聊聊數(shù)學(xué)那些事

奧數(shù)是現(xiàn)在育兒的一個(gè)熱門話題，妖魔化有之，極力吹捧的也有之，無(wú)奈適應(yīng)的也大有人在。我是不愿意對(duì)這個(gè)無(wú)聊問題多談的，但是前些日子老婆通過微信轉(zhuǎn)發(fā)了同事發(fā)的小學(xué)四年級(jí)的一道普通數(shù)學(xué)題要我來(lái)做（不過我估計(jì)是學(xué)校拿來(lái)拔高的奧數(shù)題），我在地鐵上心算了2分鐘就得出了答案，當(dāng)時(shí)只是粗粗一算，但是讓我好奇的是這道題目要嚴(yán)格證明卻是不那么容易的，我回家后花了好大功夫才完成了完整的證明。

老婆夸我寶刀不老，說女兒的數(shù)學(xué)教育歸我負(fù)責(zé)了，而我卻感嘆這題目小學(xué)四年級(jí)的孩子能懂嗎？難道現(xiàn)在滿大街都是數(shù)學(xué)“天才”了？所以我作為一個(gè)學(xué)了20多年數(shù)學(xué)的“北清復(fù)交”工科男，一位對(duì)數(shù)學(xué)和物理有著無(wú)限興趣和愛好的老男人，一位曾經(jīng)的中學(xué)奧數(shù)，奧物，奧化參賽與獲獎(jiǎng)隊(duì)員，還真想好好聊聊這個(gè)無(wú)聊的話題。當(dāng)然為了避免太無(wú)聊，我主要想聊的還是數(shù)學(xué)，而不是奧數(shù)。

不過這些觀點(diǎn)僅僅是我一家之言，喜歡的就看看，不喜歡的就一笑了之，不用太較真。（另外附上這道小學(xué)四年級(jí)數(shù)學(xué)題，有數(shù)學(xué)興趣的朋友可以拿來(lái)打發(fā)一下無(wú)聊的時(shí)間） 

問1： 數(shù)學(xué)到底是研究什么的？

答：數(shù)學(xué)的的定義從古至今五花八門，維基百科上的定義是“數(shù)學(xué)是利用符號(hào)語(yǔ)言研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化以及空間等概念的一門學(xué)科”。不過當(dāng)代比較權(quán)威的定義是數(shù)學(xué)就是研究結(jié)構(gòu)的一門學(xué)科。（因?yàn)閿?shù)量，變化等等都可以歸納為結(jié)構(gòu)）

問2： 數(shù)學(xué)是科學(xué)嗎？

答：數(shù)學(xué)不是科學(xué)，數(shù)學(xué)本質(zhì)上是人發(fā)明的一種結(jié)構(gòu)，因此無(wú)法通過實(shí)驗(yàn)證偽，所以不是科學(xué)。但是數(shù)學(xué)和科學(xué)有著天生的聯(lián)系（這是個(gè)迷）。當(dāng)代所有科學(xué)都是由數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述的。因此學(xué)習(xí)科學(xué)和工程的人必須掌握數(shù)學(xué)語(yǔ)言。

問3：我將來(lái)學(xué)文科，學(xué)數(shù)學(xué)有用嗎？

答：從本質(zhì)上來(lái)說，數(shù)學(xué)本身和哲學(xué)一樣是“無(wú)用之用”，是屬于通識(shí)教育的一部分，對(duì)任何人而言數(shù)學(xué)素養(yǎng)是一個(gè)人的基本素質(zhì)，普通人不需要把數(shù)學(xué)學(xué)的非常高深，但是需要有基本的概念和方法。而對(duì)純數(shù)學(xué)研究而言，其實(shí)也是沒有任何實(shí)際應(yīng)用價(jià)值的，它是人類對(duì)自身思維的極致追求。

例如證明哥德巴赫猜想，是數(shù)論研究的著名問題，但是事實(shí)上這樣的研究對(duì)于科學(xué)和工程沒有任何價(jià)值。但是仍然有無(wú)數(shù)的數(shù)學(xué)家為最終證明這個(gè)猜想而獻(xiàn)出畢生的心血。

問4：數(shù)學(xué)和思維開發(fā)是什么關(guān)系？

答：我不知道有什么關(guān)系。我只知道數(shù)學(xué)歸根結(jié)底在培養(yǎng)邏輯思維能力，更確切的說在培養(yǎng)人的歸納和推演的能力。但是邏輯思維能力不是僅僅依靠數(shù)學(xué)來(lái)培養(yǎng)的，想反語(yǔ)言，閱讀，繪畫，音樂，都在培養(yǎng)一個(gè)人的邏輯思維能力。數(shù)學(xué)只是其中的一種方法而已。

問5:數(shù)學(xué)語(yǔ)言和自然語(yǔ)言（例如漢語(yǔ)，英語(yǔ)）有沒有關(guān)系？

答：有關(guān)系，雖然數(shù)學(xué)是符號(hào)語(yǔ)言，但是符號(hào)語(yǔ)言是從自然語(yǔ)言抽象出來(lái)的，一個(gè)人如果連自然語(yǔ)言都講不好，是很難理解符號(hào)語(yǔ)言的。這對(duì)剛學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的小學(xué)生和中學(xué)生尤其重要，很多孩子學(xué)不好數(shù)學(xué)不是因?yàn)檫壿嬎季S能力不強(qiáng)，而是因?yàn)檎Z(yǔ)文不好，無(wú)法理解問題和概念。

問6:我孩子從小對(duì)數(shù)字很敏感，算術(shù)題做的很快，是不是他／她的數(shù)學(xué)天賦很好？

答：不好意思，必須負(fù)責(zé)的說，對(duì)數(shù)字敏感和數(shù)學(xué)沒有半毛錢關(guān)系，更談不上什么數(shù)學(xué)天賦。很多著名的數(shù)學(xué)家連加減乘除都算不清楚。例如菲爾茲數(shù)學(xué)獎(jiǎng)獲得者，哈佛大學(xué)物理系主任，華人數(shù)學(xué)家丘成桐就曾在電視訪談中說自己對(duì)于數(shù)字計(jì)算并不擅長(zhǎng)，很多奧數(shù)題也不會(huì)做。

可是他卻是當(dāng)今世界頂級(jí)的數(shù)學(xué)巨匠。數(shù)學(xué)是一門抽象的學(xué)科。因此數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不是越早越好，相反需要等到一個(gè)人的抽象思維成熟到一定程度后才可能學(xué)習(xí)的好的學(xué)科。通常來(lái)說只有到上了初中也就是13歲以后，一個(gè)人的抽象思維能力才能超過記憶力，成為主要的思維能力。因此孩子在初中以前是不可能看出所謂的數(shù)學(xué)天賦的?；蛘哒f不到初中是不能看出一個(gè)孩子是否真正擅長(zhǎng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的。

其實(shí)在生活中這種例子比比皆是，大部分?jǐn)?shù)學(xué)能力出色的孩子都是在高中階段表現(xiàn)出來(lái)的。很多在小學(xué)階段算數(shù)學(xué)的好的學(xué)生，往往在上了初中就變的不出色了，而一些小學(xué)看上去算數(shù)不怎么樣的孩子，到了初中和高中反而變得數(shù)學(xué)很不錯(cuò)，就是這個(gè)道理。

問7:世界上很多大數(shù)學(xué)家不都是在年輕時(shí)就做出了成績(jī)，不是說明數(shù)學(xué)時(shí)年輕人的學(xué)科嗎？

答：確實(shí)，數(shù)學(xué)是年輕人的學(xué)科，是真正的吃青春飯的學(xué)科。有人做過統(tǒng)計(jì)，大部分一流數(shù)學(xué)家的工作都是在25-35歲之間完成的。超過40歲基本上數(shù)學(xué)家就做不出什么有價(jià)值的工作來(lái)了。但是這并不意味著數(shù)學(xué)家在中小學(xué)階段就能展現(xiàn)才華，就我所知在接受高等教育之前就展現(xiàn)出數(shù)學(xué)天賦的，只有高斯和愛因斯坦，高斯很小就想出使用等差數(shù)列的方法計(jì)算從1累加到100，這個(gè)故事盡人皆知。

而愛因斯坦在小學(xué)階段就獨(dú)立證明了勾股定理。除此之外，還真沒聽說過有10幾歲的人能展現(xiàn)出所謂的“天賦”的。前面已經(jīng)說過數(shù)學(xué)對(duì)抽象思維成熟的依賴，所以不可能小小年紀(jì)展現(xiàn)才華，這不符合人的生理發(fā)育規(guī)律。而20多歲正是人抽象思維能力最強(qiáng)的時(shí)候，因此大部分?jǐn)?shù)學(xué)成績(jī)?cè)谶@個(gè)年齡段展現(xiàn)出來(lái)也不足為奇。因此菲爾茲數(shù)學(xué)獎(jiǎng)就規(guī)定獲獎(jiǎng)?wù)吣挲g上限是35歲，也就是鼓勵(lì)年輕人在數(shù)學(xué)上盡快出成績(jī)。

問8:真正的奧數(shù)比賽到底是一個(gè)什么樣的比賽？

答：奧數(shù)是國(guó)際奧林匹克數(shù)學(xué)競(jìng)賽的簡(jiǎn)稱，英文簡(jiǎn)稱IMO，1959年第一屆在羅馬尼亞舉行，共有7個(gè)東歐國(guó)家參加，而后每年舉辦一次（除了1980年），目前已經(jīng)每年有約100多個(gè)國(guó)家參加。每個(gè)國(guó)家可以派出6名選手參賽，參賽選手必須年齡不足20周歲，最高學(xué)歷為中學(xué)。

IMO的題目基于中學(xué)數(shù)學(xué)，但是在知識(shí)方面有擴(kuò)展，解題方法上有更高的要求，難度介于一般中學(xué)數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)之間，被稱為“競(jìng)賽數(shù)學(xué)”，這是一個(gè)面向高中生的國(guó)際數(shù)學(xué)競(jìng)賽。這里重要的事情說三遍面向高中生，高中生，高中生！IMO出題者并不希望參賽者使用高于中學(xué)數(shù)學(xué)的方法來(lái)解題，因此在出題時(shí)充分考慮了中學(xué)數(shù)學(xué)的范圍。

歷屆總分第一名的國(guó)家大多為東歐，中國(guó)和美國(guó)。最近5屆的總分第一名從2012年到2016年，分別是韓國(guó)，中國(guó)，中國(guó)，美國(guó)，美國(guó)。呵呵，沒有想到吧，美國(guó)中學(xué)生的數(shù)學(xué)水平也是很高的。

問9:現(xiàn)在那么多小學(xué)生學(xué)習(xí)奧數(shù)，對(duì)提高數(shù)學(xué)水平有幫助嗎？

答：沒有任何幫助，而且搞不好要幫倒忙。奧數(shù)是一個(gè)面向高中生的數(shù)學(xué)競(jìng)賽，所有的知識(shí)點(diǎn)都是基于中學(xué)數(shù)學(xué)，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步提高拓展。常識(shí)就可以告訴我們小學(xué)生是不可能理解真正的奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)的。如果真正理解了這孩子就連高中都不用讀了，直接上大學(xué)吧。

現(xiàn)在一些培訓(xùn)機(jī)構(gòu)，像學(xué)x思的奧數(shù)培訓(xùn)班這么火，說白了就是忽悠，家長(zhǎng)和孩子一起進(jìn)去聽課，教的其實(shí)是家長(zhǎng)，而不是學(xué)生。教學(xué)方法就是背套路。這種學(xué)習(xí)方法對(duì)真正的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)一點(diǎn)好處也沒有。當(dāng)然，很多家長(zhǎng)也是知道這一點(diǎn)的，但是迫于現(xiàn)實(shí)壓力，要上好的私立初中人家就認(rèn)奧數(shù)呀。所以我建議您如果真想讓孩子數(shù)學(xué)學(xué)好，又不想和現(xiàn)實(shí)對(duì)著干。那就退而求其次做到這么幾點(diǎn)，一是孩子在小學(xué)里的課堂數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一定要掌握好，這是最基本和重要的，務(wù)必做到完全理解。

二是選擇只有孩子自己進(jìn)去讀，家長(zhǎng)不要陪讀的培訓(xùn)機(jī)構(gòu)，這樣的機(jī)構(gòu)至少是在教學(xué)生而不是培訓(xùn)家長(zhǎng)。內(nèi)容至少孩子自己是可以聽的懂的。三是家長(zhǎng)對(duì)培訓(xùn)機(jī)構(gòu)里教的內(nèi)容和方法要問孩子，千萬(wàn)不能讓孩子背套路，死背公式。否則到了中學(xué)以后后患無(wú)窮。

問10:數(shù)學(xué)這么難，到底怎么才能學(xué)好呢？

答：數(shù)學(xué)并不難，普通人都能學(xué)好。如果大多數(shù)人都學(xué)不好，這世界上就不應(yīng)該有數(shù)學(xué)課了。學(xué)好數(shù)學(xué)對(duì)于不同的人有不同的要求和方法。對(duì)于學(xué)齡前兒童，不用刻意學(xué)什么數(shù)學(xué)知識(shí)，孩子只要有最基本的數(shù)字概念即可。家長(zhǎng)應(yīng)該多培養(yǎng)孩子的空間想象能力和初步的語(yǔ)言表達(dá)能力。

因?yàn)檫@包含了基本的邏輯思維，家長(zhǎng)可以多給孩子玩積木，看圖片，照著圖片搭積木對(duì)于培養(yǎng)空間想象能力很有幫助。讓孩子完整的用句子表達(dá)自己的想法，培養(yǎng)他們的基本邏輯。對(duì)于小學(xué)生，要他們更加完整的表達(dá)自己的解題思路，而不用過分追求解題的結(jié)果，目前小學(xué)對(duì)于速算很重視，其實(shí)這是大錯(cuò)特錯(cuò)的方法。計(jì)算能力在數(shù)學(xué)中是最不重要的。另外小學(xué)生要進(jìn)一步強(qiáng)化空間想象能力，應(yīng)該要辨識(shí)和組合復(fù)雜的幾何體。

12歲以上的樂高積木，3D puzzle，中國(guó)象棋，國(guó)際象棋和圍棋都是很好的玩具。另外數(shù)學(xué)和科學(xué)不分家，鼓勵(lì)孩子多看科學(xué)課外書，引導(dǎo)他們觀察和提出問題。最后就是數(shù)學(xué)問題生活化，游戲化，例如孩子買東西自己付錢，就會(huì)對(duì)計(jì)算更加有感覺，強(qiáng)手棋游戲也是很好的玩具，鼓勵(lì)孩子在生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題。

推薦一套英國(guó)的數(shù)學(xué)課外書《可怕的數(shù)學(xué)》，和迪士尼的經(jīng)典動(dòng)畫片《唐老鴨漫游數(shù)學(xué)奇境》。對(duì)于初中學(xué)生，則可以比較有針對(duì)性的強(qiáng)化數(shù)學(xué)問題的訓(xùn)練，有興趣的可以進(jìn)行奧數(shù)的訓(xùn)練，尤其要強(qiáng)調(diào)一題多解，這對(duì)于拓展數(shù)學(xué)思維，提高興趣非常有幫助。強(qiáng)化平面幾何的證明訓(xùn)練，對(duì)于邏輯推演尤其重要。對(duì)于高中生，普通學(xué)生需要強(qiáng)調(diào)不同情況下的對(duì)于復(fù)雜問題的討論，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)要有系統(tǒng)化的認(rèn)識(shí)。學(xué)有余力的學(xué)生則可以強(qiáng)化奧數(shù)的訓(xùn)練，進(jìn)一步拓展知識(shí)。

水平高的學(xué)生或者預(yù)先可以學(xué)習(xí)一些大學(xué)里的數(shù)學(xué)課程，例如微積分。最后想說的是，學(xué)好數(shù)學(xué)關(guān)鍵還是興趣，興趣是慢慢培養(yǎng)的，應(yīng)試數(shù)學(xué)是培養(yǎng)不出真正的興趣的。一旦入了門，學(xué)會(huì)提出問題，強(qiáng)調(diào)過程和思路遠(yuǎn)遠(yuǎn)比追求一個(gè)答案來(lái)的重要多，做適量的多樣性的數(shù)學(xué)題而不是刷題背公式，這樣你的數(shù)學(xué)想學(xué)不好也難。

問11：孩子數(shù)學(xué)不好，是不是意味著孩子很笨？

答：千萬(wàn)別那么想，數(shù)學(xué)好和聰明沒有任何關(guān)系。不是從事科學(xué)和工程研究的人，其實(shí)不需要有高深的數(shù)學(xué)知識(shí)。術(shù)業(yè)有專攻，一個(gè)律師，藝術(shù)家，運(yùn)動(dòng)員，設(shè)計(jì)師，作家有什么必要掌握高深的數(shù)學(xué)知識(shí)？

難道我們能認(rèn)為那些人就是不聰明的嗎？而且即使是從事科學(xué)和工程研究的人，也依據(jù)自己的專業(yè)方向?qū)?shù)學(xué)有不同的要求，并不需要人人都是數(shù)學(xué)大牛的。一個(gè)孩子如果是普通的數(shù)學(xué)也學(xué)不好，一定是有原因的，找到正確的方法，一般人都不會(huì)學(xué)的太差。如果你想讓孩子奧數(shù)拿獎(jiǎng)，或者成為數(shù)學(xué)大牛，那確實(shí)不是人人能做到的，要根據(jù)孩子的實(shí)際情況客觀評(píng)價(jià)。沒必要一棍子打死。

好了，啰啰嗦嗦講了11個(gè)問題，其實(shí)都是學(xué)文科的老婆平時(shí)問過我的，她一直擔(dān)心女兒數(shù)學(xué)有問題（當(dāng)然現(xiàn)在她在小學(xué)里確實(shí)屬于老師眼中比較笨的”數(shù)學(xué)差生“，自己對(duì)數(shù)學(xué)也不是很有信心）。我對(duì)老婆的回答都寫在這里了，實(shí)話說我對(duì)女兒的數(shù)學(xué)毫不擔(dān)心，也不會(huì)讓她在小學(xué)階段學(xué)什么奧數(shù)，我相信放下功利心，按照常識(shí)培養(yǎng)，堅(jiān)持快樂教育興趣導(dǎo)向必能取得良好的結(jié)果。