兒童學(xué)會(huì)加減法前必備的六個(gè)數(shù)量概念

人類的思維演化，具有“不可逆”的過(guò)程，一旦進(jìn)化了，就不會(huì)在退到矇昧?xí)r代去思考問(wèn)題。所以，對(duì)于成人來(lái)講，孩子就是另一種他們不可理解的生物，為什么理解“12345678910”就這么費(fèi)勁呢？雖然自己也同樣經(jīng)歷過(guò)認(rèn)識(shí)數(shù)字的過(guò)程，但是成人早就忘記自己的思維過(guò)程是怎樣的了，在元認(rèn)知方面（思考自己思考過(guò)程的能力）也并非大部分人長(zhǎng)項(xiàng)。

今天我要來(lái)講講孩子是怎么理解“數(shù)量”的，這個(gè)過(guò)程都需要經(jīng)歷什么，要掌握哪些概念，幫家長(zhǎng)來(lái)分析一下，應(yīng)該如何做數(shù)學(xué)啟蒙。

第一個(gè)概念：表征

最初孩子從日常生活中接觸到數(shù)字，他們從三塊糖，三個(gè)碗，三級(jí)臺(tái)階中，開(kāi)始理解事物具有某種共性。他們開(kāi)始理解“更多”的意義，如果經(jīng)常性進(jìn)行一一對(duì)應(yīng)，通過(guò)這種配對(duì)他們開(kāi)始學(xué)會(huì)“數(shù)數(shù)”，這也是計(jì)數(shù)的第一步。通常父母發(fā)現(xiàn)，孩子有時(shí)候能夠比較數(shù)字大小，甚至2，3歲孩子，媽媽也會(huì)發(fā)現(xiàn)指著一堆2個(gè)物體，一堆3個(gè)物體，孩子可以分辨出3個(gè)物體的一堆更多，但是問(wèn)2和3哪個(gè)大，就分辨不清，只能靠50%的正確率來(lái)猜測(cè)了。

這個(gè)最初階段，父母往往會(huì)產(chǎn)生一些錯(cuò)覺(jué)，以為孩子認(rèn)識(shí)數(shù)字了，接下去就可以開(kāi)始教加減法了。且慢，先看看接下去會(huì)發(fā)生什么吧～

關(guān)于數(shù)量表征，可以看這篇文章：

學(xué)習(xí)計(jì)數(shù)為什么要拿塊真實(shí)的豆腐切切看說(shuō)說(shuō)“我愛(ài)你”

第二個(gè)概念：順序

在學(xué)會(huì)“數(shù)數(shù)”后，孩子可能在數(shù)我跳了幾個(gè)格子的時(shí)候發(fā)現(xiàn)，必須先數(shù)4，才有5，他們開(kāi)始去記住這些數(shù)字的固定順序。我們要注意，孩子能夠背出1-100，并不代表孩子理解了數(shù)字的順序，我們所指的“順序”亦包含了大小的序列，即，孩子知道后面出現(xiàn)的數(shù)字比前一個(gè)數(shù)字大1，而要知道這點(diǎn)，孩子必須把數(shù)字始終與其對(duì)應(yīng)的物體數(shù)量關(guān)聯(lián)起來(lái)。所以，我們可以這樣理解，“數(shù)數(shù)字”與“計(jì)數(shù)數(shù)量”是截然不同的。

第三個(gè)概念：守恒性

對(duì)于“數(shù)量”的理解，首先是理解基數(shù)，基數(shù)五大原則告訴我們，“計(jì)數(shù)數(shù)量”時(shí)，不僅需要一一對(duì)應(yīng)去數(shù)，更需要不受“干擾”的數(shù)，不論物體怎么排列，數(shù)量是不會(huì)變化的。今天孩子正兒八經(jīng)坐在教室里數(shù)10顆珠子，明天，當(dāng)我們讓孩子數(shù)數(shù)街上白色的汽車(chē)有幾輛時(shí)，可能就尷尬地發(fā)現(xiàn)孩子重復(fù)在數(shù)，或者漏掉。當(dāng)我們把一堆糖果分散放著的時(shí)候，雖然數(shù)量沒(méi)有變，但是孩子偏偏認(rèn)為這堆糖果變多了。這些都需要較長(zhǎng)的時(shí)間，才能讓兒童理解，守恒性之重要。

關(guān)于“基數(shù)五大原則”，請(qǐng)看：

珠心算與計(jì)數(shù)問(wèn)題：學(xué)會(huì)了奔跑忘記了爬行人類就是一種善于進(jìn)化的生物

第四個(gè)概念：集合

很多孩子可能在父母的熏陶下，2歲多就開(kāi)始數(shù)數(shù)了，但是成人可能沒(méi)有察覺(jué)到一點(diǎn)的是，盡管孩子嘴上在數(shù)，甚至對(duì)于3-4歲的孩子來(lái)講，要求一一對(duì)應(yīng)數(shù)也并不困難，但是他們并不“走心”，因?yàn)樗麄兤鋵?shí)并不知道自己數(shù)到最后的這個(gè)數(shù)字就是代表這堆物體的集合。年幼的孩子還沒(méi)有這個(gè)概念，要把數(shù)字與物體數(shù)量聯(lián)結(jié)起來(lái)。如果孩子沒(méi)有把5和5個(gè)物體這個(gè)集合聯(lián)結(jié)起來(lái)理解的話，那么他們始終不能真正理解5+4=？的問(wèn)題。

下面這個(gè)故事來(lái)自于《學(xué)生是如何學(xué)習(xí)的——課堂中的數(shù)學(xué)》一書(shū)

幼兒園小朋友對(duì)下面這個(gè)問(wèn)題的回答：“如果你有四塊巧克力，別人又給了你三塊，現(xiàn)在你一共有多少塊巧克力？”

Alex皺了下眉，然后說(shuō)“7”。當(dāng)問(wèn)他是如何算出來(lái)的時(shí)候，他說(shuō)：“4+4是8（一個(gè)手伸出四個(gè)手指，另一個(gè)手也伸出四個(gè)手指來(lái)表示）。但是我們只需要加三個(gè)（從一只手收回一個(gè)手指來(lái)表示），所以我得到7，7比8少1。所以答案是7.”

Sean舉起一只手的四個(gè)手指，然后低聲說(shuō)，“4，再加3個(gè)，5，6，7”，Sean用正常的音調(diào)說(shuō)“7”。當(dāng)問(wèn)他是如何算出來(lái)的時(shí)候，Sean能夠清楚地表達(dá)他的策略，他說(shuō)，“我從4開(kāi)始，然后數(shù)5，6，7”（當(dāng)他往上數(shù)的時(shí)候，輕輕地敲了三下桌子，表示他在最初的集合中增加的數(shù)量）。

對(duì)于幼兒園老師來(lái)講，兩個(gè)孩子的表現(xiàn)都非常棒，都體現(xiàn)了很好的數(shù)感，但是他們可能并不知道兩個(gè)孩子在思維層面上的差異。這本書(shū)中詳細(xì)分析了象Alex和Sean這樣的五歲兒童在這個(gè)問(wèn)題中能夠表現(xiàn)出來(lái)的最核心的五個(gè)部分，我現(xiàn)在用下圖來(lái)表示：

第四個(gè)概念極為重要，當(dāng)孩子可以在最后一個(gè)物體的“計(jì)數(shù)”和整個(gè)集合的“數(shù)量”之間形成聯(lián)系，他們才開(kāi)始真正理解數(shù)字是不同于他們?nèi)粘Ｋf(shuō)的其他物體的“名稱”。歸根結(jié)底，孩子們需要既能理解10由10個(gè)物體（10個(gè)1）構(gòu)成，又可以看成一個(gè)整體，一個(gè)集合（即1個(gè)10）。

第五個(gè)概念：抽象

可以想象，孩子需要經(jīng)歷多長(zhǎng)時(shí)間，才能掌握上面四個(gè)概念，而期間，還有一個(gè)滲透在各個(gè)時(shí)期的重要概念在悄悄演化，這就是“抽象”能力?？瓷厦娴幕鶖?shù)五大原則中最后一項(xiàng)是：適用于任何數(shù)量的集合物體。簡(jiǎn)單來(lái)講，就是指“什么東西是可數(shù)的”，我們需要提供很多經(jīng)驗(yàn)給孩子，來(lái)擴(kuò)大他們對(duì)此的理解，不僅僅是三個(gè)蘋(píng)果可以數(shù)，拍三下手也可數(shù)，聽(tīng)到“咄咄咄”的敲門(mén)聲也可以數(shù)，這件事完全可以在學(xué)齡前完成，如果你并不急于教孩子加減法的話，其實(shí)你有足夠多的時(shí)間讓孩子接觸各種不同物體的數(shù)數(shù)，以便于他們可以從中抽象出計(jì)數(shù)的抽象原則。

在《如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感》一書(shū)中，史蒂夫（1983）提出了可數(shù)物體的概念，區(qū)分了五個(gè)難度等級(jí)：

感知單元：分散的可數(shù)物體，如孩子們會(huì)樹(shù)一堆紐扣。

圖像單元：不能實(shí)際應(yīng)用，但是可以通過(guò)回憶或想象進(jìn)行計(jì)數(shù)的物體（如孩子們?cè)诩宜B(yǎng)的寵物）

行為單元：具體行為動(dòng)作，如“手指的動(dòng)作或上樓梯的動(dòng)作”。

語(yǔ)言單元：讀數(shù)字的聲音（如讀8，9，10時(shí)所發(fā)出的聲音，根據(jù)聲音知道數(shù)了三個(gè)數(shù)字）。

抽象單元：要求孩子們?yōu)榻o定的數(shù)字和物體進(jìn)行配對(duì)。

在我的數(shù)學(xué)微課中，為了統(tǒng)一三個(gè)階段在計(jì)數(shù)上的概念，便于將不同題型融會(huì)貫通，我則是從六個(gè)維度上來(lái)談數(shù)量的表征與類比的。

第六個(gè)概念：結(jié)構(gòu)

對(duì)數(shù)的理解是一個(gè)漫長(zhǎng)而漸進(jìn)的過(guò)程，發(fā)展到這里，對(duì)于一般兒童來(lái)講至少需要1-2年時(shí)間，也就是說(shuō)假如你3歲開(kāi)始讓孩子懵懵懂懂接觸數(shù)字，直到5歲的時(shí)候，他們才弄懂了“數(shù)字”與“數(shù)量”的區(qū)別，要是象上面故事中Alex或Sean那樣可以清晰說(shuō)出自己思考過(guò)程的，則還需要在這兩年里有較好的元認(rèn)知能力的發(fā)展，同時(shí)還有關(guān)于語(yǔ)言能力的發(fā)展等等，兒童并非按部就班地在發(fā)展各個(gè)領(lǐng)域，他們總是穿插著不同能力以不同的速度在往前進(jìn)，能力相互之間還會(huì)有影響與互補(bǔ)。

如果我們希望兒童在學(xué)齡后可以輕松搞定四則運(yùn)算，甚至各種各樣的附加題，參加奧數(shù)競(jìng)賽。就先不要急于將孩子投入題海中，這里有一個(gè)關(guān)鍵性概念需要好好搞清楚：結(jié)構(gòu)。

并不是到了運(yùn)算里面，我們才來(lái)談結(jié)構(gòu)，事實(shí)上，當(dāng)兒童開(kāi)始接觸數(shù)量概念的時(shí)候，就已經(jīng)在結(jié)構(gòu)中了。我們前面談到集合概念，當(dāng)兒童知道5不僅僅是數(shù)五個(gè)物體，5本身就是一個(gè)整體，一個(gè)集合的時(shí)候，他們的思維就已經(jīng)在心理層面上勾畫(huà)“數(shù)的結(jié)構(gòu)”了，而這部分通過(guò)成人以圖式的方式展示出來(lái)，兒童就可以逐步內(nèi)化，并形成自己的心理意象了。

有一個(gè)標(biāo)志性的心理意象就是“數(shù)軸”，關(guān)于數(shù)軸可以有各種各樣的表示方法，并不一定是水平線，兒童在頭腦中假如具有數(shù)字不僅僅是一個(gè)固定的點(diǎn)，而且仿佛有一根線，數(shù)字之間是串聯(lián)的，可以通過(guò)移動(dòng)使得數(shù)量變化，他們可以通過(guò)空間的表征，來(lái)理解物理上的增減意味著空間上的前后、上下或左右移動(dòng)。這被稱之為真正的“心理運(yùn)算”。

到了這里，孩子們已經(jīng)具有真正進(jìn)行符號(hào)計(jì)算的能力了，而關(guān)于計(jì)算，才剛剛開(kāi)始，我們將在以后繼續(xù)介紹，兒童在加減法領(lǐng)域里，是如何一步步走過(guò)來(lái)的，他們必須先從1-10開(kāi)始，從＋1開(kāi)始，到＋2，如同今天我們看到的以上分解，兒童從開(kāi)始理解從一個(gè)數(shù)字往上累加計(jì)數(shù)開(kāi)始，到他們知道14+13=27，整個(gè)過(guò)程中，可分解的單元。

當(dāng)你熟知這些細(xì)節(jié)的時(shí)候，你就有足夠信心和能力，開(kāi)啟你的家庭數(shù)學(xué)啟蒙之路了～