聊聊數(shù)學那些事（2）

上周寫的一篇關于數(shù)學的無聊文章沒有想到會被小花生網(wǎng)發(fā)布到微信公眾號，引起了很多爸爸媽媽的關注，這著實出乎我的意料。我收到了大量的評論和問題，所以我想應該繼續(xù)把一些觀點和心得寫下來，回答大家的一些疑問，對某些觀點也可以進一步闡明我的想法。

在開聊之前，有一點需要事先聲明一下，小花生微信號的標題有誤，我并沒有在國際奧數(shù)大賽上獲獎，我只獲得過奧林匹克物理競賽的獎項，當然當年一直是中學奧數(shù)，奧物和奧化競賽班的學生。我寫的不是很清楚，讓編輯可能誤解了。

下面先把上次的那道小學四年級的數(shù)學題的答案和解題思路講一下，說明一下這只是一個快速簡單的不嚴格的解題思路，因為當時我在地鐵上，只能這么簡單的推理一把，嚴格的證明要比這復雜的多。限于篇幅和數(shù)學公式的文本編輯太麻煩，暫時先不把嚴格證明搬上來了。我希望大家多關注一下我的思路而不是答案，答案不重要。我個人認為這還是一道出的比較好的奧數(shù)題，不是什么亂七八糟的腦筋急轉(zhuǎn)彎，也不是簡單的把中學數(shù)學提前搬給小學生做的那種。但是這畢竟是面向中學生且學有余力的學生的奧數(shù)題，而不是小學生應該來搞明白的問題。

題目：動腦筋，下圖是由圓組成的一個五環(huán)，請將數(shù)字1-9填在五環(huán)中的九個空白處，使每個圓中所填數(shù)的和都相等，求這個相等的和的最大值和最小值。

答： 考慮到左右兩邊的兩個圓僅僅有兩個數(shù)字相加，中間的三個圓有三個數(shù)字相加，因此要得到相等和的最小值，必須把最大的9放到最邊上的圓中，否則9放在中間三個圓中得到的和必然大于9放在最邊上的圓中得到的和。同理次大的8也要放到另一邊最靠邊的圓中?？紤]到1和2是最小的兩個數(shù)，因此1和9，2和8組合起來放在最邊上的圓中等于10，所以和不會小于10。首先討論10是最小值的可能性，如果10是最小值，剩下的數(shù)字就是3，4，5，6，7，任意三個數(shù)字放入中間的圓得到的和都大于10，所以10不是最小值。因此繼續(xù)考察最小值是否可能是11，11可以被分成2和9，3和8，分別放到最邊上的兩個圓中，剩下的數(shù)字1，4，5，6，7，嘗試放到中間三個圓中，得到下面兩張圖的排列（其實是一樣的，因為圖形是對稱的，第二張圖是第一張圖反過來排列），所以最小值是11.

現(xiàn)在來考察最大值，要得到最大值，8和9也必須放在最邊上的圓中，理由同上，因為9或者8放在中間的三個圓中，會使得中間圓的和大于最邊上的。考慮到8和9是最大的兩個數(shù)字，組合為17，因此和的最大值必然小于17（不會等于17，否則另一邊的圓就沒有辦法放數(shù)字了），并且8和9要分別放在最靠邊的兩個圓中。首先考慮最大值為16的可能性， 16可以分為7和9，8和8兩個組合，因為8會出現(xiàn)兩次，所以16不可能為最大值。繼續(xù)考察15為最大值的可能性， 15可以分成6和9，8和7兩個組合，剩下的數(shù)字為1，2，3，4，5。這五個數(shù)字最大的3，4，5加起來放到中間的圓也只有12，所以無法保持相同的和，因此15也不是最大值。繼續(xù)考察14作為最大值的可能性，14可以分成9和5，8和6兩個組合，剩下的1，2，3，4，7，嘗試放到中間的三個圓中可以得到下面兩張圖的結果（同樣是對稱結構），所以最大值是14。

看完解題思路和答案，大家可以清楚的發(fā)現(xiàn)這么幾個問題。首先整個過程中用的計算是非常少的，20以內(nèi)加減法水平。但是孩子算術算的再快再準對解題也是毫無幫助的。其次我在分析過程中的思路大量使用了反證法，這是典型的邏輯推理，特別是9和8要放在最邊上的兩個圓中是解題關鍵思路，其實就是要減少變量的數(shù)目，這是核心思想，小學生要能理解和運用是有困難的。最后就是最大值和最小值的討論，這是典型的高中需要培養(yǎng)的復雜問題的討論，這種討論對于高中生而言是必備的能力，但是對小學生而言太難掌握了。有興趣的朋友可以把這道題給學奧數(shù)的小學生做做看，但是注意你讓他/她自己解釋清楚思路看看，光有答案可不行。另外還是要強調(diào)一下，這只是一種簡單的推理，而不是嚴格的證明，嚴格的證明要用到更加復雜的中學數(shù)學工具，小學生就更加難以接受了。好了，下面繼續(xù)開聊如何學好數(shù)學，當然核心觀點都是關于提高數(shù)學能力的，和應試這種無聊話題關系不大。我的觀點其實就是來自于常識和自己的經(jīng)驗，沒有什么高深的理論。喜歡的朋友可以看看，不喜歡的也就一笑了之，不用太在意。

問1：什么是數(shù)學的美？

答：伽利略說“數(shù)學是上帝用來書寫宇宙的文字”，所以數(shù)學是非常優(yōu)美的。所謂數(shù)學的美就是兩個字“簡單”，越簡單越美。這里數(shù)學的美有兩層含義，一層是很多數(shù)學問題的結論、定理是非常簡單但是卻意義很深的。例如勾股定理，簡單的一個公式就揭示出一個普遍規(guī)律。另外一層含義則是數(shù)學問題的證明或者解答過程是否簡潔。優(yōu)美的證明過程可以用一個縝密而簡單的過程解釋一個具有普遍意義的思想方法。例如方程概念的引入使得數(shù)學應用的一些建模問題抽象為簡單的解一個等式。一個小學生一旦學會了用方程的概念來看應用題，會發(fā)現(xiàn)很多應用題的解答變的非常容易理解。又例如極限概念的引入和運用到對變量的分析中，自然就推演出微分和積分的方法，從而使的我們研究變量的關系變的容易的多。所以我們常常會發(fā)現(xiàn)一些數(shù)學問題雖然已經(jīng)被解決了，但是數(shù)學家還是會繼續(xù)研究是否有更加漂亮的解法，目的就是為了追求數(shù)學的美，為了追求更加普遍的意義。所以學習數(shù)學就是追求真理之美的過程。這個問題的清楚認識對于我們?yōu)槭裁磳W數(shù)學，培養(yǎng)數(shù)學興趣，怎么學好數(shù)學有很大的意義。

問2： 為什么數(shù)學學習要強調(diào)一道題目多種解法？

答：一道題目多種解法（一題多解）是學好數(shù)學的一個非常好的方法。因為數(shù)學的學習的一個關鍵是學習過程和思路，答案是不重要的。但是數(shù)學問題的解決思路和過程絕對不是唯一的，相反是多種多樣的。從數(shù)學家的角度來看，不同的方法往往意味著不同的理論。而從學生的角度來看，不同的方法意味著思路的拓展和興趣的培養(yǎng)。這種方法看似費時費力，但是對于提高學生的數(shù)學能力是非常關鍵的，長期訓練效果顯著。我們現(xiàn)在的數(shù)學教育喜歡談標準答案，其實真正的數(shù)學根本沒有標準答案，只關心你是如何到達那個結果的。通過一題多解，孩子很容易進行不同方法的比較，從而找到最簡單的方法（也就是最美的解法），或者最具有普遍性的解法，或者最容易理解的方法。鼓勵孩子用不同的方法解題，他們對問題的理解和數(shù)學工具的運用就會越具有創(chuàng)造性和靈活性。例如就拿上面的那道奧數(shù)題來說，我的嚴格證明就運用了另外的算法，整體思路也是減少變量的數(shù)目，但是我通過研究中間的三個圓的和，從而確定中間幾個位置的數(shù)量關系來解題的，好處是運用數(shù)量分析證明嚴密，缺點是復雜不漂亮。我相信應該還有更加嚴密且優(yōu)美的解法，有興趣的朋友可以繼續(xù)嘗試。說句題外話，真正的國際奧林匹克數(shù)學競賽是沒有標準答案的，每個參賽隊的方法都可能是不同的，最后的評分是由領隊來討論的。

問3： 為什么啟發(fā)式的教與學對于初學數(shù)學的人是個好方法？

答：數(shù)學能力不是天生就強的，是需要長期慢慢的培養(yǎng)的。剛剛學習數(shù)學的孩子，語言能力有限，閱讀能力不強，邏輯思維還處于低級水平。讓他們一下就接觸復雜的邏輯推理是不可能理解的，容易產(chǎn)生畏難情緒。另一方面強行灌輸所謂標準答案更加不可取，孩子的學習積極性完全被抹殺，通過記憶和背誦來學習數(shù)學無異于思維自殺。家長和老師應該啟發(fā)孩子自己動腦筋，想辦法，鼓勵他們一步一步的從簡單問題推導到復雜問題，甚至于是沒有學過的問題。下面的對話是我和剛上小學一年級的女兒的幾次數(shù)學輔導中摘錄的，希望對別的爸爸媽媽有一些啟發(fā)。當然每個孩子情況不同，啟發(fā)的方式也是因人而異的。

父： 你們這幾天好像學習了進位加法，能給我你的速算卷子嗎？

女：好的，可是我算的很慢，后面都沒有來得及做（哭臉一張）

父：沒有關系，爸爸小時候也算的很慢，讀大學時還要數(shù)手指頭呢。別擔心，爸爸教你。

女：（拿出卷子，5分鐘60道20以內(nèi)加法題目，1/3題目沒有來得及做，老師眼中典型的數(shù)學差生）

父：做的不錯嘛，前面都對的，就是后面來不及做了，沒有關系?，F(xiàn)在來做一下后面的吧，7+8=？你能告訴我一下你是怎么做的嗎？

女：等于15， 把8分成3和5，然后。。。。（憋了半天無響應）

父：然后7和3怎么樣？

女：7和3加起來等于10，再和5加起來等于15。（終于想起來了）

父： 很好，你以后就要這樣完整的告訴我你是怎么想的，然后再告訴我答案。我問你為什么8要分成3和5?。繛槭裁床荒芊殖?和4??？

女：因為3和7加起來等于10。

父：那為什么要有一個10呢？

女：。。。。。（長時間的沉默）

父：想想看10加幾等于幾??？

女：10加幾就是10幾。

父：簡單嗎？是不是10加幾是不用計算的,一看就知道了？

女：是的，所以10+5=15。很簡單。

父：如果8拆成了4和4，會這么簡單嗎？

女：不會，7+4=?不知道是什么。（很開心的樣子）

父：所以進位加法關鍵要湊一個10，我們再做一道9+9=？

女：9可以分成8和1，1和9加起來等于10，10加8等于18。（開始得意忘形），那16+6等于多少啊？（信心開始膨脹，準備挑戰(zhàn)她老爸了）

父：你自己算算看呢？

女：老師沒有教過，我不會做。

父：沒有關系，你試試看，做錯了爸爸不怪你。

女：23

父：錯了，不過只差一點點。

女：22

父：你太厲害了，告訴我你是怎么做的。

女：16可以分成10和6， 6+6等于12，12加10等于22。

父：你的數(shù)學真厲害，20以上的加法也會了。為什么12+10=22？

女： 12可以分成10和2，10加10等于20， 20再加2等于22。

父：是不是進位加法都是一樣的？很簡單吧。

女：是的，要湊10，10加幾就等于10幾很簡單。（以下省略一千字.。。。）

問4：為什么說數(shù)學最重要的是邏輯推理和空間想象能力而不是計算能力？

答：首先計算能力是數(shù)學能力的一部分，但是只是無關緊要的次要部分。盡管數(shù)學發(fā)展史上計算是一個重要的方向，但是那是在電子計算機發(fā)明之前的故事。古代人類有大量生活和工程計算的需要，因此圍繞計算領域出現(xiàn)了很多重要的方法和成果，例如圓周率的計算，對數(shù)和指數(shù)的發(fā)明和應用。但是自從電腦發(fā)明之后，計算數(shù)學早就開始轉(zhuǎn)移到算法的研究上了。其次，更多的數(shù)學問題其實和計算幾乎毫無關系，例如排列組合，概率論，幾何學。這些學科用到的計算最多就是加減乘除四則運算，但是對于邏輯推理和空間想象能力要求極高。我是從事軟件研究工作的，算法是天天打交道的，可以說現(xiàn)代的算法和數(shù)字計算能力幾乎沒有什么關系，反而是多樣性的思維，縝密的邏輯推理，和空間想象能力對于算法創(chuàng)新和理解意義重大。還是回到上面那道奧數(shù)題，計算水平只有20以內(nèi)的加減法，現(xiàn)在一些幼兒園的“牛娃“算的都比我快，可是有人覺得他們能夠做這道題目嗎？

因此邏輯思維和空間想象能力才是從小需要認真培養(yǎng)的。這兩種能力有先天的因素，但更重要的是后天的培養(yǎng)。邏輯思維和空間想象能力不僅僅只依靠數(shù)學培養(yǎng)，語文，音樂，繪畫無一不是在培養(yǎng)這些能力。 一個人從小就應該從各種學科學習開始，系統(tǒng)性的逐步構建起邏輯思維。這對數(shù)學學習至關重要。而其中語文的重要性是不言而喻的，因為它是所有學科之母，很難想象一個連閱讀理解都有問題的人，怎么能找到問題，分析問題，回答問題。

落實到具體的內(nèi)容，我自己的經(jīng)驗是，培養(yǎng)邏輯和空間想象力最好要讓孩子多觀察，多動手，多表達。具體做起來就是從學齡前兒童要多搭積木，變著花樣的玩積木（看圖搭積木，沒有圖自己搭積木），要看圖講故事（故事要盡量完整），多帶孩子接觸大自然，不要打斷他們的觀察，不要打斷他們的說話。讓孩子盡量在玩耍中接觸外部世界。推薦一套德國的邏輯玩具，“邏輯狗”，我和女兒在幼兒園階段玩了半年，感覺內(nèi)容難易適中，女兒很喜歡，做的也很不錯。到了小學階段，還是要強調(diào)在玩中學，在生活中學。各種棋牌類游戲，樂高玩具，3D Puzzle，各種機械模型的拆和裝，自己編故事講故事，鼓勵孩子自己提問題并引導他們自己去分析和解決問題（這一點尤其重要，問題是最好的開始），等等都是培養(yǎng)邏輯和空間能力的好方法。中學階段以后，要教授和引導孩子自己完整的提問題，分析復雜問題，查找和比較不同的解決方案?？傊灰舷胫罅克?shù)學題，搞數(shù)字啟蒙就能培養(yǎng)什么邏輯思維能力。相反應該把孩子眼睛，腦袋和手都調(diào)動起來，從形象思維入手解決抽象思維的問題，而不是因為數(shù)學抽象所以就要抽象的學，那是永遠都學不好的。

坦白的說，數(shù)學能力的培養(yǎng)是一個長期和緩慢的過程，這是由人的生理特性決定的，抽象思維能力要上了初中以后才能逐步成熟起來，嚴格意義上的數(shù)學是要晚學而非早學的。所以在中學之前我們要做的是逐步的為嚴格的數(shù)學學習做邏輯思維的準備，而不是早早的讓孩子學超過他們能力范圍的知識。那種以為學的多，學的深就是學的好的思想是害人不淺的?，F(xiàn)在流行的育兒“搶跑”方式，在真正的數(shù)學學習中是毫無用處的。

問5：我孩子數(shù)學課上都聽的懂，可是題目樣子一變就不會做了，這是什么原因？

答：免不了還是要回答幾個應試的問題。其實這是孩子上課就沒有聽懂。什么是數(shù)學真正聽懂了，理解了？就是無論題目變成生么樣，我都知道你老師想考我什么。一個簡單的方法（這個方法我讀書時自己經(jīng)常用），就是同樣的題目、定理或者結論變換著問題問自己，看看自己是否都能回答。例如我女兒說她會7+8=15，其實不能算真懂加法了，我還問她那8+7=？ 8加一個不知道的數(shù)字等于15，那個不知道的數(shù)字是幾？你有8塊錢，爸爸給你7塊錢，你總共有幾塊錢？現(xiàn)在你給營業(yè)員15塊錢，一支筆要7塊錢，營業(yè)員要找給你多少錢？等等。最重要的是孩子要講出來這里面的關鍵思路或者核心思想是什么，當然家長要引導，尤其對于比較小的孩子。一旦孩子自己能發(fā)現(xiàn)那個關鍵點，這就說明他/她真懂了。永遠記住思考過程比答案重要的多。

問6：我孩子現(xiàn)在數(shù)學成績不好，該怎么辦？

答：這個問題太寬泛，不大好回答。因為具體人和事情要具體分析，不能一概而論。我拿我自己的一個例子來說明，看看能否有啟發(fā)。我在讀大學和研究生時分別給準備小升初考試，中考和高考的三個孩子補習過最后一個學期的數(shù)學。當時那個小學生是數(shù)學“學霸”，而另外一個初中生和一個高中生都是數(shù)學“學渣”。由于時間有限，我把他們所有近一個學期的數(shù)學測驗和考卷全部拿出來，把做錯的題目全部過一變。我和孩子們一起分析后發(fā)現(xiàn)，那個“學霸”小學生數(shù)學很不錯，就是很粗心，所以我就強迫讓他在計算時打個草稿，不許檢查，不許做的太快，必須一次成功。同時和他談心，會做的題目做錯是不是很郁悶。幾個星期下來情況就有所好轉(zhuǎn)。而數(shù)學知識點則談的不多，適當給他拓展了一下思路。而另外兩個孩子確實基礎比較差，問題主要是概念不清，不真正理解知識點，解題思路呆板。我的方法就是從頭來過，幫他們第一理清概念，第二反復錯的題目整理思路，同時讓他們自己歸納思路和關鍵點，然后講給我我聽。通過不斷對他們提問，讓他們的腦子轉(zhuǎn)起來，讓他們自己審視自己的思路。人的潛力是很大的，一旦概念清晰了，自己開始動腦子整理思路了，數(shù)學成績立馬提高。最后三個孩子都在考試中考出比自己原先高的多的水平，上了自己心儀的學校。

羅羅嗦嗦又寫了6個問題，主要都是關于如何學數(shù)學，以及進一步闡述我的數(shù)學學習理念的。我不是教學經(jīng)驗豐富的數(shù)學老師，只是一個數(shù)理化學習經(jīng)驗豐富的學生。我的切身經(jīng)驗告訴我，數(shù)學不難，數(shù)學很美，學習數(shù)學其樂無窮。但是學習數(shù)學一定要有好方法，要以興趣為羅盤，揚起邏輯思維的風帆，享受思考的過程，直達真理的優(yōu)美彼岸。我想讓我的女兒能夠同樣享受我所享受過的數(shù)學樂趣。希望各位家長和老師也能幫助你們的孩子和學生享受追求真理的快樂。