五年級(jí)高思導(dǎo)引學(xué)習(xí)心得

《導(dǎo)引》應(yīng)該說只是給學(xué)生建立了一個(gè)學(xué)習(xí)的標(biāo)桿或者大綱。我的建議是在做一道導(dǎo)引題之后，根據(jù)學(xué)生的掌握情況，再做一兩道類似的題目加以鞏固，這樣孩子才有可能對(duì)相關(guān)的方法和技巧有良好的認(rèn)識(shí)。然后按照這樣的模式，一道題一道題的慢慢做，循序漸進(jìn)的積累，使孩子在數(shù)學(xué)上越來越“成熟”。

02理念

首先討論一個(gè)現(xiàn)象，網(wǎng)上很多人對(duì)于導(dǎo)引的難度評(píng)價(jià)不一致。有的人說導(dǎo)引題目太老，難度已經(jīng)跟不上了。還有人說做完了導(dǎo)引發(fā)現(xiàn)能力沒啥提升。北京十大名師之一的老師曾經(jīng)說過，能把一本導(dǎo)引吃透的孩子，北京一屆不超過50人。作為家長(zhǎng)，我只是做完了全套導(dǎo)引，應(yīng)付平時(shí)的奧數(shù)題目已經(jīng)游刃有余了，那么為什么會(huì)有差別如此之大的說法呢。

其實(shí)開頭姚博士的文章已經(jīng)給了答案，好的文章是要定期反復(fù)讀的，隨著閱歷的加深每次都有不同的想法，每當(dāng)做完一本導(dǎo)引我就仔細(xì)看一遍。我的做法也是按照他的思路來，中間再及時(shí)修正。下面我直接說一下重點(diǎn)：

要高質(zhì)量和高水平的刷題，看過不等于理解，做完不等于掌握。水一遍不如留著將來做（當(dāng)然也可能沒有將來）。人的思維慣性非常大，特別是錯(cuò)誤的慣性，一道有難度的錯(cuò)題一般做3遍才能掌握（不是背答案）。因此，當(dāng)下決心做完一本書的時(shí)候，一定要堅(jiān)持做完，遇到問題就解決問題，不要自欺欺人地 “做完”，沒有決心干脆就別做。

數(shù)學(xué)上沒有哪個(gè)結(jié)論是證明不出來的，孩子不能理解和證明的結(jié)論，是沒有意義的結(jié)論，也是記不住的結(jié)論。每一個(gè)高年級(jí)的知識(shí)點(diǎn)都需要前面的鋪墊，每一個(gè)高年級(jí)的題目都是之前多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的綜合。只靠背結(jié)論，在低年級(jí)內(nèi)容不多還可以，但到了高年級(jí)是絕對(duì)背不完的。

當(dāng)發(fā)現(xiàn)一個(gè)知識(shí)點(diǎn)掌握不好的話，最該做的就是仔細(xì)去推導(dǎo)和證明之前的基礎(chǔ)知識(shí)，而不是找更多同等難度甚至高難度的題目再做。否則就學(xué)亂了，簡(jiǎn)單題出錯(cuò)，中檔題不穩(wěn)，難題不會(huì)。這個(gè)我在《淺談低年級(jí)和高年級(jí)奧數(shù)學(xué)習(xí)方法的區(qū)別》里面詳細(xì)說過。

從知識(shí)點(diǎn)上來說，小奧和初中幾乎沒有關(guān)系，但是從思維能力上來說，小奧肯定能夠覆蓋中考的難度，我研究過本市中考的部分理科試卷，如果孩子小學(xué)能夠掌握4星難度，那么將來中考時(shí)，絕大多數(shù)題目都是口算題，我想這也是小奧能起到選拔作用的原因。

03路線

難度要適合：簡(jiǎn)單題直接跳過，過難題目不要硬上。總的原則還是要負(fù)重訓(xùn)練。星級(jí)至少比目標(biāo)高1星，比如分班考是3星難度，那么平時(shí)最高就要到4星才能保證穩(wěn)拿3星。這就是降維的優(yōu)勢(shì)，我們從不提前校內(nèi)，就是用小奧的知識(shí)體系來學(xué)習(xí)，沒有任何問題。理論上是不存在奧數(shù)成績(jī)好但校內(nèi)不行的。

家長(zhǎng)要提前準(zhǔn)備：比如做完一道題目以后，能不能現(xiàn)場(chǎng)再編一道類似題目，或者準(zhǔn)備一道看起來類似但其實(shí)不一樣的題目。如果自身能力不夠也沒關(guān)系，可以找找其他練習(xí)冊(cè)提前準(zhǔn)備，畢竟常見的經(jīng)典題型就那么多。就像姚博士在前面說的：“在做一道導(dǎo)引題之后，根據(jù)學(xué)生的掌握情況，再做一兩道類似的題目加以鞏固，這樣孩子才有可能對(duì)相關(guān)的方法和技巧有良好的認(rèn)識(shí)。”

如下圖，每個(gè)題目增加一些相同方法的難度稍微更高一些的題目?；蛘呤沁m應(yīng)性更強(qiáng)的題目，比如原題是長(zhǎng)方形，那么思考在平行四邊形甚至任意四邊形是否也適用。一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)在角上適用，那么這個(gè)點(diǎn)放在邊上，圖形的內(nèi)部甚至圖形外部是否結(jié)論依然成立，這樣孩子在學(xué)習(xí)了一個(gè)新的方法以后，可以檢驗(yàn)到底有沒有吃透，也可以拓展思維。

我做完整的一講導(dǎo)引需要一個(gè)小時(shí)左右，但是要準(zhǔn)備給孩子講題至少要再花一個(gè)小時(shí)，這一個(gè)小時(shí)我要思考孩子會(huì)掉那些坑，如何幫她爬起來。如果我對(duì)答案或者自己的做法不滿意，我會(huì)再去找其他的資料，比如《明心資優(yōu)》、《奧數(shù)教練員手冊(cè)》，或是各位老師的課程，老師的清單詳見《雙減時(shí)代家長(zhǎng)自雞奧數(shù)心得》

多給孩子一些留白思考的時(shí)間，把做題變成討論題。到了高年級(jí)，除了我在《淺談低年級(jí)和高年級(jí)奧數(shù)學(xué)習(xí)方法的區(qū)別》中提到的以外，還有一個(gè)區(qū)別在于聽課和做題的時(shí)間比例問題，低年級(jí)如果跟一個(gè)機(jī)構(gòu)，上課加上作業(yè)每周不會(huì)超過5小時(shí)，那為什么很多高年級(jí)的孩子每周學(xué)習(xí)小奧要超過10個(gè)小時(shí)呢？除了多奧的因素外，主要時(shí)間都用在了做題和思考上，孩子之間的差距也就在這里。

一題多解，多解歸一。即使是導(dǎo)引上簡(jiǎn)單的題目，也可以深入研究，就是簡(jiǎn)單問題復(fù)雜化。五導(dǎo)的答案基本只有一種解法，但是每當(dāng)做完了一道題目，家長(zhǎng)可以分析有沒有其他的解法，和孩子在不斷的總結(jié)中共同進(jìn)步，下面我舉一個(gè)例子。

這是第14講《直線型計(jì)算二》興趣篇的第8題，這是一道難度不大的2星題，解析通過直接求邊上三個(gè)三角形的面積間接求出，相當(dāng)于是利用了面積公式，除了這種方法我又用一半模型、等積變形和比例三種方法分別解答。

遇到難題多堅(jiān)持一下。做難題過程中，思維的鍛煉和成績(jī)提升是顯性福利，堅(jiān)忍不拔品質(zhì)的提升是隱性福利，孩子的學(xué)習(xí)能力和他面對(duì)難題時(shí)堅(jiān)持的有效時(shí)間成正比。如果你家孩子遇到4、5星題目的時(shí)候，就算做不出來，只要孩子還在思考，除非是時(shí)間太長(zhǎng)了，否則不要輕易打斷。

最后也是最重要的，學(xué)習(xí)盡量少走彎路，但是沒有捷徑。課是必須學(xué)的，題是必須做的。有很多家長(zhǎng)會(huì)糾結(jié)選那個(gè)老師的課，刷那本練習(xí)冊(cè)，但沒有那個(gè)老師的課是完美的，沒有那本練習(xí)冊(cè)是最好的。無論是孩子還是家長(zhǎng)，每天一道一道題目做下去就行了。

04模塊

關(guān)于各模塊的特點(diǎn)我在《淺談低年級(jí)和高年級(jí)奧數(shù)學(xué)習(xí)方法的區(qū)別》說的已經(jīng)比較詳細(xì)了，但是我當(dāng)時(shí)忘說了一個(gè)問題，就是各模塊的學(xué)習(xí)順序，某些模塊確實(shí)有先后，接下來我會(huì)按照做題順序展開，并說明理由。
 

數(shù)論：其實(shí)機(jī)構(gòu)一般四下就引入，最先學(xué)的原因是數(shù)論的知識(shí)點(diǎn)是通用的，學(xué)完以后再看很多問題會(huì)有不一樣的想法。小奧的數(shù)論很難，但是五導(dǎo)除了第19講以外，其他數(shù)論模塊的題目都不太難，整除、因倍質(zhì)合、余數(shù)、位值原理這些知識(shí)點(diǎn)都是相通的，學(xué)了一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，會(huì)對(duì)其他的知識(shí)點(diǎn)有更深的理解。

如果對(duì)于深度有一定要求，那么五導(dǎo)的數(shù)論無論從數(shù)量還是難度都不夠，可以繼續(xù)做六導(dǎo)的數(shù)論綜合一、二、三，或者四、五年級(jí)大白本對(duì)應(yīng)的內(nèi)容，五導(dǎo)的數(shù)論只是一個(gè)起點(diǎn)。

計(jì)算：五年級(jí)計(jì)算引入了分?jǐn)?shù)的計(jì)算，分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)需要先掌握數(shù)論的知識(shí)。剛開始分?jǐn)?shù)的計(jì)算會(huì)有一些不適應(yīng)，平時(shí)每天要多加練習(xí)，如果分?jǐn)?shù)計(jì)算基本功沒有打好，后面的應(yīng)用題、行程、幾何都要受影響。估算的部分相對(duì)較難，因?yàn)橐郧暗亩际堑仁?，如何進(jìn)行縮放會(huì)是一個(gè)難點(diǎn)。

應(yīng)用題：五導(dǎo)最大的變化就是引入了分?jǐn)?shù)和比例，所以要有過硬的計(jì)算基本功。算術(shù)方法簡(jiǎn)潔，一般從找不變量和公共量入手，或者列方程解決。這三講其實(shí)沒有什么區(qū)別，都是同一個(gè)問題，工程問題和行程問題的思維方式其實(shí)更加類似。這部分到了高年級(jí)既不是重點(diǎn)也不是難點(diǎn)，無論用什么方法，能做出來就是好方法。

行程：行程是高難度應(yīng)用題，導(dǎo)引里面的行程都不簡(jiǎn)單，題干文字多，過程復(fù)雜，四、五導(dǎo)的行程都是難度最高的章節(jié)之一?！缎谐虇栴}四》是流水行程和環(huán)形路線，和四導(dǎo)的火車過橋是同一難度?！杜３圆莺顽姳韱栴}》里面，牛吃草是四年級(jí)課本的內(nèi)容，所以難度不大。鐘表問題也是行程中的相遇和追及。

《行程問題五》是變速問題，這是一個(gè)難點(diǎn)，處理變速問題除了通過“同時(shí)同線，專人專線”比較外，主要是引入了假設(shè)法這個(gè)新知識(shí)點(diǎn)，另外還要依靠比例和方程這兩個(gè)利器。難題做不出來非常正常，有的題型見識(shí)一下就可以了。

幾何：《直線型計(jì)算二、三》主要就是研究比例，經(jīng)過計(jì)算、應(yīng)用題和行程對(duì)于比例的鍛煉后，就沒有計(jì)算上的壓力。幾何的學(xué)習(xí)方法是把基本功打好，通過中檔題目的練習(xí)吃透知識(shí)點(diǎn)。圖形再復(fù)雜，也是由線段和角度組成的，如何能找到其中的聯(lián)系需要訓(xùn)練，幾何不是通過難題練出來的，而是中檔題目練出來的。

很多人說輔助線難做。輔助線也不是憑感覺畫的，而是需要一定在那里或者將圖形旋轉(zhuǎn)過去。沒有原因的輔助線就是瞎畫，熟悉了之后自然就有做題的感覺。

幾何模型很多，本質(zhì)上就是共邊和共角。不需要記結(jié)論，而是要記住證明過程，第一反應(yīng)是找比例，而不是想是哪個(gè)模型，什么鳥頭、風(fēng)箏、燕尾、飛鏢、雙峰、金字塔、沙漏這些，就是為了讓孩子容易記住起的名字，僅此而已。水平不行的才會(huì)講模型，應(yīng)該講共性，而不是特性。

要想幾何掌握的好，必須要多畫圖，在畫圖中找規(guī)律，然后再講解知識(shí)點(diǎn)固化。比如講直線型計(jì)算的比例，不用上來就講，而是指定一個(gè)三角形，讓孩子想各種辦法4等分，這個(gè)操作的過程，就是孩子運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)的過程，這個(gè)才能記得牢，你多花的這個(gè)時(shí)間，等后面學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)會(huì)節(jié)省回來，等做到導(dǎo)引類似下圖這種題基本就是直接做，因?yàn)檫@個(gè)圖之前做出來過。

計(jì)數(shù)：計(jì)數(shù)和組合放在最后主要是難度的考慮?！栋c排除》就是容斥原理，這個(gè)模塊的題型較為固定，不會(huì)有太大的變化。之前的計(jì)數(shù)講究的是不重不漏，實(shí)際做題很難滿足，那么容斥原理研究的是如何處理重和漏，需要有較好的和差倍和數(shù)陣圖基礎(chǔ)。

《幾何計(jì)數(shù)》這一講的難度不高，但和所有的計(jì)數(shù)題目一樣，極其容易做錯(cuò)，考試很難全對(duì)。枚舉對(duì)技術(shù)要求低，但是非常容易漏，排列組合更多是從總體考慮，和枚舉相比正確率更低。越高級(jí)的方法，對(duì)于水平要求越高。如果是重要的比賽，優(yōu)先枚舉，另外枚舉也是一種能力。

本來數(shù)論和計(jì)數(shù)就難，《計(jì)數(shù)綜合二》是關(guān)于數(shù)論、數(shù)字謎和計(jì)數(shù)交叉知識(shí)點(diǎn)，肯定能做出來一些，但全部做出來難度還是很大，連我自己做正確率也不高。

組合：組合基本就是把所有的難題組合到一起?！稊?shù)字謎綜合一》需要結(jié)合分?jǐn)?shù)、循環(huán)小數(shù)、比較與估算、數(shù)論的知識(shí)點(diǎn)，難度還是不小的。用到的分類討論特別多，過程極其麻煩，一邊做題一邊就會(huì)發(fā)現(xiàn)天賦對(duì)于奧數(shù)的重要性。

《構(gòu)造論證一》主要研究?jī)蓚€(gè)問題，是否存在和最值問題。前者只需要構(gòu)造，后者既需要構(gòu)造，也需要論證。小奧學(xué)過的所有方法都可以放進(jìn)來，最重要的還是數(shù)論，需要多做多題，如果一種類型的題目不會(huì)，一定要多補(bǔ)充類似的題目。

《抽屜原理二》最難的就是構(gòu)造抽屜，還是需要數(shù)論的知識(shí)（任何模塊只要和數(shù)論結(jié)合都很難），關(guān)于這方面我建議還是多見見題型，有些經(jīng)典的抽屜構(gòu)造方式要記住，不是說硬記，而是嘗試構(gòu)造其他方式再對(duì)比，理解為什么這么構(gòu)造抽屜。

05總結(jié)

我家孩子一下做完三導(dǎo)，二上四導(dǎo)，現(xiàn)在二下在做五導(dǎo)，這個(gè)進(jìn)度其實(shí)不算太慢，但我從來沒有因此而得意，因?yàn)槲易约悍浅Ｇ宄?，拓展篇題目雖然掌握了，但是有的章節(jié)第一次正確率并不高。很多超越篇題目孩子并沒有吃透，只是我給她講會(huì)了，當(dāng)時(shí)能夠跟上思路，再遇到還是大概率不會(huì)，以后的路還很長(zhǎng)。

其實(shí)家長(zhǎng)親自教孩子并不是最優(yōu)的方法，因?yàn)樵谀憬o孩子講的時(shí)候，你的角色首先是一個(gè)家長(zhǎng)，其次才是老師，這就注定了你的劣勢(shì)地位。就像我曾經(jīng)說過的，嚴(yán)于律己，寬以待娃。