2015
今天給大家介紹的是來自新加坡SAP出版社的數學應用題練習冊，101 Challenging Maths Word Problems《101道挑戰(zhàn)應用題》，共6冊，對應小學1~6年級。
新加坡數學的一大特點是廣泛采用著名的“具象化模型（CPA教學法）”講解數學概念和解題思路，極大地降低了孩子理解抽象數學概念的難度。借助新加坡數學的學習方式，可以補上我們孩子普遍欠缺的 “講解、理解數學概念和解題思路”這一課。
這張圖用一個簡單的例子體現了新加坡數學的“三步教學法”，也叫“CPA教學法”。從具象化的生活實例出發(fā)（objects），建立形象化的模型（picture），然后再抽象到數字、符號、公式、運算（abstract）。
關于新加坡數學的教材和練習冊，我們介紹過不少。而今天介紹的這套書，是針對“應用題”的專項訓練。為什么孩子需要練習數學應用題？有位專家學者這樣解釋：
解答應用題一直是許多孩子做數學題的“心頭大患”。它不像選擇題、計算題啥的，分值不高，有時甚至還可以蒙一下。但應用題不一樣，不會就是不會，一步想岔了，后面的解題步驟就全錯了。而且應用題的分值往往比較高，一步做錯丟分很大！
應用題是對孩子的綜合檢測：既要綜合應用小學數學中的概念性質、法則、公式、數量關系和解題方法等zui基本的知識，還要具有分析、綜合、判斷、推理的能力。
這套書匹配新加坡教育部數學大綱，體現了新加坡數學的核心理念。在內容覆蓋和布局編排上，也回避了“題海戰(zhàn)術”“知識點連貫性差”的短板，具體體現在：
內容難度螺旋形上升，爬樓式穩(wěn)步前進，不會忘東忘西
同一知識點也用不同題型訓練，拒絕“題海戰(zhàn)術”
知識點和場景應用覆蓋全面，搞定小學數學應用題
這套書一共分為六個年級，匹配國內學校1-6年級學制。
一、“中西合璧”的新加坡數學，其實挺牛
數學好的過來人大多知道，數學這門學科，在學習方法上比其他科目的要求高得多，不能靠蠻力硬拼。高中畢業(yè)前，孩子要學12年數學，如果方法不對，將是非常痛苦而漫長的一條路。
痛苦的原因，有資深數學老師總結了三點：
學校不夠，家庭來補。新加坡數學，就是我們可以借助的一個工具。
1、新加坡數學，其實還挺牛！
世界范圍內，新加坡的數學、科學教育算是“厲害級”的。
根據獨立的教育研究機構“國際教育成就評價協(xié)會”（IEA）公布的“國際數學和科學評測”（TIMSS）結果，新加坡中小學生在數學和科學科目的測試中排名在全球都名列前矛，經常處于第一、第二的位置。
成績一直這么好，使得新加坡的數學教學方法引起了全世界的興趣（可汗學院還開了新加坡數學課）。目前，全世界已有超過40個國家及地區(qū)在采用新加坡數學教材。
全球數學教育，美國、新加坡、中國都很有代表性。三國數學教育有啥差異，有位一線老師這么總結，我感覺很形象！
中低年級的美國數學課程在動手實踐， 探索方面較為注重，而在抽象原理方面沒有更多的強調。在中國的數學學習中，對頭腦計算非常重視 （mental practice），而西方教學更多地是調查探索（investigate）甚至試圖把抽象化的過程以實際現象來表現，有時候會覺得本來很簡單的抽象邏輯問題被復雜的具體化了。
在新加坡數學中，這兩種不同文化下數學的學習得到了較好的平衡，新加坡數學要求對抽象概念的具體化表現，但是是模塊化的表現。
比如問：三個蘋果和五個橘子，一起是多少個水果？
中國直接寫數字 5+3 =8；
美國會畫出三個蘋果，再畫出5個橘子，然后拿出幾個橘子形狀的小塑料塊，和幾個蘋果形狀的小塑料塊，解釋橘子和蘋果都是水果的概念（這樣相加才有意義），再得出結論。
新加坡數學中會把蘋果和橘子用同樣的方塊（模塊）來表示， 這其中有畫出模塊的過程， 但是由于是用同樣的模塊來表達，在一定成程度上抽象化了具體的橘子蘋果，把其僅僅作為一個存在的實體單元，讓學生不用分心于“蘋果和橘子并不是一種水果”的困擾， 而更注重了數學學科的數字邏輯的訓練。
看來，新加坡數學真的是架起了“中國數學”和“美國數學”之間的橋梁。
2、比中國數學教育多了兩步：CPA三步法，從具體走到抽象！
新加坡數學的學習內容和其它國家一樣，數、加減乘除、代數、幾何 ... 差別在于新加坡數學采用了 “建構式”的教學法或學習法 - “CPA教學法”，也叫“三步教學法”。
這種教學方法，由美國心理學家Jerome Bruner在上個世紀60年代zui先提出。他經過觀察發(fā)現，小孩子學數學，經歷三個階段，認知效果zui好：
C - Concrete 看到具體的事物
P - Pictorial 把它用圖形模塊表達出來
A - Abstract 再用數字、符號、公式進行抽象的總結
比起中國數學直接過度到第三步公式計算（2+1=3），新加坡數學的講解過程多了第一、第二步。這樣的過程看起來緩慢，但卻能讓學生們對數學的認知牢固得多。
在新加坡教數學逾10年之久的黃衛(wèi)民老師說：
新加坡的數學體系是建構式的，建立在三個過程，其中除了我們以往在數學中接觸zui多的第三步，即以規(guī)范的數學符號來解決問題（“abstract”）以外，前兩個過程往往為人所忽略：
第一步是從自然界、真實世界里去獲得數學（“concrete”）。孩子在小學階段，或者剛剛初識數學元素時，首先是探究數學源自哪里，然后很自然地就搬到手上來運用。
第二步，他們會把手上這些自然的、混沌的數學現象，包括數字和概念，化成圖形（"pictorial")。圖形是很簡單的，比如說把一個人化成一個方塊，或者說一個人的年齡也可以具象化成方塊，亦或者將三個橙子和三個蘋果，化成不同顏色的方塊。
比如，認6以上數字，先看6條魚、7只雞蛋、8個紐扣 ... 魚、雞蛋、紐扣都是生活中具體的事物（concrete），然后再抽象一些，用“小方塊圖形（模塊）”來代替魚、雞蛋、紐扣 ...（pictorial），zui后再過度到抽象的數字公式表達。
這，就是很有效的“數感”啟蒙！
3、通過“建模”解決問題，訓練數學思維，很強大！
CPA教學法三步中的第二步pictorial - “圖形建模 Model Drawing”，尤其是特色中的特色。
什么是數學模型法？大家點擊放大看下面這張圖，就能有初步感受。左邊是模型解題法，右邊是我們熟悉的方程式解題法 ...
小時候的應用題，用長大后學的“抽象”代數方程解很方便。但學方程之前，孩子完全可以用更加鍛煉數學思維的“模型”法去解決。
看這個“玻璃球”例子，很能說明新加坡數學在訓練數學思維上的思路，非常具有代表性 ...
兩個小朋友，Susan和Ivy玩玻璃球，Susan擁有的玻璃球數量是Ivy的3倍，Ivy又買了10個玻璃球后，她的數量變成Susan的兩倍，問她們原來各有幾個玻璃球？
新加坡數學用“模型”法，教孩子的一種做法是：
第一步：畫出一個單元格代表Ivy的玻璃球數量，三個單元格代表Susan的數量 ...
第二步，畫出買了10個玻璃球之后的比例關系，Susan沒有變化，Ivy是她的2倍。
第三步，統(tǒng)一標準量，Ivy左側和右側，都要轉化為統(tǒng)一的矩形格。
第四步，比較一下，Ivy買了10個玻璃球之后，增加了5個小矩形格。
第五步，計算得出每個小矩形格代表的數量是2個。所以，Susan原來有6個，Ivy有2個。
這樣一道題，雖然計算起來很簡單，但是這個畫圖建模的思維過程其實一點都不簡單。
新加坡的孩子從小學一二年級開始，就會接觸到這種思維方法。因此，他們的解題思路，和我們真的不太一樣 ...
用本周的這套SAP101舉例，比如來自一年級的這道"加法題"：
Tom有18個橙子，Mary有17個橙子，問他們共有幾個橙子？
盡管題目簡單，答案也提供了兩種方法：
方法1：直接用圖例展示，直觀好理解；
方法2：用“拆整相加”法，培養(yǎng)數感，同時減小孩子面對復雜數字時的心里壓力。
又比如同樣來自一年級的這套題：
一個燒水壺的價格是78塊，一個攪拌機比燒水壺貴22塊，一個面包機的價格是攪拌機的一半，問這三樣電器一共多少錢？
首先給出直觀的建模圖，然后是每一步運算的詳細步驟，旁邊還有計算方法。
可見新加坡數學zui大的特點，就是用圖形模型代替抽象的數字和問題，讓孩子們直觀地理解數學概念和算式，而不是小小年紀就被動地接受冷冰冰的公式和定義，這不僅有利于培養(yǎng)孩子的數學思維，更是避免他們過早陷入對數學的無限焦慮。
這一點恰好符合了皮亞杰理論，小學生還處于認知發(fā)展的具體運算階段，說白了就是形象思維發(fā)達而抽象邏輯思維還未形成。Model Drawing 所具有的形象性，不僅能解題，還提高了學生思維邏輯和解決問題的能力。
二、為什么用這套書練應用題？
這套SAP 101 根據《新加坡數學大綱》編寫，練習冊共六本，分別對應1-6年級，每一冊都包含101道數學應用題和詳細解答。
上文我們說了新加坡數學的共同點，這套SAP 101在內容和編排上還有這三個推薦理由：
1、難度螺旋形上升，不會忘東忘西，爬樓式穩(wěn)步前進
這套SAP 101內容難度上是螺旋形上升的，每一課都是爬樓式的學習穩(wěn)步前進，避免忘東忘西的情況。
舉個簡單的例子，在Book 2的練習中，已經出現了“貨幣”的主題。
不過這時候的貨幣是結合簡單的四則運算來進行的，同時剛好鞏固孩子在Book 1中學到的知識內容。
接著關于“貨幣”的知識點，在Book 3上又出現了一次，Book 4上又出現了兩次，每次難度逐漸提升。
Book 3引入了小數和不同單位換算。
Book 4引入分數。
這樣安排，等于孩子每學一段時間就鞏固一遍，基本學到第二次就能夠舉一反三，剩下的只要把特定的幾種題型稍微查漏補缺一番就行了。
2、拒絕“題海戰(zhàn)術”，相同知識點也用不同的題型來訓練
同樣一個知識點，絕不會反復停留在同一類題目，而是不斷變化題型，遞進難度，讓“刷題”這件事變得高效。
就拿這套SAP 101來說，1年級第1頁的練習來說，3道題目都是為了練習“100以內加法”這個知識點，但類型不重復，難度有所遞增。
第一題：
Tom有18個橙子，Mary有17個橙子，問他們共有幾個橙子？
很直觀，兩個數字直接加起來就OK。
第二題：
Peter有24張貼貼紙，Jane比他多9張，問他們共有幾張貼貼紙？
難度比第一題遞增了一點點，不是簡單地把兩個數字加起來就完事，孩子需要多想一步。
第三題：
Adam先生上午賣了24個雞蛋，下午賣了10個，他手頭還剩25個，問Adam先生一開始有幾個雞蛋？
雖然難度和第二題差不多，但題型有了小變化，孩子又有了新的挑戰(zhàn)。
三道題目下來，知識點鞏固了，不同的題型也都能接觸到。
3、知識點和場景應用覆蓋全面，搞定小學數學應用題
應用題，考核的是數學知識點在各種場景下的應用。比如同樣是“加法”這個知識點，如果是一個表達式“7+8”，孩子很容易給出答案。但放到應用題，它可能會“隱藏”在各種場景中，難度就增大了：
這套書就是訓練孩子搞定各種場景的應用題。并且它涉及小學階段所有的數學知識點：四則運算，長度、重量、金錢、時間問題，小數、分數、柵欄包圍問題，速率、百分數、平面幾何問題等等。按照年級來劃分，將每個年級需要掌握的數學知識點和對應的應用場景融合在一起。
我們來瀏覽一下每個年級的大致內容：
一年級，需要掌握的是四則運算的綜合運用能力，練習冊就圍繞這部分內容展開。下圖是1年級的練習目錄，運算的數字范圍是100以內。
一年級學習的知識點其實就是這三個：
a. 單獨的加減乘除計算
b. 兩種運算的融合
c. 有兩步提問的應用題
從單獨的加減乘除開始。先是加法練習：
接著是單個的減法應用題。
接下來還有單個的乘除法應用題。然后是兩種運算的融合。
比如下面兩題就運用到“加法”和“減法”兩種運算解題。
而解下面這些題則要運用“減法”和“乘法”。
到后面是有兩步提問的應用題，第一個問題一般比較簡單，有時候第一個問題還是第二個問題解題的基礎。這樣就能給孩子一個循序漸進的解題思路。
比如下面第100題，得先計算出碗的價格，然后才能計算出碗和盤子一起的價格，這就是分步考慮。
二年級，計算的數字范圍擴大到1000以內，并且應用題開始細分場景。一共細分了6個不同的具體場景：長度、質量、分數、體積、錢和時間。
這是關于“重量”的練習題。
這是分數應用題，有的題目直接顯示分數，有的要通過閱讀理解自己算出來。
這是關于“體積”的計算，要求算出3個集裝箱中有多少升洗滌劑。
三年級，應用題開始出現四則運算的綜合應用，出現面積和周長等幾何問題。
解應用題需要綜合運用四則運算。
開始有計算面積周長的應用題。
四年級，應用題的細分場景趨于集中，難度加深。
這些是四年級的分數應用題。
五年級，應用題比較側重于測量、比例、幾何，以及它們的結合。
這是比例和幾何結合的問題。
這是比例和分數結合的問題。
5年級幾何題的比例增大。
六年級，應用題會出現距離、速度和時間融合在一起的題目。
來看一些例子：
可見，每個年級每個知識點會在不同場景、不同類型和難度的應用題型中進行訓練鞏固，掌握了這些類型的題目，小學階段的應用題對孩子來說就是小菜一碟了。
三、做題時還積累英語數學表達
新加坡數學的名氣非常大，但它是英文原版，這對原版娃來說不是什么問題，但英語普娃能否搞得定？
我們認為，只要有一定英文基礎，題目能看得懂七八成，這套練習冊是可以用下來的。
1、數學題里的英語表述其實不難
很多題目，可能含有一些看不懂的單詞，但完全不影響答題。
比如下面這道題目里，“paperclips”是什么孩子可能不知道，但只要能猜到是“一樣東西”就OK。
這就跟閱讀理解一樣，不需要每個單詞都認識，但根據上下文，猜個大概的能力需要有。
2、幫助積累英語的數學表達
在練習過程中，孩子會學到很多關鍵詞的表達，比如刷過下面這道題后，孩子對“in the end”,“at first”這些常用表達的意義理解就會深刻很多。
也能慢慢地積累更多的詞匯，比如可以從下面這道題中學會“throw away”、“rotten”等單詞、詞組。
尤其是將來有出國留學打算的孩子，英語原版習題練習很有必要，數學考試對咱中國孩子來說不算難點，但往往容易在題目理解上丟分。
一開始接觸全英文的各科知識，的確回很大的挑戰(zhàn)，但反過來，這個“坎”同樣促進孩子英語水平的迅速提高。
四、適合年齡&分級內頁
1、這套書適合小學階段的孩子使用
這套新加坡數學應用題練習冊《101 Challenging Maths Word Problems》（101道挑戰(zhàn)應用題），共6冊，對應小學1~6年級。
大家在選購時可以參照文末的內頁，比較難度來購買。
2、比題目還要厚的答案部分
每一本書，答案的部分比題目還要厚。下圖的左部分是題目，右部分是答案。
因為每一道題目，書中都給出了圖文并茂、建模畫圖、分步解答、甚至有多種解法的答案，非常詳盡，讓孩子既能理解學透，還能舉一反三。
3、分冊內頁展示
一年級
題目樣頁：
答案樣頁：
二年級
題目樣頁：
答案樣頁：
三年級
題目樣頁：
答案樣頁：
四年級
題目樣頁：
答案樣頁：
五年級
題目樣頁：
答案樣頁：
六年級
題目樣頁：
答案樣頁：
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