什么是好的數(shù)學？奇幻和遺忘

向Jamie York老師學習之分享

現(xiàn)在的教育體制帶給老師最大的困境就是教學大綱。老師必須在一個學期內(nèi)完成所有這些內(nèi)容的教學。

我曾參加的一個數(shù)學工作坊的德國數(shù)學老師Anne，用她的親身經(jīng)歷對比了兩種教學模式。一種是有教學大綱的完成任務式的教學，另一種是老師根據(jù)學生情況來決定進度，你猜哪一種更有效率呢？看起來是前者，清晰可見的計劃、全面而嚴謹。但是實際結(jié)果是，前一種在一學期結(jié)束后，學生有一半的內(nèi)容跟本就沒有真正明白。

這個例子可能是個案，但道理卻是顯而易見的。既要內(nèi)容全，又要快的教學，只能走向一個結(jié)果，就是必須膚淺而不夠深入，同時會帶來焦慮。

我相信這種體會我們很多人都有，就是我們曾經(jīng)花了十幾年學習的數(shù)學，除了記住幾個公式外，你真的明白這些經(jīng)歷了幾千年的演變和探究來到我們面前的數(shù)學，到底在向我們揭示什么奧秘嗎？我們只是匆匆路過它的身邊，很少有機會見識它真正的美麗。

我曾經(jīng)問過一些和我一樣的家長，為什么想要學習數(shù)學啟蒙。基本上會有兩種傾向，一種因為對數(shù)學有畏懼而產(chǎn)生了孩子學數(shù)學的焦慮。還有一種是覺得數(shù)學應該是美的，所以帶著這種希望來尋找。我們都在尋找一個答案，美好的數(shù)學是什么樣子的。

源于奇幻的問題
 

Jamie給了一個真實的例子，讓我們來感受一下體驗深入而美好的數(shù)學學習是什么體驗？

數(shù)學的美，最容易讓人聯(lián)想到的例子就是斐波那契數(shù)列。1、1、2、3、5、8、13、21、34...每一個數(shù)都是前兩個數(shù)之和。如果光是這樣，其實也沒什么美感。最讓人震撼的是很多植物排列的序列就是按照這個規(guī)律來的。但是Jamie第一次聽說時他不相信，他覺著這簡直就是扯淡。于是他有機會真的拿來了兩顆向日葵，他們的螺旋線的數(shù)量的確在這組數(shù)列里可以找到。但是，更讓他感到驚訝的是，兩天后，他想用相機去拍攝其中一朵小小的向日葵的螺旋序列時，他發(fā)現(xiàn)這些優(yōu)美的螺旋線不見了，一條也找不到了。花沒有枯萎或者腐爛，只是因為在它被摘下后，生命就結(jié)束了，于是很快它的螺旋線也不見了。難道斐波那契數(shù)列和揭示生命的奧秘有關嗎？

而正是因為這種神奇，讓Jamie給11年級學生提了一個問題，如何找到這些數(shù)列的模式，能讓你可以判斷出第30個數(shù)會是什么數(shù)字？第500個會是什么數(shù)字？就是找出那個可以表達這組數(shù)列的公式。這些孩子們真的花了三個星期，得到了那個公式。他們真的對這個感興趣。這讓我想到了一句話，來自《一個數(shù)學家的嘆息》這本書，作者說讓孩子們對數(shù)學產(chǎn)生興趣的不是和生活有關，而是奇幻。現(xiàn)在你能感覺到嗎？

但是話說回來，難道我們就什么都不用教，只是奇幻就夠了嗎？Jamie的回答是——不是。他們也要學習代數(shù)、微積分，但是同時讓數(shù)學更多一些人性化。什么意思？就是給他們一些問題，一些真正能吸引他們的問題，并且是他們能夠解決的問題，只是可能需要一段長時間才能解決。

從一個問題進入，是我在非常多的科學教育和數(shù)學教育的書籍里看到的方向。不是為了學習一個概念而開始的前設引導，而是一個好問題。一個好問題通常是沒有確定答案的。這就是一個人學習的動力所在——好奇、求解。

學習的智慧——忘了它
 

當我們開始進入一個全新的課題時，比如開始學習代數(shù)，這是一種與以往都不同的全新的思維模式。那么我們學習了一段時間之后會怎么樣呢？讓它沉睡。你不必一直練習，保持記憶。不，忘了它！你已經(jīng)掌握了一些基本原理，然后給它沉淀的時間，幾個月或者一年后再把它帶回來，繼續(xù)學習。

為什么說這是一種學習的智慧呢？當你想要在一個時間點上把所有的相關概念全都塞滿，你就會難以消化，直到你再也啃不動了。然后你就會挫敗、失望、喪失興趣。想一想你在自主學習一樣事物時又是怎么的節(jié)奏呢？你還記得當你看一本書嗎？看第一遍和第二遍，會有不同嘛？一定會——因為時間。時間這個神奇的變量。在這兩個時間點上的書是一樣的，但是你已經(jīng)不同了，你的經(jīng)歷和你正處在的環(huán)境，甚至你第一遍學到的東西一直在你體內(nèi)醞釀轉(zhuǎn)化。所以當你第二遍再看的時候，你已經(jīng)不是之前的你，你很可能會發(fā)現(xiàn)很多你之前沒有發(fā)現(xiàn)的點。有沒有這個感覺？這不就是學習的真正過程嗎。這是人性化的學習，學習本身是立體的，而不是只有一個維度來填充的。

Jamie老師對于這段讓學習沉睡的論述并沒有展開太多，但是它卻非常有啟發(fā)意義。對于一個學校系統(tǒng)，它可以讓一個知識層面在不同年級反復出現(xiàn)，來實現(xiàn)這個遺忘和喚醒的過程。但是我們呢？如果你和我一樣只是一個家長，你會怎樣理解和運用這個點呢？

我還沒有確切答案。不過我們每天都有可能遇到這樣的情況。

昨天，小樂突然嘴里叨咕道，5個東西被0個人分，會怎樣呢？0個東西被5個人分會怎樣呢？我知道這是一個非常好的點，他是發(fā)現(xiàn)了在分配中一個很特殊的數(shù)字0，他想探索這個分配中0的問題。

我們都知道0是不能當作除數(shù)的。但是這個數(shù)學常識是小時候被直接灌輸給我們的，被記住的。

0這個特別的數(shù)字，到底還有哪些延伸拓展和深入思考的機會嗎？對于孩子來說，可能只是發(fā)現(xiàn)了一個好玩的地方，但是我要如何讓這個當下的好玩延續(xù)下去呢？

這個0對此刻的樂樂來說就是一種奇幻的體驗。但是當我們自身不具備深入理解這一概念和探索的方向的時候，或許我們可以選擇讓這個問號留在那里，遠好過直接告訴他0除任何數(shù)等于0和0不能作除數(shù)。

能夠指引人方向、促其奮進的，永遠不是幫他劃一個句號，而是存留在心中的問號。給這個問題一段時間，讓它有機會再走得遠一點。