淺談低年級(jí)和高年級(jí)奧數(shù)學(xué)習(xí)方法的區(qū)別

這個(gè)是我給“睿爸小屋”寫的一篇分享，轉(zhuǎn)過來主要是順便掙點(diǎn)積分。。。

00前言

群里經(jīng)常有一些家長提問，比如怎樣規(guī)劃小奧路線，奧數(shù)要學(xué)到哪個(gè)程度比較好，花大量時(shí)間在4、5星題目上是否值得，這些問題幾乎無法回答，因?yàn)椴恢缹淼哪繕?biāo)是什么，現(xiàn)有的基礎(chǔ)是什么，家長提供的人力和財(cái)力能到什么程度。所以家長問的問題越空洞，水平越飄渺。

 我舉這個(gè)例子，是要說明孩子小奧學(xué)習(xí)的很多問題，（不論家長是否承認(rèn)）基本都是家長的問題。這篇分享這是我為有精力和想法的家長寫的，因?yàn)楹芏嗖僮鞫际菣C(jī)構(gòu)無法提供的，全篇文章只討論一個(gè)問題，就是如何讓孩子到了高年級(jí)以后，依然保持較快的進(jìn)度，并且能把新老知識(shí)點(diǎn)貫通。

 如果你的孩子在學(xué)完知識(shí)點(diǎn)一段時(shí)間后容易遺忘，或者再遇到錯(cuò)題還是不會(huì)，亦或3導(dǎo)能做，但是到4導(dǎo)或者5導(dǎo)就非常吃力，那么請(qǐng)耐心花十分鐘時(shí)間看完全文，相信會(huì)有不一樣的感受。

 我們先定義一下范圍，標(biāo)題中的低年級(jí)指的是三、四年級(jí)導(dǎo)引進(jìn)度、高年級(jí)指的是五、六年級(jí)導(dǎo)引進(jìn)度，之所以用導(dǎo)引標(biāo)準(zhǔn)，一是因?yàn)槿珖鞯貙W(xué)制（54、63）不一樣，同一個(gè)城市不同機(jī)構(gòu)的課時(shí)安排也不一樣。因?yàn)閷?dǎo)引進(jìn)度偏慢，如果對(duì)應(yīng)到機(jī)構(gòu)班型，6年制的地區(qū)低年級(jí)就是機(jī)構(gòu)二至三年級(jí)班型，高年級(jí)就是四五年級(jí)班型（不是嚴(yán)格區(qū)分）。

 沒有一年級(jí)以及學(xué)前的原因是，很多低年級(jí)課程，都是機(jī)構(gòu)為了增加收入和拉長課時(shí)，而人為設(shè)置的知識(shí)點(diǎn)（比如天平、火柴棒、涂油漆、空瓶換水、找規(guī)律這些無聊的內(nèi)容），學(xué)不學(xué)對(duì)后面毫無影響。也不在本文的討論范圍。

 小奧學(xué)習(xí)在四年級(jí)的時(shí)候有一個(gè)明顯的分水嶺。這是因?yàn)?span style="color:#ED7D31;">低年級(jí)主要考察孩子對(duì)于基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)的理解，題目的變化也少，孩子憑感覺往前做也能得出結(jié)果；而到了高年級(jí)需要綜合多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，題目非常靈活，并且環(huán)環(huán)相扣，考察的是對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解和靈活應(yīng)用上。如果低年級(jí)淺嘗輒止，那么高年級(jí)談不上靈活運(yùn)用。

 接下來我們先討論一個(gè)問題，小奧的知識(shí)點(diǎn)依據(jù)什么來劃分的模塊，為什么有的孩子有的模塊學(xué)的很好，但是遇到了某些模塊，比如行程、幾何、數(shù)論這些做起來正確率就會(huì)直線下降，甚至在看到此類題目的時(shí)候，在心理上就會(huì)產(chǎn)生畏難、抗拒的情緒。

 01原因

 小奧知識(shí)點(diǎn)看似很多，但是其實(shí)只有七大模塊（劃分標(biāo)準(zhǔn)并不唯一），除了組合比較特殊（后面單說）外，其余六大模塊都是有相通之處，每個(gè)模塊的核心思想其實(shí)幾句話就能說清楚，之所以有那多的類型就是不同場景的變化而已。

 如果孩子低年級(jí)學(xué)習(xí)時(shí)候感覺知識(shí)點(diǎn)越學(xué)越多是非常正常的，因?yàn)橛龅降囊粋€(gè)知識(shí)點(diǎn)都是新的。但是如果到了高年級(jí)還有這種感受，說明孩子沒有把新老知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系起來。還沒有抓住這個(gè)模塊的核心，如果能把多個(gè)問題歸結(jié)成一個(gè)問題就說明孩子開竅了。水平越高，解題時(shí)候看問題看的越通透，而不是停留在表面。

 低年級(jí)給孩子講題的時(shí)候，我一般說這道題目是哪個(gè)知識(shí)點(diǎn)的題目，我們?nèi)绾斡脤?duì)應(yīng)的方法做出來，這個(gè)是基礎(chǔ)。到了高年級(jí)，我一般會(huì)說這個(gè)題目要從哪個(gè)角度思考，比如簡化、歸納、整體考慮、找不變量和變量、極限思想、數(shù)形結(jié)合、對(duì)稱、對(duì)應(yīng)、遞推等，這些思想不是哪個(gè)模塊特有的，幾乎所有的模塊都會(huì)用到。

 如果一個(gè)家長說小學(xué)奧數(shù)就是記套路做題，那么這個(gè)家長肯定是低年級(jí)家長或者沒學(xué)明白的高年級(jí)家長（如果能隨著年齡增長解決小奧，那么理論上所有家長都會(huì)5星題）。如果一個(gè)老師只會(huì)教學(xué)生知識(shí)點(diǎn)，編口訣，沒有引導(dǎo)和拔高，那么這就不是一個(gè)合格的老師，因?yàn)橛龅經(jīng)]講過的題學(xué)生將來肯定還是不會(huì)。

 于是這就涉及到一個(gè)問題，就是低年級(jí)和高年級(jí)要用不同學(xué)習(xí)方法，而方法取決不同階段的特點(diǎn)。3年級(jí)知識(shí)點(diǎn)簡單而基礎(chǔ)，有不少孩子跨級(jí)學(xué)習(xí)都沒問題，這個(gè)階段知識(shí)點(diǎn)還是較為獨(dú)立，比如孩子一看就知道是和差倍或者等差數(shù)列的題，那么直接就用步驟去套也能做出來。

 但從4年級(jí)開始，很多題目（特別是杯賽）就不太容易看出是哪個(gè)模塊，或者需要用到多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，之前的方法就不適用了，這樣就是一些孩子從四年級(jí)開始吃力的原因。如果都不知道這道題從哪里入手，那么也絕對(duì)沒可能做出來。這就是為什么很多比賽都是填空題的原因，答案對(duì)了，過程就不會(huì)有太大的問題，也就沒必要考察。而課內(nèi)要嚴(yán)格規(guī)范步驟是因?yàn)椴荒苡刑嗟臐M分。

 02應(yīng)對(duì)

 那么如何解決這個(gè)問題呢，方法就是低年級(jí)打好基礎(chǔ)，高年級(jí)學(xué)習(xí)注意知識(shí)點(diǎn)承上啟下，邊學(xué)習(xí)邊總結(jié)。 這好像是一句廢話，但越深?yuàn)W的事情往往道理越簡單，現(xiàn)在進(jìn)度都拉的這么快，家長不一定有深耕慢走的從容心態(tài)。反正報(bào)了班就跟機(jī)構(gòu)走，這次沒學(xué)會(huì)反正將來還是講到這個(gè)模塊，我認(rèn)為這種心態(tài)是比較危險(xiǎn)的。

 除非是專門的知識(shí)點(diǎn)串講課程，一般機(jī)構(gòu)是不會(huì)花費(fèi)太多的時(shí)間在舊知識(shí)點(diǎn)上，因?yàn)檎n時(shí)的限制講新知識(shí)點(diǎn)還可能拖堂，更別說話時(shí)間在復(fù)習(xí)上，但是，我個(gè)人認(rèn)為：“復(fù)習(xí)比預(yù)習(xí)更重要”，不是說不用預(yù)習(xí)，而是說時(shí)間上如果不能兼顧，那么最好先復(fù)習(xí)舊知識(shí)點(diǎn)，把錯(cuò)題都解決掉，比似懂非懂預(yù)習(xí)新知識(shí)點(diǎn)更有效果。

 在新學(xué)習(xí)每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)前，把這個(gè)模塊之前學(xué)過的所有的知識(shí)點(diǎn)全梳理一遍，不要覺得這個(gè)時(shí)間長，如果前面學(xué)的扎實(shí)，這個(gè)梳理可能十幾分鐘就結(jié)束了，也可以做幾道題練練手，確認(rèn)把這個(gè)解決后再上新的內(nèi)容。

 打通思路、做好了鋪墊以后，很多內(nèi)容再學(xué)習(xí)就會(huì)沒有那么難。如果發(fā)現(xiàn)孩子做的不好，就不要學(xué)習(xí)新的內(nèi)容，因?yàn)槔系亩紱]解決，新的也是學(xué)的一知半解，等將來回頭學(xué)就是“夾生飯”，一旦夾生了還不如一張白紙。因?yàn)樵诮陶_的方法之前，還要首先糾正錯(cuò)誤的思想，這個(gè)更難。

 這樣也可以很好解決遺忘的問題，因?yàn)槊看螌W(xué)習(xí)都會(huì)重復(fù)一遍，可以有效地在孩子大腦內(nèi)形成一個(gè)知識(shí)網(wǎng)，新知識(shí)相當(dāng)于在這個(gè)網(wǎng)的邊緣進(jìn)行了擴(kuò)展，如果一開始網(wǎng)上都是漏洞，后期不停打補(bǔ)丁，這個(gè)網(wǎng)早晚會(huì)不堪重負(fù)。

 但是，這能力對(duì)于家長的要求有一點(diǎn)高，因?yàn)槟阕约耗X海里要有這張網(wǎng)，不是科班出身，需要自己下功夫研究，在《雙減時(shí)代家長自雞奧數(shù)心得》里面，我已經(jīng)推薦了相關(guān)的老師，如果你的時(shí)間有限，那么只看王進(jìn)平老師的“七大模塊”就可以了。

 這個(gè)課程是針對(duì)北京小升初的知識(shí)點(diǎn)串講，難度在3-4星左右，精華的地方不是題目，而是王老師對(duì)于各模塊知識(shí)點(diǎn)的梳理，是我們目前發(fā)現(xiàn)講的最好的（沒有之一），又因?yàn)樗坝忻３踔械娜谓探?jīng)歷，所以對(duì)于小初知識(shí)點(diǎn)的銜接也有幫助。

 另外學(xué)習(xí)時(shí)候也要記筆記整理，我覺得用便利貼最方便，首先，因?yàn)槁牭恼n太多，本來記了這個(gè)老師的想法，也許聽了另外一個(gè)老師后發(fā)現(xiàn)方法也很好，那么就可以把之前的替換掉，或者貼在旁邊對(duì)比。自己有想法也可以補(bǔ)充在旁邊，便利貼可以方便的移動(dòng)和排版。另外，家長也有自己的工作和社交，碎片時(shí)間內(nèi)的靈感也可以隨手寫下來，等找時(shí)間集中整理。家長整理得越多，那么發(fā)現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)通用性就更多，反而給孩子講的更少。能用越短的話說清楚一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，水平越高。

 這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)同樣適用于老師，名師是不會(huì)受限于講義的，基本上來就解題的理念，通用的方法過的很快，但是在重要的地方講的比較細(xì)。等到做題的時(shí)候只講共性和特性，其他一帶而過。聽了這種老師的課程，直接會(huì)了一類題，而不是幾道題。

 那么這個(gè)講義上要整理哪些內(nèi)容呢，我覺得主要包括以下幾個(gè)方面：首先是家長先記錄上和以前知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系，記錄關(guān)鍵點(diǎn)即可。其次記錄這一講的核心思想，一般不會(huì)超過一頁便利貼。其次要反思自己的做題過程是如何思考的，遇到哪些障礙。再根據(jù)對(duì)孩子的了解預(yù)測出她在思考過程中會(huì)遇到哪些障礙，怎樣才會(huì)使學(xué)生更容易接受。

 我們要給他提供足夠細(xì)化的內(nèi)容，但是這個(gè)度的拿捏需要把握，不是說你掰開了揉碎了給孩子灌進(jìn)去就可以，而是要讓孩子一步步去探索，孩子發(fā)現(xiàn)夠不著了，那么家長放一兩塊磚墊一下，孩子就跨上去了。難度到了一定程度后，是不會(huì)有人有“興趣”去做題的（要不是為了教孩子我寧愿把時(shí)間放在刷B站）合理的梯度就是讓孩子更能夠接受而已。

 總之就是，既要從老師的角度去講解題目，還要以孩子角度去分析習(xí)題，更要以命題者的角度去拆解題目。我在《四年級(jí)高思導(dǎo)引學(xué)習(xí)心得》中提到，復(fù)雜的問題簡單化、簡單的問題復(fù)雜化，在小低年級(jí)更多是簡單問題復(fù)雜化，而在小高更多的是復(fù)雜問題簡單化。

 04模塊

 這部分內(nèi)容主要是每個(gè)模塊的核心思想和解題思路，以及在低年級(jí)和高年級(jí)的考察側(cè)重點(diǎn)。屬于我自己聽課的感受，因?yàn)槲沂且粋€(gè)普通家長，所以和專業(yè)人士的有差別，但是實(shí)際執(zhí)行下來感覺至少我家孩子是聽得懂，所以和大家分享一下：

 計(jì)算模塊：小奧公認(rèn)難度最低的，考試中都是送分題，小奧除了單獨(dú)的計(jì)算題外，其他模塊對(duì)計(jì)算要求其實(shí)很低，雖然巧算技巧比較重要，但是有理數(shù)硬算的基本功更重要。巧算的核心思想就是“抵消”和“湊整”。平方表建議背一下，大九九乘法表建議背，對(duì)于將來的數(shù)論有好處。

 應(yīng)用題模塊：低年級(jí)的重點(diǎn)內(nèi)容（主要考閱讀理解），與小學(xué)課內(nèi)聯(lián)系最大的模塊。雞兔同籠、年齡、和差倍分、盈虧、間隔、工程、水箱、濃度、經(jīng)濟(jì)問題這些看似復(fù)雜，但本質(zhì)上都是關(guān)于“份數(shù)”思想的問題，解題關(guān)鍵在于找到不變量（一般是和或者差），量率對(duì)應(yīng)上即可。

 算術(shù)法低年級(jí)靠畫圖，高年級(jí)靠比例。全套導(dǎo)引里面我就沒遇到過只能用方程的小奧應(yīng)用題，因?yàn)樾W考察的是“超?！?，而不是“超前”，講究的的是一個(gè)技巧性。幾乎所有的應(yīng)用題都有多種算術(shù)解法，但多重解法本質(zhì)上就是一種解法；幾乎所有的應(yīng)用題都能用方程做，但我認(rèn)為只是列方程的統(tǒng)一，而不是思維的統(tǒng)一。

 關(guān)于算術(shù)法和方程解題方法一直有爭議，我只說我的一家之言，方程可以學(xué)，但是優(yōu)先算術(shù)法，因?yàn)榈湍昙?jí)直接學(xué)習(xí)方程其實(shí)一點(diǎn)也不必算術(shù)法簡單，而且這個(gè)解題思路對(duì)于其他知識(shí)點(diǎn)是有幫助的。如果直接跳過算術(shù)法學(xué)了方程，那么大概率行程會(huì)卡住。因?yàn)榉匠桃话愫茈y解決復(fù)雜的行程，這個(gè)我后面會(huì)細(xì)講。

 不過，如果時(shí)間有限，或者孩子實(shí)在理解不了，也不必花太多時(shí)間在算術(shù)解法上，因?yàn)檫@部分內(nèi)容是低年級(jí)的重點(diǎn)而非高年級(jí)的重點(diǎn)，想鍛煉思維還有其他題目可以練。很多行程和工程問題都能用雞兔同籠方法做，但是一般也不這么做，因?yàn)闆]必要。

 行程模塊：行程是一個(gè)非常有意思的模塊，本質(zhì)上是應(yīng)用題，核心思路就是“路程=速度*時(shí)間”一個(gè)公式，但是變化太多了，速度變化就是流水行船和變速問題，時(shí)間變化就是間隔發(fā)車和走走停停，路程變化的就是往返和環(huán)形跑道，此外再加上、鐘表、中途換油、轉(zhuǎn)向、往返接送這些復(fù)雜的過程，幾乎難度沒有上限。

四、五導(dǎo)引里面的行程模塊難度都非常高，是我們做的最差的章節(jié)之一，這里我有幾個(gè)學(xué)習(xí)心得和大家分享。

 第一、對(duì)于所有人都難，除非你將來肯定不會(huì)遇到，還是要想辦法解決。解決一個(gè)問題最好的時(shí)機(jī)就是第一次遇到的時(shí)候，如果中途放棄了，后面重新拿起來還要重新來一遍，知識(shí)點(diǎn)沒有積累，但是畏難情緒會(huì)更多。

第二、行程本質(zhì)上是高年級(jí)的應(yīng)同題，所以低年級(jí)的和差倍、比例的基本功要好，方程可以降維其他應(yīng)用題，但是無法降維行程。如果應(yīng)用題基礎(chǔ)不好最好去補(bǔ)一下，否則就算硬上也會(huì)夾生。

第三、畫圖非常重要。在時(shí)間有限的情況下，可以專門訓(xùn)練畫圖而不做題。這個(gè)不是跟著感覺畫，而是說這個(gè)路程你要畫多長，和其他路線的比例關(guān)系是多少要差不多。等把圖畫明白以后，再練習(xí)做題也不晚?；旧现灰獔D會(huì)畫了，這個(gè)題已經(jīng)會(huì)做一半了。

 幾何模塊：低年級(jí)的幾何主要靠割補(bǔ)和平移，這個(gè)基本功一定要打好，一半模型和等高模型要熟練應(yīng)用，輔助線不是“靈光一現(xiàn)”，而是要做出這道題目必須要有，比如碰到一個(gè)不規(guī)則圖形必須要分割成規(guī)則圖形，亦或能構(gòu)造出平行線的方法只有1種，那么必然要連起來。高年級(jí)幾何主要是比例衍生出來的各種模型，要理解而不是背，否則實(shí)際做題中很難看出來。

 計(jì)數(shù)模塊：低年級(jí)計(jì)數(shù)的枚舉和樹形圖非常重要，因?yàn)楹竺娴募映嗽砗团帕薪M合完全就是樹形圖的一個(gè)簡單表達(dá)形式。如果低年級(jí)枚舉不過關(guān)，高年級(jí)學(xué)的方法越多越不知道要用哪種方法，會(huì)的方法越多錯(cuò)的越多。

 如果高年級(jí)的知識(shí)點(diǎn)不會(huì)，那么踏踏實(shí)實(shí)把枚舉和樹形圖畫一下（如果題目的數(shù)字太大可以簡化處理），然后找規(guī)律。加乘原理和樹形圖的關(guān)系一定要理解并靈活運(yùn)用，切不可直接就上排列組合，也不要刷太多的題，因?yàn)橛须y度的計(jì)數(shù)題目都是分類討論，應(yīng)該按照什么原則分類，如何分步，如何去除掉重復(fù)的情況才能清楚。

 此外每一個(gè)題目都嘗試一下多個(gè)解法，枚舉、不同的分類方法、直接求符合條件的數(shù)量，或者總數(shù)減去不滿足的數(shù)量。前面基礎(chǔ)打得越扎實(shí)，后面起飛才越快。計(jì)數(shù)問題花1小時(shí)完全弄明白1道題，比做10道題但不知道為什么效果還好。

 組合模塊：最難的模塊之一，難就難在套路不明顯，基本上難的組合題目，你沒見過幾乎肯定不會(huì)，見過的也不一定還能做對(duì)。機(jī)構(gòu)老師也就是讓學(xué)生背題目和套路，其實(shí)組合和接下來的數(shù)論差不多，核心的內(nèi)容低年級(jí)幾乎不涉及，主要集中在高年級(jí)，說白了這兩種就是“吃天賦”，也是檢驗(yàn)孩子智商最有效的途徑。

 但學(xué)習(xí)還是有方法的，基本的幾種類型肯定要熟悉原理和思路，構(gòu)造論證多做題吧，如果遇到復(fù)雜的內(nèi)容時(shí)，可以先將條件進(jìn)行簡化，然后一步步推導(dǎo)，具體可以參考《四年級(jí)高思導(dǎo)引學(xué)習(xí)心得》里面組合的內(nèi)容。

 數(shù)論模塊：唯一一個(gè)只在高年級(jí)的模塊，基本知識(shí)點(diǎn)就是那幾個(gè)，但難度沒有上限，但是導(dǎo)引里面的數(shù)論題難度其實(shí)并不高，能夠熟練運(yùn)用分解質(zhì)因數(shù)，余數(shù)（整除）和代數(shù)（位值）分析，基本上問題不大。如果想要更加深入就可能已經(jīng)超越了小奧的范圍，這個(gè)投入產(chǎn)出是否合適就需要家長自己衡量。