說說對中學數學競賽的淺見

（太長，慎讀）本文對中學數學競賽不做全面探討，只說說目前我的一些看法。沒有啥速成的東西，只有大局觀的內容，看完后不能指望能得到立竿見影的方法。我的認識也在不斷變化，一年后恐怕又有很多不同，到時候再補充吧。

按理說我這個水平來說中學數學競賽，是非常勉強的。雖然當年參加競賽也有不少收獲，高中數學物理都能在省里拿一等獎，但畢竟沖不出省，在行家面前難免露怯。究其原因，還是小鎮(zhèn)做題家的出身，沒有大局觀，訓練不系統(tǒng)。不過好在大學以后受到了了較為系統(tǒng)的數學訓練，后來在網絡時代又獲得幾乎無窮電子書，大大拓寬了視野，估摸水平和大部分當年能參加國家集訓隊的比也不落下風了。最近兩年一直在考慮雞娃數學競賽的問題，又回頭看了一些中學數學競賽的書籍和網上討論，憋了兩三年后終于覺得能粗淺談談對中學數學競賽的看法了。不光是經驗，還有很多教訓，說些掏心窩子的話。

如果非要用一句話來總結經驗教訓的話，那就是： 中學數學競賽如果要深入搞，必須由有大學數學乃至更高視野的人來指導，否則很容易效率低下，甚至走火入魔。

首先要明確的是搞中學數學競賽，目的到底是啥？是為了高考加分（不清楚現在是否還有加分了，就算有也不會很多吧），保送，還是純粹為了興趣，或者為了提升數學或者一般性的邏輯思維能力。我當年也是糊里糊涂的，小學參加了競賽成績還湊合，但是覺得有些無聊，到了初中就不想參加，后來被老師督促著參加，覺得有意思了，就一直堅持下去了。雖然并沒有多少直接收益，但是對增強信心、提高大學數學學習效率還是有一定幫助的。參加競賽本身的效率不高，因為學習很不系統(tǒng)，學校老師也不具備大學數學視野。如果我能穿越回去指導當年的我，進國家集訓隊應該有較大把握，即便不能進最后的幾人國家隊。這就是為啥奧賽金牌多出自那些名牌中學的原因。有老師能提供系統(tǒng)資料按規(guī)律學習，和大多數時間自己找資料自學，天壤之別。

我個人覺得靠數學競賽保送好學校，對大多數人而言可能并不劃算，機會太少，付出太多。應該抱著參加數學競賽提升數學思維能力的目的，如果能取得好成績乃至保送，當然更好了。數學能力提升，是終生受益的。參加數學競賽需要花費大量時間，同樣的時間用來提高高考成績很可能更合算。

參加數學競賽的負面效果不僅僅是花費時間。有一個問題很少為人所注意并重視： 在中學初等數學上過度刷題訓練，會限制甚至鎖死一個人數學能力的上限。這是我上面說深搞競賽必須由高視野的人來指導的重要原因。任何一個人，其數學能力早晚會碰到天花板。有的人初中平面幾何證明題就過不去了，歐拉則是發(fā)現哥德巴赫猜想太難就果斷放棄了。我常常想到底是什么因素決定一個人的上限？原因可能是多方面的。比如思維勤快與否。我不愿運動，跑幾百米就累了，堅持不下去了。但是我知道只要持之以恒，每天多跑點，不用多久我也能跑個五千一萬米下來，一旦突破閾值，跑著不但不累，還很舒服。但是我就是不愿運動。復雜一些的數學題，需要連續(xù)推導，就類似長跑，有些人一聽數學就累，連續(xù)推導就更不愿意，其實這個經過訓練也能堅持下來，甚至在連續(xù)推到中越推導越愉悅，進入良性循環(huán)了。這種情況不是過度刷題，而是刷題太少，其問題容易被發(fā)現并重視。我真正想重點說的是下一種情況。

鎖死一個人數學能力上限還有另一個可能的原因：思維定勢。人類的知識這幾百年大爆炸，在青少年解決的學習內容必然精簡甚至拋棄了很多初等數學的東西。試想在微積分出現以前，高等級學校的大學生都只能在現在看來的初等數學里反復刷題。精簡拋棄的很多東西，就堂而皇之的進入了數學競賽，比如歷史上積累了大量數學家討論研究的平面幾何證明題。一個人的腦容量是有限的，過多的刷初級知識，積攢到了一定小時數后就進入老齡化了，而這些初級知識就固化成了本能，即便學了高級知識，也本能的傾向于使用初級知識而不是高級知識解決問題，或者只會使用初級知識里的思維技巧。清代有個數學家偶然得到了歐洲傳來的幾個級數求和公式，沒有證明，百思不得其解，于是自己花了很多年構造幾何圖形給了巧妙證明。其實這幾個公式不過是泰勒展開的幾個特例而已。這種一題一解的證明再復雜再巧妙，也不如給出通用公式在數學上的意義重大。初等數學的難題刷太多了，不知不覺會讓人形成一題構造一獨特解的思維定勢，而不是尋找一個更廣的更普遍的問題的通用解法。雞兔同籠不會做，其實質是不會列線性方程組的普適方法。說到雞兔同籠，我本人是不贊成用巧妙方法比如抬起一條腿什么的，應該老老實實教列方程解題。列方程解題是標準數學解題三部曲過程：把現實問題精確轉換成數學語言描述，在純數學世界里按數學規(guī)則進行變換，把變換結果映射回現實世界得到問題解。這才是數學的正確打開方式。此前的數數、加減法等是必要的準備工作，在條件允許時應該盡早轉入標準三部曲。雞兔同籠類的競賽題不應將學生困在沒有方程工具而只能靠巧妙方法解決的低水平上，而應該激發(fā)興趣并引導學生學習列方程解題這個高級工具。對其他很多競賽題，都應該有類似認識。  
 

也就是說，數學競賽題大體分兩類，一類是平面幾何證明題類的，其數學本身是個死胡同，不具有發(fā)展性，也沒有多少應用性，只是娛樂加訓練思維；二類是雞兔同籠式，是某種高級數學工具的在初等數學上的投射，競賽應該引導學生較早接觸高級工具。當然，具體到一道題目，可能是多種類型的混合體。  
 

丘成桐主持清華招生錄取，就反對用初等數學的競賽題考學生，而是直接考大學數學，其意圖是中學學有余力的學生，與其刷初等數學題目，不如直接學習大學數學的高級工具。這種觀點有一定道理，但要注意丘也有自身利益考量，而且這種做法也難免引起過度內卷。究竟應該在初等數學停留多久，這個得因人而異。

就雞兔同籠這里再加一段。巧妙方法比如抬起一條腿什么的，也并非完全沒有意義，至少對訓練思維是有用的。還有就是數學家在研究前沿問題時，就像不會列方程的小學生面對雞兔同籠問題一樣，是極度缺少必要工具的，需要這種一題一解的能力。飛機是機器造的，但最早的飛機是手工造的。但是絕大多數人不會研究前沿數學問題，訓練思維能力也有很多替代方式，所以我認為這些類似看似奇技淫巧的東西要慎用，偶爾閑情逸致玩玩可以，搞多了有可能走火入魔。

前些年我在網上下載數學書給自己看，都是高等數學以上的，下了幾千本，草草翻的不少，精讀的不多，好歹對整個現有數學大廈輪廓有了大致了解。這兩年為雞娃下了不少初等數學書籍，有幾套很早出版的初等數學小叢書之類的，光看書名和作者就知道是硬貨。這些書一翻就能體會到作者的超大學數學視野，內容絕不拘泥于解題技巧，而是把一些大學數學的入門東西用中學生能看懂的淺顯語言寫出來。我很感慨當年要能看到這些書，今天就不會只是這般水平了。小鎮(zhèn)做題家的局限就在這了。也許在當地根本沒法買到這些印刷量很小的書籍，而書香世家的父母本身就是大學老師，早早就在書架上擺了這些書，而子女耳濡目染，差距在不知不覺中就拉開了?，F在看這些書當然覺得很簡單，一目十行，一看開頭就知道作者想表達什么，但是細細讀的話仍然有不少收益，更別提中學生了。話說回來，這些書雖然是給中學生看的，但也是基礎相當好的中學生才能費力看懂的。這些書真真切切是在給你提高 內功而不是各種解題技巧的。即便不參加數學競賽，閱讀這些書對提升能力、適應高等數學的學習也是大有幫助的。我打印了幾本，時不時翻翻作為娛樂放松，以后隨著娃長大，還要多打印一些給她翻翻。  
 

什么是大學數學視野？具有大學數學視野的人，俯瞰中學數學競賽，能很清楚知道每道題想考察什么能力，在數學大廈中對應什么東西，哪些重要，哪些不重要。就具體競賽輔導而言，經過一定的研究后，能搞清楚各項知識的學習順序，需要掌握的程度，以及是否有知識點和面的遺漏。更進一步，他能跟你講講到大學后學些什么，跟這些競賽的內容有什么關聯，激發(fā)你的興趣并讓你更好的看清將來的路。這些正是我當年嚴重缺乏的。東西榔頭到處敲，憑興趣這里學一點那里學一點，知識沒有串起來，能否解題很大程度上靠運氣，學習的效率非常低下。人類幾千年了，積累的東西太多了，而個人的生命很短，青少年時期的學習時間就更短了，再聰明的人沒有 外界精準的輔助也是幾乎不可能摸到正途的。高斯可能獨立發(fā)現等差數列求和公式，但是沒聽說誰小時候獨立發(fā)明加減法的?，F在很多名校博士去中學當老師，固然是內卷不好，但是對中學生的發(fā)展大有好處。  
 

中學的數學大綱，是按照青少年的學習年限和一般學習能力，篩選已有數學知識后編排而成的。數學競賽本身就是對這個的打破，具有“原罪”，偏離大綱，搞競賽的時候深度和廣度都不好掌握，學不好的話副作用很大，甚至如上所說能力就鎖死在中學水平，對將來影響很大。有人奧賽是巔峰，有人則只是起點，菲爾茲都不是終點。務必注意奧數畢竟跟奧運會不一樣，后者是人類體育巔峰，而前者只是中學生數學，遠不是巔峰。為了體育巔峰損耗身體也許還有些道理，為了數學競賽而付出較大代價恐怕是很不值得的。處方藥得醫(yī)生開，所以中學數學競賽如果要深入搞得話，一定要由具有大學數學視野的人來指導，這也是本文的一再強調的觀點。

這兩年給娃雞數學的時候，我畫出了兩個圖景。從具體的3只羊3頭牛，到數字3，是用一個數字概括無窮多可能；從3+4=4+3和其他交換等式，到代數a+b=b+a，又是用一個公式概括無窮多個可能；然后上面還有抽象代數如群論，一個代數結構可以概括無窮種代數，等等。這是一個進階圖景。還有就是從加法到乘法再到西格瑪求和再到微積分，另一個圖景。我常常鼓勵娃，學會了這個，就離微積分又近了一步，距離“同少年班水平”又接近了一步。對未知事物的好奇與憧憬的感覺，是一種難以用語言描述的快感。我很清楚的記得剛學圍棋時對圍棋的未知而產生的好奇感，就像跟美女第一次約會的感覺，這種感覺在以后是再也找不到了。學會了一樣東西雖然很讓人滿足，但是隨之而來失去的是無限多種可能性，以及永遠失去那種神秘感后的無限惆悵。前幾年我經常夢見學一本高中數學書，里面的東西竟然很難看懂，這就是以前對高中知識的憧憬感；數學小叢書之類的書，明明是跟大學數學接駁的內容，高中生得費很大力氣才能看懂的書，但是現在看覺得太容易了，只能作為消遣，看的時候精神也振作不起來，好比孫悟空舞關公大刀不趁手，也是無可奈何了。學會了的東西沒法忘了，很多感覺只能寄希望于在夢中重新找到了。

歸巢鳥作于2022年8月2日