數(shù)學(xué)要不要背？一位數(shù)學(xué)老師和女兒的對(duì)話(huà)

編者按：昍爸公眾號(hào)讀者中有不少是數(shù)學(xué)老師。這篇文章的作者果凍媽就是一位熱愛(ài)數(shù)學(xué)教學(xué)的老師，她將自己與女兒的數(shù)學(xué)對(duì)話(huà)發(fā)給了昍爸。這種循循善誘讓孩子自己琢磨透計(jì)算本質(zhì)的做法著實(shí)值得家長(zhǎng)借鑒。由此也想到最近熱議的“平方表是否要背”話(huà)題，支持背和反對(duì)背的各執(zhí)一詞。如果數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中多一些這樣的引導(dǎo)，少一些死記硬背，那該多生動(dòng)！

女兒小名果凍，目前是一名小學(xué)三年級(jí)的學(xué)生。我是一名喜歡教學(xué)的數(shù)學(xué)老師。因而，我經(jīng)常會(huì)在生活中關(guān)注女兒的數(shù)學(xué)發(fā)展，關(guān)注女兒是怎樣理解數(shù)學(xué)的，并且和女兒一起對(duì)話(huà)數(shù)學(xué)。

我有寫(xiě)成長(zhǎng)日志的習(xí)慣。記得最早一次關(guān)于女兒數(shù)學(xué)的記錄是在她 26 個(gè)月的時(shí)候。當(dāng)時(shí)，她知道了汽車(chē)的輪子是“圓圓的”，還會(huì)嘗試畫(huà)類(lèi)似圓的圖形，雖然還很扁，也往往連接不好，但她很努力地去嘗試把圓“圓住”。

還記得最早一次和女兒的數(shù)學(xué)對(duì)話(huà)，是在女兒 28 個(gè)月時(shí)，那是一次“數(shù)數(shù)”活動(dòng)。當(dāng)時(shí)，我和女兒在一起整理發(fā)夾。我對(duì)女兒說(shuō)：“果凍，你數(shù)數(shù)這里有幾個(gè)發(fā)夾？”女兒就這樣開(kāi)始數(shù)了：手里一邊一個(gè)一個(gè)拿著發(fā)夾，嘴巴里一邊數(shù)“ 1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 、 7 ”。其實(shí)，發(fā)夾只有 5 個(gè)，當(dāng)她數(shù)到 5 的時(shí)候，雖然橡皮筋沒(méi)有了，但嘴巴里還是繼續(xù)接著數(shù)。我把發(fā)夾減少到 4 個(gè)，她依然如此。我把發(fā)夾減少到 3 個(gè)，這次，她數(shù)對(duì)了。原來(lái)，女兒已會(huì)“點(diǎn)數(shù)（一一對(duì)應(yīng)地?cái)?shù)）” 3 個(gè)以?xún)?nèi)的物品數(shù)量，而再多些，她就不會(huì)了。

當(dāng)時(shí)，只覺(jué)得這樣的“對(duì)話(huà)”很有意思。我似乎不僅僅是一個(gè)母親了，而是一個(gè)“窺探”孩子數(shù)學(xué)思維的“密探”。 

上了小學(xué)后，我和女兒的“數(shù)學(xué)對(duì)話(huà)”也越來(lái)越多，對(duì)話(huà)的內(nèi)容也越來(lái)越長(zhǎng)。摘錄其中幾則對(duì)話(huà)，與大家分享。

【對(duì)話(huà)一】時(shí)間： 2016 年 9 月 10 對(duì)話(huà)內(nèi)容：乘法口訣

寫(xiě)字回來(lái)的車(chē)上，果凍和諾諾（女兒幼兒園同學(xué)）一起不知怎么的聊起了乘法口訣!（我沒(méi)有提前教過(guò)乘法口訣）。

果凍說(shuō)：三四十二。

我問(wèn)：你是怎么知道的?

果凍說(shuō)：三個(gè)四嘛，四加四加四就是十二嘛!

于是，我就想考考倆小的：“四七多少?”

過(guò)一會(huì)兒，女兒說(shuō)：“二十八”。

“你是怎么想的?”

“七加七十四，十四加十四二十八?！?/p>

“六六多少?”

這個(gè)算的時(shí)間比較長(zhǎng)，而且女兒一開(kāi)始算成了72。

她問(wèn)我對(duì)不對(duì)，我說(shuō)：“不好意思，錯(cuò)了哦！”她說(shuō)：“哦，對(duì)的對(duì)的，是錯(cuò)了! 我算成三個(gè)24了”。然后,果凍說(shuō)是36。理由是就是4個(gè)6嘛12+12=24，再來(lái)兩個(gè)6，12,就是36。

我隨即嘚瑟地說(shuō)：“哇塞，你們都會(huì)自己編乘法口訣了! 太厲害了! 下次請(qǐng)你們?nèi)ギ?dāng)小老師! 把倆孩子樂(lè)的! ”

對(duì)話(huà)中讓我印象深刻的是：我沒(méi)有提前教過(guò)她乘法口訣，她竟然有對(duì)乘法口訣的直觀(guān)印象：幾個(gè)幾相加。而且，她懂得將乘法口訣拆分成一對(duì)對(duì)的加法算式去計(jì)算，這也算是一種巧妙的算法了。更由此聯(lián)想到的是，其他孩子在接觸乘法口訣前，他們會(huì)怎么想？作為教師的我們，如果了解了孩子的學(xué)習(xí)方式與學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，是否會(huì)對(duì)乘法口訣的學(xué)習(xí)更有裨益？

【對(duì)話(huà)二】時(shí)間： 2016 年 11 月 3 日 對(duì)話(huà)內(nèi)容：分類(lèi)

學(xué)琴路上，一次有趣的對(duì)話(huà)。

女兒絮絮叨叨地說(shuō)著: “媽媽哦，謝校長(zhǎng)，邊校長(zhǎng)，這兩個(gè)校長(zhǎng)的姓我都會(huì)寫(xiě)，她們可以一組，潘校長(zhǎng)的姓我不會(huì)寫(xiě)，一組。”

我說(shuō)：“嗯，是的?！?/p>

她開(kāi)始繼續(xù)了：“潘校長(zhǎng)和邊校長(zhǎng)都是第一聲，一組，謝校長(zhǎng)是第四聲，一組。謝校長(zhǎng)和潘校長(zhǎng)都是男的，一組；邊校長(zhǎng)是女的，一組。媽媽?zhuān)麄內(nèi)齻€(gè)都有自己的特點(diǎn)，誰(shuí)也不是誰(shuí)的，那就是各自一組，三組。

一開(kāi)始，我在開(kāi)車(chē)，沒(méi)注意聽(tīng)，后來(lái)覺(jué)得蠻有意思，就接了她的話(huà)：你到

底準(zhǔn)備怎么分? 

女兒堅(jiān)持三個(gè)人三組。

我問(wèn)：“如果以姓會(huì)寫(xiě)和不會(huì)寫(xiě)，你怎么分?”

女兒：“潘一組，謝、邊一組。”

“那如果以第一聲和第四聲呢? ”

“邊、潘一組，謝一組。”

“你看，我們剛才分類(lèi)前都做了一件什么事? ”

女兒有點(diǎn)說(shuō)不出，我提示了“以為標(biāo)準(zhǔn)”。這就是分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)。

“那你還準(zhǔn)備怎么分? ”

發(fā)生這一次對(duì)話(huà)的時(shí)候，已經(jīng)是二年級(jí)上了。而《分類(lèi)與整理》是人教版一年級(jí)下冊(cè)的學(xué)習(xí)內(nèi)容，和女兒的對(duì)話(huà)中，我發(fā)現(xiàn)，其實(shí)女兒對(duì)于如何分類(lèi)是存在一定問(wèn)題的——她不知道先建立一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)去分。給我的啟示是：在一年級(jí)時(shí)學(xué)習(xí)《分類(lèi)與整理》時(shí)，應(yīng)該讓孩子們感悟到“分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)”的重要性。

【對(duì)話(huà)三】時(shí)間： 2017 年 1 月 11 日 對(duì)話(huà)內(nèi)容： 1+2+3+4+ …… 98+99+100

早上，上學(xué)路上，女兒一邊走一邊念叨著1+2+3+……+11。自從學(xué)會(huì)了這道題目的計(jì)算后，她三天兩頭考我。當(dāng)然，我是被考倒的那個(gè)。

不過(guò)，今早，我決定考考她。

“你會(huì)算1加到100嗎?”

女兒說(shuō)：“會(huì)啊，1+100=101，2+99=101，就這樣算下去?！?/p>

“那有多少個(gè)101呢?” 我說(shuō)。

她一開(kāi)始說(shuō)，不知道。想了一會(huì)兒，她又說(shuō)，“五千零百五十”。（她還沒(méi)有學(xué)過(guò)萬(wàn)以?xún)?nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)，所以還不知道怎樣讀。）

我哈哈大笑，“你怎么知道的啊! ”

女兒說(shuō)：“101,100組?！?/p>

“啊，是嗎?”

“不對(duì)不對(duì)。兩個(gè)數(shù)要加起來(lái)才是101，那一百個(gè)數(shù)就要對(duì)半了，那就是50組?！焙冒? 真懷疑你一開(kāi)始的答案是怎么知道的。

學(xué)習(xí)方法是可以遷移的。 1+2+3+ …… +10+11 的計(jì)算方法和 1+2+3+4+ …… 98+99+100 的計(jì)算方法本質(zhì)上是一樣的，那就是湊整。學(xué)習(xí)過(guò)程中的錯(cuò)誤要讓孩子自己去反思、去改正。而我們要做的就是，去靜靜聆聽(tīng)孩子思考的聲音，拔節(jié)的聲音。

【對(duì)話(huà)四】時(shí)間：2017年3月29日 對(duì)話(huà)內(nèi)容：兩位數(shù)乘兩位數(shù) 

（1）下班路上

傍晚開(kāi)車(chē)回家，女兒突然問(wèn)：“媽媽?zhuān)?7乘17是多少?” 

我說(shuō)：“你動(dòng)動(dòng)腦筋啊!” 

女兒說(shuō)：“17乘17表示17個(gè)17，17個(gè)17加起來(lái)太麻煩了?！?br>我說(shuō)：“”那你再想想其他辦法吧! ”

女兒說(shuō)：“我知道了，10乘10等于100,7乘7等于49,149，媽媽對(duì)嗎? ”

我說(shuō)：“不好意思，還差很多噢! ”

女兒說(shuō)：“那我不知道了?！?/p>

“那你回家研究研究好嗎? ”研究出的獎(jiǎng)勵(lì)是晚上可以去買(mǎi)自己喜歡吃的零食。

回到家，女兒就開(kāi)始研究了。從加法開(kāi)始，一個(gè)一個(gè)往下加，有個(gè)小細(xì)節(jié)，每個(gè)17后面寫(xiě)上編號(hào)。算到289的時(shí)候很開(kāi)心。

于是，我又說(shuō)：“你還有其他辦法嗎?”

她又開(kāi)始第二種方法了。

17 乘17等于10乘17+7乘（ ），到這里她卡住了。

她說(shuō)：“媽媽?zhuān)?乘幾等于119啊? ”原來(lái)她想倒推。

我說(shuō)：“你想想，17乘17表示什么? 10乘17呢? ”

理解了這兩個(gè)算式后，她突然說(shuō)：“媽媽?zhuān)?乘17嗎? 對(duì)不對(duì)?” 

我說(shuō)：“你怎么知道的? ”

“媽媽?zhuān)降讓?duì)不對(duì)?”

“對(duì)的。那你是怎么猜的? ”

女兒說(shuō)：“17個(gè)17,這里有10個(gè)17，我就想少了7個(gè)17?！?/p>

哈哈! 對(duì)話(huà)完畢! 開(kāi)始吃飯。本來(lái)還想接問(wèn)問(wèn)：為什么17×17用10乘10加上7乘7是錯(cuò)的。但想想似乎太難了。還是算了!

（2）飯后

還是不死心，繼續(xù)對(duì)話(huà)。

我：“10×10加7×7錯(cuò)在哪里? ”她強(qiáng)調(diào)，這樣分是錯(cuò)誤的，所以不對(duì)。

我換了一個(gè)角度，問(wèn)：“如果這樣算，答案多了還是少了？”我在紙上寫(xiě)下下圖的算式。

女兒說(shuō)：“少了10個(gè)7和7個(gè)10?！?/p>

我又說(shuō)：“那如果把這兩個(gè)也寫(xiě)上呢? 分成四個(gè)算式去算呢? ”

女兒說(shuō)：“那是可以的”。

于是，我們又算了19乘19和16乘16。最后，我寫(xiě)下19乘18，她也能分
成四道算式。到是我，19乘18的時(shí)候又重新想了一遍?？磥?lái)我筆算掌握太好了。
終于“問(wèn)”完了! 

這一次對(duì)話(huà)時(shí)，女兒是二（下）年級(jí)。此時(shí)，她已經(jīng)理解了乘法的意義，也學(xué)會(huì)了乘法口訣?！秲晌粩?shù)乘兩位數(shù)》是人教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級(jí)下冊(cè)的學(xué)習(xí)內(nèi)容，我不知，那天女兒的大腦中為什么會(huì)突然出現(xiàn)“ 17 × 17 ”這個(gè)算式。可能是我們經(jīng)常聊數(shù)學(xué)的緣故，女兒也很喜歡問(wèn)我數(shù)學(xué)問(wèn)題。而每一次問(wèn)我數(shù)學(xué)問(wèn)題的時(shí)候，我都會(huì)慢慢地引著她自己去尋找答案。就如上文，對(duì)話(huà)的目的不是讓女兒去學(xué)會(huì)兩位數(shù)乘兩位數(shù)如何計(jì)算，而是讓女兒感受到：一個(gè)新的數(shù)學(xué)問(wèn)題是可以轉(zhuǎn)化成一個(gè)已經(jīng)學(xué)過(guò)的問(wèn)題去解決，讓女兒去學(xué)會(huì)檢視自己的思考。