一道美國數(shù)學(xué)競賽題的解法與策略

閑來無事，我找了點(diǎn)數(shù)學(xué)競賽題熱身。本來以為小菜一碟，沒想到險些陰溝翻船，晚節(jié)不保。

這是2000年美國10年級（約高一）數(shù)學(xué)競賽第12題：https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php?title=2000_AMC_12_Problems/Problem_12

題：A、M和C是非負(fù)整數(shù)且滿足A+M+C=12。（AMC是美國數(shù)學(xué)競賽的縮寫）。AMC+AM+MC+AC的最大值是多少？（選擇題，五個選項(xiàng)）

很顯然，由于是選擇題，只要給對答案即可。題目中的三個未知數(shù)是完全輪換對稱的，因此第一感就是猜A=M=C=4，代入一算，得到112，選E。秒解。這倒題目的選項(xiàng)還是出得很有良心的，112就是最大的選項(xiàng)，一算出來就百分之百肯定是對的，沒有故意弄個更大的數(shù)來迷惑考生。如果是我參加競賽，肯定毫不猶豫就這樣解決了。

實(shí)際上網(wǎng)頁上解法2就是這個思路：

當(dāng)然出于學(xué)習(xí)目的，應(yīng)該探究一下如果是解答題，如何做出來？很明顯這是一道初等數(shù)學(xué)題，要用“湊”的方法尋求巧妙解法。我二十多年沒有搞中學(xué)數(shù)學(xué)競賽了，猛一看沒看出門道來，沒了耐性，出于惰性，還是馬上祭出了高等數(shù)學(xué)的法寶：）

（出于習(xí)慣用X、Y和Z代替A、M、C三個字母）這個問題是個線性約束條件下的非線性函數(shù)最大值問題（非線性規(guī)劃）。高等數(shù)學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)方法是用約束條件去掉一個未知數(shù)，然后目標(biāo)函數(shù)對各個變量求偏微分，每個偏微分等于0，大致就是解。（嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼f這個解可能是最大值，也可能是最小值，也可能是局部而非全局最大/最小值，二階偏微分有時要用到。不過這個問題由于在正整數(shù)空間，應(yīng)該不會太怪異，先解下去再根據(jù)情況再作分析。）

把Z=12-X-Y代入XYZ+XY+XZ+YZ，整理得到11XY-X2Y-XY2+12X+12Y-X2-Y2（這里X2表示X平方），求這個函數(shù)的最大值，約束條件是X和Y都是非負(fù)整數(shù)，且X+Y<=12。X+Y+Z=12這個條件不用再考慮了。

目標(biāo)函數(shù)對X和Y分別求偏微分，令其等于0，則得到：

11Y-2XY-Y2+12-2X=0 （×）

11X-2XY-X2+12-2Y=0

計(jì)算要時刻注意X和Y必須是完全平等的，即輪換對稱的。比如第一個式子里是11Y，如果第二個式子里是12X，那么一定有計(jì)算錯誤，應(yīng)馬上返回去檢查。

第一個式子減去第二個式子，整理可得：

（X+Y-13)(X-Y)=0

很明顯X+Y-13=0不成立，因?yàn)槟且馕吨鳽=-1。故X-Y=0，X=Y。同理可以證明Y=Z（用X=12-Y-Z代入目標(biāo)函數(shù)消去X，后面的解法完全一樣），所以X=Y=Z=4?；蛘邔=Y代入上面（×）式，可以解出X=Y=4，故Z=4。

（其實(shí)還需要討論二階偏微分，才能確定是最大還是最小值。另外由于只有一個解，存在多個極大值的可能性也基本沒有了。大致如此，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)谋硎鲈诙嘣⒎e分教材里能找到，不過對這道題就顯得牛刀殺雞了，我懶得去找了。）

這個高等數(shù)學(xué)的解法，求解計(jì)算有些繁瑣，但完全不用動腦子，機(jī)械算下去就是了。由于很久沒有搞這樣的計(jì)算了，我算得小心翼翼，一步一驗(yàn)算，花了大約10分鐘完成，比預(yù)想的多了一倍。

作為完整性補(bǔ)充，這里給出一個初等數(shù)學(xué)解法，也就是網(wǎng)頁上的解法1:

事后諸葛亮看這個技巧并不高深，應(yīng)該能想到。只不過我已經(jīng)多年習(xí)慣用手頭有的高級工具通用方法解答問題了，針對每個問題構(gòu)造不同的初等方法，很累人，不太愿意用了。這就好比會了二元一次方程，誰還用湊的方法去解雞兔同籠問題？：）

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