統(tǒng)計的教材。
他的《數(shù)理統(tǒng)計學(xué)簡史》也很有助于培養(yǎng)“統(tǒng)計思想”統(tǒng)計學(xué)史著作。陳先生在本書《序》中說：“統(tǒng)計學(xué)不止是一種方法或技術(shù)，還含有世界觀的成分——它是看待世界上萬事萬物的一種方法，我們常講某事從統(tǒng)計觀點看如何如何，指的就是這個意思，但統(tǒng)計思想也有一個發(fā)展過程。因此，統(tǒng)計思想（或觀點）的養(yǎng)成，不單需要學(xué)習(xí)一些具體的知識，還要能夠從發(fā)展的眼光，把這些知識連綴成一個有機的、清晰地圖景，獲得一種歷史的厚重感?！?/strong>學(xué)習(xí)概率與統(tǒng)計的歷史有助于我們更深入地理解概率的基本概念，并培養(yǎng)統(tǒng)計思想。
F.哈拉里的《圖論》及陳希孺先生的《概率論及其應(yīng)用題解》
2-4 關(guān)于做題
關(guān)于做題，陳先生在《高等數(shù)理統(tǒng)計學(xué)》（其中有一半是習(xí)題解答）一書的序中寫道：
“...多做習(xí)題，尤其是多做難題，對掌握并熟練數(shù)理統(tǒng)計學(xué)基本的論證方法和技巧，有著不可替代的重要性。如果通過一門基礎(chǔ)課的學(xué)習(xí)，只是記住了若干概念，背了幾個定理，而未能在這方面有所長進，那真是‘入寶山而空返’了，技巧的熟練固非一日之功，但取法乎上，僅得乎中，必須在開始學(xué)習(xí)基礎(chǔ)課時就設(shè)定一個高目標(biāo)，日后進入研究工作，克服難點的能力如何，相當(dāng)一部分就取決于在這方面修為的深淺了。同時，經(jīng)驗表明，在打基礎(chǔ)的階段因忽視習(xí)題而導(dǎo)致素質(zhì)上的缺陷，在日后不易彌補，或事倍功半?！?/span>
“筆者在學(xué)生時代及其后的幾年中，對做習(xí)題未給予足夠重視。當(dāng)時誤認(rèn)為做題費時間，不增長新知識，不如多讀些書，站得實地。以后試做研究工作，就日漸感到其不良后果，表現(xiàn)到碰到問題辦法少，容易鉆死胡同，克服難點的能力弱，以致對自己缺乏信心。對許多方法，都似霧里看花，似曾識面，而不能切實掌握和靈活運用。有如十八般兵器，樣樣都見過，但拿到手里，就使不動或很笨拙。欲以此克敵制勝，自難有成......”
“從‘打基礎(chǔ)’，鍛煉技巧和提高能力諸目標(biāo)看，非做難題不行，這道理正如訓(xùn)練運動員要加大運動量，做高難動作，不然，在訓(xùn)練得過程中舒服了，就別指望出好成績。何況，對一個有志于在將來搞基礎(chǔ)研究的人，日后在研究工作中將碰到的難點，比起這些習(xí)題，又要高出若干個數(shù)量級。如果現(xiàn)在面對這些習(xí)題尚且有畏難情緒，那又怎能指望在日后研究工作中能具備克服更大困難的能力和信心?”
“...對讀者而言，筆者切望這部分（習(xí)題解答）是備而不用、備而少用。如碰到一個題一時做不出來，寧肯暫時擱一擱，也不要輕易翻看解答。譬如登山，經(jīng)過艱苦努力上了峰頂，只有其樂趣和成就感。反之，如在未盡全力之前就任人抬上去，則不惟無益，實足以挫折信心。”
以上均是來自陳希孺教授的引用
陳先生在此處提到數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的學(xué)習(xí)方法對于學(xué)習(xí)所有數(shù)學(xué)都是適合的，其中主要提到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時做習(xí)題與做難題的重要性。做難題，對于數(shù)學(xué)研究者尤其重要，因為數(shù)學(xué)研究很多就是解決別人未解決的超級難題。而對于一般的數(shù)學(xué)應(yīng)用者，要求可以稍微降低。物理學(xué)家胡寧曾經(jīng)說做題不用做得太多，我想學(xué)習(xí)物理與數(shù)學(xué)在做題方面的要求會有所不同吧。物理學(xué)更偏于對于基本概念的理解。
2-5 概率論的翻譯
廖老師的譯本在豆瓣讀書中獲得了高分評價
此外對我產(chǎn)生深刻影響的是美國數(shù)學(xué)物理學(xué)家E.T.杰恩斯的遺著《概率論沉思錄》。2009年8月，在海淀圖書城的九章書店，我看到了人民郵電出版社出的這本書的英文影印版?？戳艘幌虑把杂X得很吸引我，就買了下來。但是正如大多數(shù)我買的新書一樣，這本書在我的書架上沉寂了四五年，直到2015年左右我在品友做DSP算法優(yōu)化相關(guān)工作時，我才下定決心將其看完。
記得有將近兩年時間，幾乎每個周六上午，在焚香靜坐之后，我都會拿一上午的時間來看這本書?？吹倪^程中經(jīng)常感到非常的喜悅。北宋程頤談到讀《論語》時說“有讀了全然無事者；有讀了后其中得一兩句喜者，有讀了之后好之者，有讀了后直不知手之舞之足之蹈之者”，在讀這本書時我的確好幾次體會到這種近乎手舞足蹈的感覺。
自己對一些問題有了一定的思考，卻又百思不得其解，卻忽然看到作者在某一章的開始對類似的問題進行描述，宣稱要在這一章中對這一問題進行討論和解決，這該讓人何等的興奮呢！可以說，閱讀這本書改變了我對于概率論、統(tǒng)計學(xué)、數(shù)據(jù)挖掘、機器學(xué)習(xí)、人工智能甚至整個世界的認(rèn)知。我讀這本書是由于興趣，但也可以說是工作實際應(yīng)用的需求。
概率論作為人工智能中的基本原理 是從事相關(guān)專業(yè)必學(xué)的課程
若說學(xué)習(xí)了這種基礎(chǔ)性的數(shù)學(xué)對我做機器學(xué)習(xí)有什么實際影響，我想借用杰恩斯本人在書中的話“在能力與通用性方面，學(xué)會使用作為擴展邏輯的概率論的科學(xué)家比僅掌握了 一堆無關(guān)的特定工具的人具有更大的優(yōu)勢.隨著問題復(fù)雜性的增加，這種相對優(yōu) 勢也會擴大”。很多人搞機器學(xué)習(xí)的人只是掌握一堆工具或算法包，碰到問題就問嘗試套用工具包去解決，但是在遇到無法直接套用工具包的問題就會感到不知所措。但是有了良好的概率論基礎(chǔ)，我們就可以原初地思考問題（這些問題很多是存在本身的不確定性），并直接嘗試應(yīng)用概率論原理來解決問題。
本來按照我的工作相關(guān)，最最核心的基礎(chǔ)課程是機器學(xué)習(xí)。但是概率論和統(tǒng)計學(xué)又是機器學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。我本來計劃花一二年時間將機器學(xué)習(xí)的經(jīng)典三大本PRML/MLaPP/ESL通讀一遍并做完所有習(xí)題。
但是看了杰恩斯的書之后，我還是覺得自己的概率論基礎(chǔ)仍然需要加深。所以當(dāng)我有難得的一年“休整”時間時，我?guī)缀鯇⑦@一年時間中科技相關(guān)的學(xué)習(xí)時間都投入到了深入學(xué)習(xí)概率論之中。這一年中，我閱讀了Seldom Ross的《概率論基礎(chǔ)教程》，鐘開萊的《初等概率論》、格涅堅科的《概率論教程》（中文版是從孔夫子舊書網(wǎng)淘的人民教育出版社1956年的繁體版古舊老書，不過我也從Amazon找到并購買了該書的1998出版英文第6版也是最后一版）、迪米特里·伯特瑟卡斯、約翰·齊齊克利斯著的《概率導(dǎo)論》并幾乎做完了其中的所有習(xí)題。
現(xiàn)代概率學(xué)之父柯爾莫哥洛夫
另外我也閱讀了柯爾莫哥洛夫的概率數(shù)學(xué)公理化奠基之作《概率論基礎(chǔ)》。這是一本不到80頁的小薄書，由于語句精煉，相對而言比較抽象，只能慢慢咀嚼，但是看完之后收益很大。相對而言，費勒的《概率論及其應(yīng)用》第一卷要難些。我只看了第一卷的一部分，但是我也多次閱讀了其中的某些章節(jié)，每一次閱讀都能帶來新的收獲。像這種經(jīng)典數(shù)學(xué)書籍，是不太可能僅僅閱讀一遍就完全理解。但我知道，概率論會是我將來一生持續(xù)的興趣和鉆研方向所在，因此我會持續(xù)學(xué)習(xí)更高級的部分。
2019年，由于知道我有購買英文原版書的習(xí)慣，在人民郵電出版社工作的朋友問我有沒有人工智能方面值得引進的好書推薦。我主要向他推薦了Judea Pearl的三本關(guān)于因果推斷的書，另外詢問了他杰恩斯的這本《概率論沉思錄》是否有人翻譯。他問了出版社后說還沒有，因為這本書實在是太厚了，似乎沒有人愿意翻譯。于是，我主動請纓來翻譯這本書，出版社也給予了我支持。
3年的翻譯過程雖然辛苦，但的確充滿了愉悅，因為這種經(jīng)典書籍幾乎每讀一遍都會有新的收獲。在ChatGPT時代，翻譯這類書籍一般會被認(rèn)為沒有太多價值。然而，我認(rèn)為我翻譯這本中文版《概率論沉思錄》的主要價值在譯后記部分：我根據(jù)自己的多年的理解以及閱讀多本其他概率論書籍的思考，撰寫了約20頁的譯后記，旨在為讀者提供本書的導(dǎo)讀與解析。
我花了3年時間翻譯的物理學(xué)家E.T.杰恩斯的《概率論沉思錄》
3-1 學(xué)好數(shù)學(xué)只是依賴天賦么？
這一部分我想談?wù)勛约簩τ跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一些思考。
首先是關(guān)于數(shù)學(xué)天賦。現(xiàn)在經(jīng)常聽到的說法的是“在天賦面前，努力不值一提”，“天賦大于努力”，而且這些說法似乎深得人心，尤其是對于數(shù)學(xué)是如此。我卻認(rèn)為可以忘記“天賦”一詞。我們不可否認(rèn)人與人之間天生的數(shù)感差異，但是這只是一種天生的優(yōu)勢和潛力，如果沒有后天持續(xù)的學(xué)習(xí)和努力，這種所謂的“天賦”將永遠(yuǎn)不會開花結(jié)果。過于強調(diào)天賦往往會給自己的不努力提供借口。
其實，關(guān)于這個問題，孔老夫子的話很值得我們思考。他曾說，“十室之邑，必有忠信如丘者焉，不如丘之好學(xué)也”。他又說“唯上知與下愚不移”。數(shù)學(xué)天才和數(shù)學(xué)極不開竅的人當(dāng)然都是存在的，但是卻跟我們普通人無關(guān)。而且，能得菲爾茨獎需要的數(shù)學(xué)天賦跟我們普通人學(xué)習(xí)與應(yīng)用數(shù)學(xué)所需要的數(shù)學(xué)天賦也不相同。
至少在高考這個級別，談?wù)撎熨x都沒有太大意義。高考數(shù)學(xué)壓軸題的正確率一般也會是1%以上。我們肯定不會將百里挑一的人就認(rèn)為是天才。我們普通人還是要相信“人一能之，己百之；人十能之，己千之。果能此道矣，雖愚必明，雖柔必強”的《中庸》基本精神。
另一個可以給我們借鑒的例子是跟“學(xué)好數(shù)理化，走遍天下都不怕”這句名言有關(guān)的錢偉長先生。他高考國文和歷史滿分、數(shù)學(xué)15分、物理5分、化學(xué)5分。在現(xiàn)在看來錢先生肯定是要歸為數(shù)學(xué)上的“下愚”之列了。可是人家卻偏偏要走科學(xué)救國之路，轉(zhuǎn)學(xué)物理學(xué)。 他自詡?cè)Ｗ钋趭^之人，每天5點去圖書館背書，沒想到這時候華羅庚先生已經(jīng)背完了。結(jié)果我們也看到了，老先生最終成為了一名卓有成就的物理學(xué)家。
錢偉長先生曾擔(dān)任過清華大學(xué)的副校長
可見，數(shù)學(xué)考15分也未必說明沒有數(shù)學(xué)天賦。 老是認(rèn)為自己天賦或智商不如人很可能是畫地為牢。
相比于天賦，我認(rèn)為更為重要的，是持久的興趣與學(xué)習(xí)。培養(yǎng)興趣最有效的當(dāng)然是來自良師的引導(dǎo)和感染。但是現(xiàn)代信息社會，即使沒有碰到良師，也可以通過閱讀自己培養(yǎng)興趣的。現(xiàn)在有很多好的數(shù)學(xué)科普與數(shù)學(xué)家傳記書籍都有助于培養(yǎng)數(shù)學(xué)興趣。比如哈代的《一位數(shù)學(xué)家的自白》，保羅·哈爾莫斯的《我要做數(shù)學(xué)家》等等。
有了興趣，更重要的還是踏踏實實花時間努力學(xué)習(xí)。 “為人不易，為學(xué)實難”，民國時期新儒家熊十力先生經(jīng)常對學(xué)生做這樣的感慨。我們很多人都可能認(rèn)為現(xiàn)代社會學(xué)習(xí)比原來容易了，其實未必?，F(xiàn)代社會的學(xué)習(xí)往往添加了很多功利的因素，高考之前的學(xué)習(xí)為了更高的高考分?jǐn)?shù)，大學(xué)學(xué)習(xí)為了更高的績點，工作之后學(xué)習(xí)為了更高的工資。
互聯(lián)網(wǎng)社會我們獲取最優(yōu)秀書籍的成本低了許多，但是諸多信息的干擾和生活的壓力讓沉下心來讀書更為不易。要有持續(xù)學(xué)習(xí)的動力，有著良好的學(xué)習(xí)動機很重要。學(xué)習(xí)動機以學(xué)問本身的興致為上，以學(xué)以致用為中，以將學(xué)習(xí)作為功利性工具為下。有了興趣和正確的學(xué)習(xí)動機，每天花一定時間定時學(xué)習(xí)進步，則可以體會“學(xué)而時習(xí)之，不亦說乎？”的境界。
此句名言來源于2000多年前的圣人孔子之口
3-2 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特點與常見問題
關(guān)于數(shù)學(xué)之重要性。數(shù)學(xué)在現(xiàn)代社會的重要性不言而喻，因為數(shù)學(xué)是所有自然科學(xué)、社會科學(xué)甚至工程技術(shù)的基礎(chǔ)與工具。數(shù)學(xué)的重要性還體現(xiàn)在它對于人類思維的鍛煉上。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程，實際上是一個不斷鍛煉邏輯思維、提高抽象能力的過程。
人工智能時代，我們面臨的一大問題是學(xué)校教育應(yīng)該教什么，學(xué)生應(yīng)該學(xué)什么？ 因為學(xué)生在學(xué)生時代學(xué)習(xí)的技能，在他開始找工作時已經(jīng)被人工智能代替了。我對這一問題的看法是：如果不知道學(xué)習(xí)什么的話，那么就多花時間學(xué)基礎(chǔ)課程：數(shù)學(xué)和人文。我大學(xué)時學(xué)習(xí)的Fortran語言，十年前學(xué)習(xí)的Perl、Pig語言，現(xiàn)在很少使用了，但是那時候?qū)W習(xí)的微積分和線性代數(shù)卻仍然在使用。“唯數(shù)學(xué)不會辜負(fù)人”，我們需要有這種信念。
我體會到的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有兩大特點。一是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)沒有捷徑，也不可能速成。比如我在知乎里就看到這樣的帖子“如何在1-3天內(nèi)自學(xué)概率論”。這也代表了國內(nèi)典型的浮躁之氣。 我的回答是：“1-3天自學(xué)概率論只能將書當(dāng)小說一樣翻一遍，知道些名詞術(shù)語，但是真要懂什么，簡直就是癡人說夢”。數(shù)學(xué)的進步是緩慢的，無論是數(shù)學(xué)分析、線性代數(shù)還是概率論，發(fā)展到現(xiàn)在的程度，花費了多少人數(shù)百年的努力來構(gòu)建起來，憑什么你只需要一年半載就可以完全掌握呢？
數(shù)學(xué)書也沒法像讀小說一樣一個小時一二十頁。經(jīng)典的書，很多時候一個小時能看完并很好理解一頁就已經(jīng)很不錯了。半年學(xué)通Python是沒問題的，但是一個人要是說他半年就可以從零基礎(chǔ)完全掌握數(shù)學(xué)分析或者概率論，我卻不相信。正因為數(shù)學(xué)沒法速成，所以一個人經(jīng)過長期積累的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)才可以成為其硬資產(chǎn)。
視頻網(wǎng)站bilibili上就有許多速通python的視頻
二是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)需要循序漸進。這可能是數(shù)學(xué)跟人文學(xué)科的主要區(qū)別之一。傳統(tǒng)文化讀四書五經(jīng)，雖然也有建議的閱讀順序，但是沒有人說一定只能先讀《論語》才能讀《孟子》。
但是數(shù)學(xué)卻不太相同：很多課程都有先修課程，如何先修課程沒有掌握，其實很難掌握這門課程。比如概率論在隨機變量函數(shù)的分布需要用到多重微積分的內(nèi)容，討論多元正態(tài)分布是需要用到矩陣符號，所以微積分和線性代數(shù)是概率論的先修課程。這些都是需要循序漸進學(xué)習(xí)的。坊間有言“實變函數(shù)學(xué)十遍，隨機過程隨機過”。如果有人真的感覺學(xué)習(xí)實變函數(shù)、隨機過程特別難，很可能是這些課程的先修課程微積分、高等代數(shù)和概率論沒有學(xué)好。
為什么學(xué)過后會沒有學(xué)好呢？我的總結(jié)是學(xué)習(xí)深度不夠。我有一個觀點，就是所以對于基于數(shù)學(xué)的科學(xué)技術(shù)相關(guān)任一專業(yè)有所追求者，都值得將大學(xué)層次的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課（微積分、線性代數(shù)、概率論等）自己研讀再學(xué)習(xí)一遍（除了那些本身就在頂級大學(xué)數(shù)學(xué)系，整日沉浸在數(shù)學(xué)之中，且已經(jīng)學(xué)得很深很好的人外），并且最好學(xué)習(xí)到數(shù)學(xué)系的難度。
有人可能會說，我大學(xué)相應(yīng)課程考試都考了90分以上，還需要再學(xué)習(xí)一遍嗎？ 我的回答是需要。一是大學(xué)課程學(xué)習(xí)基本是以考試為目的，時間也比較倉促，考試級別的考分高低跟自己是否真正理解其實是不太相關(guān)的。
二來大學(xué)所用的教材一般是學(xué)校老師自編的教材，跟國際上的數(shù)學(xué)名著和最好的教材一般還是很差距的。能輕易得到世界一流的經(jīng)典名著，包括其中文版，這是我們這個時代的學(xué)習(xí)者最重要的優(yōu)勢之一。盡量研讀世界級的名著，而不要在二流教材上浪費太多精力，這與是否尊師重教或是否愛國無關(guān)。
需要學(xué)到數(shù)學(xué)系的難度一是由于這幾門課最為基礎(chǔ)，對于后續(xù)專業(yè)的發(fā)展很重要。若學(xué)得太淺，相當(dāng)于蓋樓地基打得不深，將來只能蓋小洋樓，而不能蓋高樓大廈。二是由于這幾門課程其實也沒有那么抽象，一般人是可以按照數(shù)學(xué)系的要求學(xué)習(xí)掌握的。
但即使是世界名著，每門基礎(chǔ)課程甚至都可能找到很多本。那么該如何選擇，選多少本呢？我的觀點是可以先選擇兩本內(nèi)容組織方式差別較大，能形成一定相互補充作用的兩本。一本作為主要教材，另一本作為主要參考。這樣的好處一是多維度理解：不同作者對于同一數(shù)學(xué)概念或原理的闡述可能會有所不同。這種差異能夠幫助我們從多個角度、多個維度去理解數(shù)學(xué)知識，從而加深理解。
二是補充成全：兩本書的內(nèi)容組織方式差別較大，意味著它們可能在某些方面各有側(cè)重。一本可能更注重理論推導(dǎo)，而另一本可能更注重實際應(yīng)用或習(xí)題解答。這樣的組合能夠為學(xué)生提供更全面的學(xué)習(xí)體驗，確保學(xué)習(xí)的深度和廣度。一門課程有了兩本經(jīng)典教材作為基礎(chǔ)，再看其他就會比較快了，因為只看前面兩本沒有涉及的部分就夠了。如果是比研讀教材更低級別的教材，的確也是可以向看小說一樣快速看完的。
最后是關(guān)于做題，前面陳希孺先生的引用已經(jīng)說的很清楚了（此處的引用在文章的第一部分這里是跳轉(zhuǎn)鏈接請點擊這里）。不做題談不上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的。自學(xué)數(shù)學(xué)的話盡量要選擇有習(xí)題答案的教材。盡管習(xí)題當(dāng)然要先做再對答案，但若完全沒有答案，可能很難驗證自己的學(xué)習(xí)成果。
學(xué)習(xí)貴在有恒，如果能每天抽出1小時學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，并且每天至少做1道習(xí)題。長久堅持下來，必有收獲。心中常有幾道數(shù)學(xué)題可思考，也是一件很幸福的事情：無論坐地鐵還是坐車都可以用來思考，就不用一有空就抱著手機看了。
3-3 數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方法
“三種辦法：
老師對他班上的同學(xué)說，我要給你們講解正比例的概念。這個概念在數(shù)學(xué)、物理學(xué)、社會科學(xué)和日常生活中，都有用處。它考慮兩個變量x和y，其中y依賴于x，其定義（他轉(zhuǎn)過身去面向黑板，開始寫）：
y稱為與x成比例，如果存在一個數(shù)a，使得對于x的
每個值以及y的對應(yīng)值，都有y=ax。
于是他轉(zhuǎn)過身來看看全班。只有一二個人懂了。老師再試著講解。好了，你們看，我剛才寫的是什么意思。
例如，假如我們令a=2（他又轉(zhuǎn)過身面向黑板，并寫下）
對于所有x， y=2x
他又轉(zhuǎn)過身來，看著全班同學(xué)?，F(xiàn)在幾乎每個人都懂了。但是還有兩張發(fā)呆的臉。老師再試著講解。好了，你們看，我剛才寫的是什么意思。
比如說，我們令x=3， 那么y=6（他在黑板上寫）
6=2x3
他轉(zhuǎn)過身來看著全班同學(xué)。這回人人都明白了?！?/strong>
引用這一寓言的目的是為了說明數(shù)學(xué)教學(xué)或者數(shù)學(xué)教材大致有三種抽象層次：一是極其抽象，只適用于極少數(shù)學(xué)生（基本可以說是給其他未來的數(shù)學(xué)家看的），我將其定義為3.0層次；二是有一定抽象，但是有一定直觀基礎(chǔ)，適合于大多數(shù)學(xué)生，我將其定義為2.0層次；三是將其完全具體化，基本沒有什么抽象，基本所有學(xué)生都能懂，我將其定義為1.0層次。
我對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的建議是在看一本1.0層次的教材后，盡量選擇一二本2.0層次的教材進行研讀，這樣既有一定的抽象性，又不至于感到太難。 看完2.0層次的書后其實3.0層次的書籍也是可以理解的，至少不會被人用一些抽象數(shù)學(xué)符號將你嚇唬住。
2022
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