高思導(dǎo)引怎么刷，刷幾遍

高思導(dǎo)引系列是學(xué)習(xí)小奧繞不開(kāi)的一個(gè)門(mén)檻，一般有勇氣和實(shí)力開(kāi)始刷導(dǎo)引的孩子基礎(chǔ)都不會(huì)差，并希望通過(guò)刷導(dǎo)引過(guò)程中提高。經(jīng)?？吹接屑议L(zhǎng)在群里問(wèn)，高思導(dǎo)引怎么刷，要刷幾遍？這個(gè)問(wèn)題我在群里從來(lái)不回應(yīng)，畢竟每個(gè)人刷的方式都不一樣，如果詳細(xì)展開(kāi)那么就是今天這篇文章的篇幅。

 公眾號(hào)上已經(jīng)有很多關(guān)于導(dǎo)引的文章，包括自己也寫(xiě)了幾篇，這一篇展開(kāi)的角度不一樣。不是針對(duì)哪一本書(shū)，也不是哪一個(gè)具體知識(shí)點(diǎn)，而是從整體的角度分析這套書(shū)的特點(diǎn)，如何最大發(fā)揮其作用。

 建議在看本文前先閱讀《盡信書(shū)不如無(wú)書(shū)-導(dǎo)引答案之淺見(jiàn)》。

盡信書(shū)不如無(wú)書(shū)-導(dǎo)引答案之淺見(jiàn)

 01現(xiàn)狀

 首先，刷導(dǎo)引之前孩子絕對(duì)不是零基礎(chǔ)，如果還是用第一遍學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)的模式來(lái)復(fù)習(xí)，容易出現(xiàn)題目反復(fù)錯(cuò)的情況，表現(xiàn)就是：孩子獨(dú)立做不出來(lái)，一提示就會(huì)了，然后下次依然做不出來(lái)，周而往復(fù)。感覺(jué)卡在了一個(gè)瓶頸，無(wú)法繼續(xù)深入下去，我目前看到的情況，有很多娃止步于此。

 在有了基礎(chǔ)之后刷導(dǎo)引的方式可能有：

 第一種方式：報(bào)個(gè)導(dǎo)引刷題班學(xué)習(xí)。

機(jī)構(gòu)一般是如下操作，先花10分鐘講一下這節(jié)的基礎(chǔ)知識(shí)，然后就按照順序把這一講題目一道道講下去。先不說(shuō)這些老師本身的水平如何，僅針對(duì)這種授課模式來(lái)說(shuō)，是一種比較低效的學(xué)習(xí)方式。假設(shè)這個(gè)課程2個(gè)小時(shí)，除去10分鐘基礎(chǔ)知識(shí)，還剩110分鐘，一講導(dǎo)引有10+14+8共32題，為了能講完只能刪掉相當(dāng)一部分題目，即使這樣課堂的進(jìn)度也飛快，實(shí)際上很難把題講透。其實(shí)這個(gè)時(shí)間能把超越篇的8道題目都講清楚已經(jīng)不錯(cuò)了。所以這種蜻蜓點(diǎn)水的刷題班，看起來(lái)價(jià)格便宜量又足，比較適合那些覺(jué)得“學(xué)過(guò)+做過(guò)=掌握”的家長(zhǎng)。

 第二種方式：通過(guò)找某些老師錄制的導(dǎo)引講解視頻學(xué)習(xí)。

無(wú)論收費(fèi)還是免費(fèi)，這些視頻我?guī)缀跞催^(guò)，講的好的老師鳳毛麟角。如果你在看視頻時(shí)候，發(fā)現(xiàn)這個(gè)老師講視頻幾乎就是把答案讀一遍，沒(méi)有任何思考和試錯(cuò)的過(guò)程，那么請(qǐng)馬上關(guān)閉這個(gè)視頻，打開(kāi)導(dǎo)引的答案即可。

 看這種視頻一個(gè)最大的問(wèn)題就是：所有的步驟都是對(duì)的，沒(méi)有一步遇到過(guò)問(wèn)題。這和實(shí)際做題情況嚴(yán)重不符。我們?cè)谧鲱}的時(shí)候，找到正確方法可能花費(fèi)整個(gè)時(shí)間的80%以上，將過(guò)程梳理清楚也就是20%，而老師卻用了視頻100%的時(shí)間，講解了有用的內(nèi)容20%。這位老師講解如此流暢絲滑的原因只有一個(gè)，他提前看了答案而已。研究答案也是學(xué)習(xí)的一部分，至少也有思考，但看這種讀答案水平的視頻就連思考的過(guò)程都沒(méi)有了。

 第三種方式：孩子自己刷導(dǎo)引。

孩子刷導(dǎo)引一般都會(huì)先做一遍，對(duì)完答案后把錯(cuò)題標(biāo)出來(lái)，然后隔段時(shí)間再做一遍，也許有第三遍。這種方式的問(wèn)題我在《盡信書(shū)不如無(wú)書(shū)-導(dǎo)引答案之淺見(jiàn)》里面提到過(guò)，導(dǎo)引自己“有問(wèn)題”的答案不少，這個(gè)“有問(wèn)題”不是說(shuō)答案是錯(cuò)的，而是不利于更深入地學(xué)習(xí)。

 02理念

 整套導(dǎo)引雖然分三、四、五、六年級(jí)，但是編寫(xiě)時(shí)候其實(shí)是一個(gè)整體，尤其是四、五、六這3本。四、五年級(jí)的導(dǎo)引是將小學(xué)奧數(shù)的關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行平行展開(kāi)，而六年級(jí)是一個(gè)提升。整個(gè)系列有2個(gè)明顯的坡度，做3導(dǎo)的時(shí)候，簡(jiǎn)單題目比較多，感覺(jué)導(dǎo)引也就不過(guò)如此。到了4導(dǎo)開(kāi)始不太適應(yīng)，如果堅(jiān)持把4導(dǎo)做完，那么5導(dǎo)大概率也能接著做，然后到了6導(dǎo)后，又有一個(gè)明顯的提升，這也是很多孩子6導(dǎo)做不動(dòng)或者沒(méi)做完的原因。

 以上的說(shuō)法就是為了表達(dá)，4、5導(dǎo)大概是一個(gè)難度水平，完全可以打破限制串聯(lián)起來(lái)。我們都說(shuō)奧數(shù)要提前學(xué)，那么導(dǎo)引和大白也可以提前刷，不是說(shuō)你非要跟著書(shū)本的安排，因?yàn)檫@種安排本身就有不合理之處。下面我會(huì)說(shuō)明原因。

 第一個(gè)理念就是：把整套書(shū)看成一個(gè)整體，既要往前看，又要往后看。

具體來(lái)說(shuō)就是每當(dāng)你做了新的一講，要重新審視一下以前做的題目。新的知識(shí)點(diǎn)和方法，對(duì)于解決之前的題目是否有用。

然后再看一下更高年級(jí)的導(dǎo)引，有沒(méi)有難度更大，過(guò)程更復(fù)雜的題目，看一下除了解決現(xiàn)在這個(gè)簡(jiǎn)單的題目外，如果將題目設(shè)置在一個(gè)更加復(fù)雜的情況下，還需要再考慮哪些因素，能否用現(xiàn)在的知識(shí)點(diǎn)解決高階問(wèn)題，通過(guò)高階題目來(lái)檢驗(yàn)是否真的學(xué)明白。

 既然導(dǎo)引是一個(gè)整體，那家長(zhǎng)最好就提前全部刷一遍，有時(shí)間最好大白也都做完。如果還有時(shí)間可以把明心資優(yōu)的例題都看一遍（不用做題）。你把這三套書(shū)全做透，基本上小奧就不會(huì)遇到太大問(wèn)題，，在這個(gè)過(guò)程中，就看家長(zhǎng)和孩子誰(shuí)先放棄了。

 第二個(gè)理念就是：按照主線刷題，將相似的題目放在一起，有梯度地做題。

我們都知道小奧一般分為七大模塊，導(dǎo)引通過(guò)題目的設(shè)置把知識(shí)點(diǎn)串起來(lái)，所以在復(fù)習(xí)和講導(dǎo)引的時(shí)候，一定要把這些內(nèi)容也串聯(lián)起來(lái)，否則就失去了它本身最大的價(jià)值。

這個(gè)主線不是導(dǎo)引的講次，而是將類似的題目放在一起，而這個(gè)主線有很多種分類方式，比如是相似的具體方法，也可以是相似的解題思想，同一道題目出現(xiàn)在不同的主線里面也很正常，完全決定于你要通過(guò)這道來(lái)題說(shuō)明什么。

 第三個(gè)理念就是：以導(dǎo)引為主線，以大白本和其他練習(xí)冊(cè)為輔助進(jìn)行鞏固。

導(dǎo)引的題目本來(lái)數(shù)量就少，而且難題最有價(jià)值的就是第一遍做的時(shí)候，屬于不可再生資源，而家長(zhǎng)搜集題目比改編題目要容易的多。因此為了解決題量不夠的問(wèn)題，需要補(bǔ)充其他練習(xí)冊(cè)類似的題目。

題目既要源于導(dǎo)引，又能不限于導(dǎo)引，還要超越導(dǎo)引。大白本和明心是不錯(cuò)的選擇，當(dāng)然知名機(jī)構(gòu)的講義也可以。為什么以導(dǎo)引而不是大白本為主線呢，因?yàn)榇蟀妆臼羌兇獾念}目集合，并沒(méi)有清晰的主線。

 第四個(gè)理念就是：解題方法不應(yīng)該是老師教的方法，而是通過(guò)老師教的方法里提煉出來(lái)的自己的方法。我們解一道題不是為了做出答案，而是通過(guò)解題掌握這個(gè)方法、以及為什么用這個(gè)方法。

不過(guò)，這個(gè)過(guò)程對(duì)于孩子來(lái)說(shuō)是很困難的，需要高水平的家長(zhǎng)和高水平老師的輔導(dǎo)。先不要說(shuō)家長(zhǎng)，就連有這種水平的老師也不是很多。家長(zhǎng)有時(shí)間可以拿起來(lái)書(shū)來(lái)翻一翻，也許哪天看到了一道題目以后就會(huì)有靈感。雖然過(guò)程比較花時(shí)間，不過(guò)和效果相比，這個(gè)投入還是值得的。

 第五個(gè)理念就是：一題多解和多解歸一。這一點(diǎn)無(wú)論是理念還是案例已經(jīng)說(shuō)過(guò)很多，不在贅述。

03案例

 前面說(shuō)了很多理念，接下來(lái)是實(shí)際操作階段。我們先用一道2星題的標(biāo)數(shù)法講起，下圖是4年級(jí)導(dǎo)引第11講《加法原理與乘法原理》興趣篇的第10題，看起來(lái)平平無(wú)奇，答案就是標(biāo)數(shù)法做的，老師也是這么講。當(dāng)標(biāo)數(shù)法教完了，你可以畫(huà)一個(gè)10×20的格子，然后讓孩子去標(biāo)，只要是正常的孩子都是拒絕的。

4年級(jí)導(dǎo)引上第11講《加法原理與乘法原理》

 那么我們來(lái)重新審視這道題目，其實(shí)完全可以用組合來(lái)做，從A到B為了保持最短路徑必須要走8步，那么就是8個(gè)位置，我們選3個(gè)向上的位置，或者選5個(gè)向右的位置即可，那么就是C(5,2)或者C(8,5)。

 問(wèn)題還沒(méi)有結(jié)束，接下來(lái)做一個(gè)變形，如果要求不能連續(xù)兩步往上走怎么辦。這個(gè)問(wèn)題和上一個(gè)的區(qū)別就是8個(gè)步驟里面，向上的3步要分開(kāi)，解決這種分割的方法就是插空法，相當(dāng)于在6個(gè)空隙里面插進(jìn)向上的3步，也就是C(6,3)。

 這個(gè)時(shí)候可以往前看，回顧一下3年級(jí)導(dǎo)引第14講《枚舉法二》拓展篇第14題。當(dāng)時(shí)沒(méi)學(xué)排列組合，所以用的是樹(shù)形圖，那么既然我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了，那么可以試著做一下，按照橫3豎0和橫1豎2的情況分別求一下。枚舉要花5分鐘，排列組合不超過(guò)半分鐘，這就是用高級(jí)方法降維的優(yōu)勢(shì)。

3年級(jí)導(dǎo)引第14講《枚舉法二》

 下面這道題目同樣出自4年級(jí)導(dǎo)引第11講《加法原理與乘法原理》超越篇，這道題目答案依然用了標(biāo)數(shù)法。其實(shí)求一下總量，然后再減去必須經(jīng)過(guò)黑點(diǎn)的路線即可，而經(jīng)過(guò)黑點(diǎn)就是分為從A到黑點(diǎn)以及從黑點(diǎn)到B兩步，所以我們用3個(gè)組合數(shù)就做出來(lái)了，也就是C(9,4)-C(5,2)×C(4,2)=66，和挨個(gè)標(biāo)數(shù)相比，組合不僅省時(shí)間，而且正確率要高很多。

4年級(jí)導(dǎo)引上第11講《加法原理與乘法原理》

接下來(lái)，把問(wèn)題再進(jìn)行拓展，將題目拓展到三維空間里面，求這道題目里面從左下角到右上角最短路徑有多少條。在三維空間里面標(biāo)數(shù)是一個(gè)極其痛苦的事情（6年級(jí)大白本里面就有這種變態(tài)題目），不過(guò)用排列組合就輕松多了，依然半分鐘解決，當(dāng)然還可以再添加限制條件去拓展，和前面思路一樣。

然后接著做下面這道5年級(jí)大白本第15講《排列組合》第13題，解法也完全一樣。這里多說(shuō)幾句，這道題目的解析是用排列做的，思路比較繞，計(jì)算也繁瑣。其實(shí)可以這樣理解，我一共需要9步，每條線互不影響，所以我只要在9步里面選2個(gè)位置給第一條線就可以，再在剩下的7步里面選3個(gè)給第二條，因?yàn)橐呀?jīng)定序，所以是組合而非排列，也就是C(9,2)×C(7,3)=1260。比答案的先排列再消序要更接近本質(zhì)，雖然計(jì)算結(jié)果上一樣。

5年級(jí)大白本第15講《排列組合》第13題

 到這個(gè)時(shí)候的結(jié)論是就是組合比標(biāo)數(shù)法要高級(jí)嗎，當(dāng)然不是，然后讓孩子總結(jié)，什么時(shí)候用組合方法方便，什么時(shí)候用標(biāo)數(shù)法方便。一般情況下，限制條件少的話，用組合正確率高，因?yàn)闃?biāo)數(shù)時(shí)候很可能手一抖就標(biāo)錯(cuò)了。而在解決條件特別苛刻的時(shí)候標(biāo)數(shù)法比較好用，因?yàn)橄拗茥l件越多，枚舉量就越小。

 接下來(lái)就要看一下標(biāo)數(shù)法的優(yōu)勢(shì)，下面看5年級(jí)導(dǎo)引第22講《計(jì)數(shù)綜合二》拓展篇第13題，這道題目只有四個(gè)位置，那么答案利用加乘原理很容易算出答案。不過(guò)，這道題目可以引出一個(gè)計(jì)數(shù)里面非常重要的方法“階梯標(biāo)數(shù)法”。因?yàn)閷?duì)于位置開(kāi)始有要求，不過(guò)這個(gè)方法在這道題目里面并不能發(fā)揮優(yōu)勢(shì)。需要補(bǔ)充大白本題目。

5年級(jí)導(dǎo)引第22講《計(jì)數(shù)綜合二》

 下面這兩道題目，都是出自6年級(jí)大白本第11講《計(jì)數(shù)綜合二》,這就是階梯標(biāo)數(shù)法的典型應(yīng)用。這個(gè)時(shí)候利用分類討論也能做，不過(guò)略顯復(fù)雜，接下來(lái)可以總結(jié)一下階梯標(biāo)數(shù)法的應(yīng)用場(chǎng)景：在處理對(duì)于大小或者先后有要求的計(jì)數(shù)問(wèn)題。

6年級(jí)大白本第11講《計(jì)數(shù)綜合二》

 在前面兩道題目做完以后，可以做一下6年級(jí)導(dǎo)引13講《計(jì)數(shù)綜合四》超越篇第6題，也是這種做法。

6年級(jí)導(dǎo)引13講《計(jì)數(shù)綜合四》

以上這個(gè)案例，從一道簡(jiǎn)單的2星題開(kāi)始，到了5星題結(jié)束。通過(guò)10道題目回顧了排列組合和標(biāo)數(shù)法，雖然跨度是3-6年級(jí)的導(dǎo)引和5-6年級(jí)的大白本，但沒(méi)有任何一個(gè)知識(shí)點(diǎn)是超綱和無(wú)法理解的，時(shí)間總花費(fèi)為2小時(shí)左右。其他知識(shí)點(diǎn)也可以參考這個(gè)方式。

 回顧一下就會(huì)發(fā)現(xiàn)，出題人給你畫(huà)了一個(gè)標(biāo)數(shù)法的網(wǎng)格，反而是組合更簡(jiǎn)單。而感覺(jué)要用排列組合的題目，更簡(jiǎn)單的反而是標(biāo)數(shù)法。當(dāng)你真正去研究的時(shí)候，會(huì)發(fā)現(xiàn)一道題目可以變成很多道題目，很多題目其實(shí)就是一道題目。只是在不同的情況下要用不同的方法，如果你在做完題困惑于為什么我想不到這種方法呢？想不到就是因?yàn)闆](méi)有理解，沒(méi)有和命題人產(chǎn)生共鳴。

 還比如，可以把導(dǎo)引里面的行程問(wèn)題都嘗試能否用柳卡圖來(lái)做，不一定全能做出來(lái)，但是能做出來(lái)的題目，可能會(huì)發(fā)現(xiàn)簡(jiǎn)單很多。比如下面6年級(jí)導(dǎo)引第14講《行程問(wèn)題六》超越篇這道題目，答案占用了一頁(yè)紙，篇幅非常長(zhǎng)，如果用S-T圖來(lái)表示，過(guò)程會(huì)簡(jiǎn)潔很多。

 6年級(jí)導(dǎo)引第14講《行程問(wèn)題六》

04總結(jié)

 很多孩子的問(wèn)題在于上了很多課，做了太多題，學(xué)了太多的方法，而老師在教他們的時(shí)候。只說(shuō)了這個(gè)方法怎么用，卻沒(méi)有說(shuō)清楚為什么這么用，有什么局限性，還有沒(méi)有其他方法，所以面對(duì)難題的時(shí)候，空有一身武功無(wú)處施展。

 學(xué)習(xí)是先做加法再做減法的過(guò)程，做加法就是不斷學(xué)習(xí)各種技巧，而研究導(dǎo)引就是在做減法，減去個(gè)性保留共性。很多高手都說(shuō)做題沒(méi)有什么技巧，其實(shí)他們都是經(jīng)過(guò)了嚴(yán)格的技巧練習(xí)。減到最后剩下的就是解題的“感覺(jué)”，這種“感覺(jué)”無(wú)法描述，卻又無(wú)處不在。