盡信書不如無書-導(dǎo)引答案之淺見

在《五年級高思導(dǎo)引學(xué)習(xí)心得》里面提到，因為出題和編寫答案的不是同一批人，導(dǎo)引有一些解析略有瑕疵。但因為篇幅問題就沒展開。正好我五一假期有時間，就翻閱了一下之前的講義，拿出一些典型的題目一起分享。 

01理念

 我見過最優(yōu)秀的教材是《明心資優(yōu)》，最優(yōu)秀的練習(xí)冊是《高思導(dǎo)引》。從出版物的用心程度，就能看出機(jī)構(gòu)的責(zé)任心。本人非常推崇高思導(dǎo)引系列，如果不喜歡，我就不會研究這么多。如果你只做一套書，那么導(dǎo)引絕對是第一選擇。優(yōu)秀的題目是不可再生資源，導(dǎo)引要省著刷。

 首先我們討論一個問題，如何高效率的做題。把題目做對這只是最基本要求，還要明白這個題目的所有知識點，出題人是怎么想的，有沒有其他解法。在家長帶著孩子做題的時候，不能僅僅對個答案，而是要榨干每一道題目的價值。如果老師或者網(wǎng)課僅是把答案復(fù)讀一遍，還不如讓孩子自己鉆研。

 不過凡事都有利弊，1道題講4種解法就是4道題的時間，同樣時間可以多做幾道題，往往老師和家長都不愿意面對這樣的結(jié)果，反正題目都會了，為什么還要研究其他的解法呢，但是磨刀不誤砍柴工，基礎(chǔ)打好后面速度就起來了。如果不止?jié)M足于淺奧，想穩(wěn)拿3星或者挑戰(zhàn)更難的題目，可以嘗試一下這種做法。

02瑕疵

 導(dǎo)引答案的問題在于內(nèi)容詳略不當(dāng)，關(guān)鍵的切入點講解偏少，無關(guān)的解答過程偏多。有的題目缺乏一題多解，有的題目有更簡潔的方法。還有一個問題就是沒有試錯的過程，和平時做題的順序是相反的。我想主要原因是導(dǎo)引是按照各模塊的邏輯來分類，這種邏輯決定了在非綜合題型中其他模塊的知識點要盡量不在本講中使用。另外導(dǎo)引解析已經(jīng)占用了一半篇幅，如果再增加可能也嫌太多了。

 還有一個很大的問題是，很多機(jī)構(gòu)和教材過度強(qiáng)調(diào)技巧性和特性，缺乏通用的方法。如果每道題目都學(xué)一個方法，那么方法是學(xué)不完的，遇到新題也不會做。數(shù)學(xué)里很多方法和思想其實都是通用的，到了高年級更要打通，這個我在《淺談低年級和高年級奧數(shù)學(xué)習(xí)方法的區(qū)別》也有過說明。而我們就是要在通用的方法里面做文章，這樣才能在提高成績的前提下，更大限度地訓(xùn)練出能力，這也是常見的理科思維。

 這些方法，有的是我自己想的，有的是從其他書或者老師的課程中學(xué)的。不管這個方法是誰的方法，我會了就是我的方法。其實更多的是在和孩子的講課中想到的，因為我鼓勵孩子多提問，所以她會問一些大人不容易想到的角度，另外我還得告訴孩子，她的方法錯在哪里，如何進(jìn)行修正。所以自雞是一個家長和孩子不斷學(xué)習(xí)，互相成長的過程。如果這樣保持下去，慢慢的孩子也會養(yǎng)成善于提問和思考的風(fēng)格，從而在枯燥的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中找到一些樂趣。

 我給孩子講題的時候以主流解法為主，其他方法可做參考和提高，并不要求掌握，能夠理解即可。我想給孩子傳遞一個思想，解決數(shù)學(xué)問題是有很多種方法的，只要能做出來怎么都可以。讓孩子多比較各方法的異同，這樣才能構(gòu)建知識的網(wǎng)絡(luò)，將分散的知識點統(tǒng)一起來。

 以下是我從三、四、五年級導(dǎo)引選的12道題目分9個案例，七大模塊每個至少一題，每個模塊都有自身的特點，但有很強(qiáng)的適用性，完全可以推廣到其他的題目，沒選六年級是因為題目偏難，另外孩子也沒學(xué)到。

  03案例

 案例1：觀察法VS頂點編號

三導(dǎo)第10講《幾何圖形的認(rèn)知》

 上面這道題目出自三導(dǎo)第10講《幾何圖形的認(rèn)知》超越篇，解答的方法可以視為“觀察法”。那么我們除了“瞪眼”外還能有其他什么方法呢。我經(jīng)常跟孩子說，如果一道題目不會做，但知道為什么不會，那么往往這個題目也就能做出來了。本題展開圖難畫，主要是因為立體到平面沒有參考物，所以只要建立一個參考系就解決了，我想過幾種方法，包括做輔助線，給棱長編號等，我覺得給頂點編號是最容易理解的。

 案例2：用幾何法解決雞兔同籠問題

三導(dǎo)第17講《雞兔同籠問題二》

 上面這道題目出自三導(dǎo)第17講《雞兔同籠問題二》超越篇，解答用的是常規(guī)的假設(shè)法，方法沒問題，但是略顯繁瑣。應(yīng)用題的精髓在于畫圖，基本上所有雞兔同籠都可以畫圖，這個題目有三種卡片，每種有兩個數(shù)值，面積可以表示卡片數(shù)量和數(shù)值兩個變量，畫完圖后各條件已經(jīng)很清晰了，所用的方法也就是長方形面積割補(bǔ)，這個對于三年級來說不困難。

 同一講拓展篇的類似題目，當(dāng)然也可以用面積法（相當(dāng)于轉(zhuǎn)化為純幾何題目）解決，我會給孩子展示后問她更容易接受哪個，習(xí)慣用哪個就用哪個，至少會一種方法能把題目做出來，其他了解即可。

三導(dǎo)第17講《雞兔同籠問題二》

案例3：簡化枚舉過程

 三導(dǎo)第7講《周期問題》

上面這道題目出自三導(dǎo)第7講《周期問題》超越篇，解答直接從61、62枚舉，然后再從69開始枚舉，簡單直接，但是比較依賴運氣，如果題目問的是所有可能性那要61-69全算一遍嗎。其實當(dāng)從右往左報的時候，最后一個只有報1、2、3三種可能，分別試一下就行了。先得到所有解，再看最值就很方便了，計算過程也不比答案復(fù)雜。

案例4：行程問題的一題多解

四導(dǎo)第5講《行程問題一》

 上面這道題目出自四導(dǎo)第5講《行程問題一》拓展篇，解答用的法一，但孩子在畫圖時候，關(guān)于如何處理這個2小時有些疑惑，我感覺她更多是跟著感覺在畫，所以我補(bǔ)了法二來對比兩種方法的異同。如果不想畫圖，也可以直接用和差倍和比例。

這里重點說一下解法三，行程問題就是應(yīng)用題，前面說了雞兔同籠的面積法，本題也可以用行程的面積法。兩次面積相等，說明陰影的兩塊面積相等，移多補(bǔ)少即可。本題也可以在平均數(shù)問題中考察，此時題目就變?yōu)椤耙粋€房間里面有一些水果，每個人平均能分45個，然后又進(jìn)來了2個人，每人只能分30個，求最后房間里多少人。

 行程問題離不開畫圖，一般的圖主要看路程關(guān)系，通過面積的話好處就是說非常直觀的能找到速度，時間和路程的關(guān)系，有點類似于初中和高中的物理里勻速直線運動的表示方法。

五導(dǎo)第5講《行程問題四》

 上面的題目出自五導(dǎo)第5講《行程問題四》拓展篇，解答用的其實是雞兔同籠的方法，在三年級這個題目就是“有變異雞兔180只，變異雞1頭20腳，變異兔1頭28腳，雞兔總腿和數(shù)量相等，求各有多少條腿”。

  但為什么五導(dǎo)還要用三導(dǎo)的方法呢，為什么不把這道題目放在三導(dǎo)標(biāo)記為4星題呢。本題最簡單的解決方法就是比例法，也可以用面積圖，這里不再贅述。

 案例5：提前鋪墊高階方法

三導(dǎo)第14講《枚舉法二》

 上面的題目出自三導(dǎo)《枚舉法二》超越篇，答案是樹形圖，這是基本方法，也是必須要掌握的方法。孩子細(xì)心做出來問題不大。當(dāng)畫完樹形圖以后，讓孩子找樹形圖的規(guī)律，引入“階梯標(biāo)數(shù)法”，與此類似，乘法原理、傳球法等也是基于樹形圖的提煉和拔高，在導(dǎo)引里面都有對應(yīng)題目，可以提前鋪墊。

下面這道數(shù)論出自五導(dǎo)《余數(shù)問題》超越篇，非常經(jīng)典的題目，幾乎所有老師在講這道題目時，用的都是導(dǎo)引的解答。這個答案沒有任何問題，簡單易懂，計算量也不大。討論這道題目的原因是要研究更深層次的東西。為什么當(dāng)周期是4的倍數(shù)時候，答案正好是0呢，難道是巧合嗎？

五導(dǎo)第16講《余數(shù)問題》

 在研究之前，先要鋪墊幾個“超綱”知識點。

首先是余數(shù)的范圍，在課內(nèi)的范圍，余數(shù)定義是整數(shù)除法中未被除盡的部分，取值為0到除數(shù)（不包括）之間的整數(shù)?，F(xiàn)在先進(jìn)行推廣，余數(shù)取值能否向上超過除數(shù)，以及向下為負(fù)數(shù)呢，其實是可以的。因為“被除數(shù)=除數(shù)*商+余數(shù)”，只要給余數(shù)不斷加減除數(shù)就可以了，這個理念其實在余數(shù)的可加減性那里就遇到過，就是同余式的理念。讓余數(shù)為負(fù)值，處理余數(shù)問題（比如物不知數(shù)）時，可以大大減少計算量。

 第二是負(fù)數(shù)的冪次計算，比如-1的平方是多少，也就是為什么負(fù)負(fù)為正，這個用四則運算規(guī)律很容易證明。這種周期求余通用做法是找到余數(shù)為1的情況從而找到周期，其實找到了余數(shù)為-1時候，也就找到了，因為再過半個周期后，余數(shù)就變?yōu)?了。

  接下來我們開始處理這個題目，求一個數(shù)后兩位，等同于求這個數(shù)除以100的余數(shù)，而100的范圍太大了，這道題之所以簡單就是因為7的 4次方就找到了01。而更加通用的做法是分解求余，分別找模4和模25的規(guī)律?；跀?shù)感發(fā)現(xiàn)7≡（-1）mod（4），49≡（-1）mod（25），所以這兩個數(shù)列的規(guī)律性很強(qiáng)，因此最終結(jié)果就是0。

 在低年級引入高級解題技巧沒有問題，要給孩子貫徹的思想是，將來我們會學(xué)更加高級的方法，但這種高級的方法基于現(xiàn)在的基本方法，所以我們需要現(xiàn)在把基礎(chǔ)打好，對高級的方法爭取能聽明白，掌握是將來的事情。提前了解高級的方法，再觀察基本解法，會對于知識點理解更深，孩子的眼界也會更加開闊。

案例6：使用本年級的高階方法而不是低年級的方法

五導(dǎo)第6講《幾何計數(shù)》

 上面的題目出自五導(dǎo)第6講《幾何計數(shù)》超越篇，答案按照梯形的上底的弧長分類，但加法原理是四導(dǎo)內(nèi)容，五導(dǎo)可以用更高階的做法——排列組合。梯形的特征就是一組邊平行，那么我們只需要找到所有的一組邊平行的四邊形，去掉長方形就可以了。

 構(gòu)造平行線有兩種方法，一種是中間偶數(shù)個點，一種是中間奇數(shù)個點。去除長方形也有兩種方法，一種是每種情況單獨去除，還有就是最后統(tǒng)一去除。這里又引入了一個問題，在這個圖里面怎樣找到有多少個長方形？不需要枚舉，6×5÷2就可以了。

 排列組合其實就是乘法原理，但不是所有東西都能用乘法，所以在用之前一定要提前知道哪些情況是需要排除的。計數(shù)是一個極其鍛煉思維嚴(yán)謹(jǐn)性的模塊，做計數(shù)題目其實就是制定一個解決方案，如何分類別和如何分步驟非常重要。一定要多想，否則你永遠(yuǎn)不知道自己的知識網(wǎng)還有哪些漏洞。

 案例7：畫圖簡化思考過程

四導(dǎo)第23講《最值問題一》

 上面的題目出自四導(dǎo)《最值問題一》拓展篇，解答給了兩種方法，第一種太繁瑣，第二種也好不了多少。其實這個題目就是一個“選址問題”，要修一個快遞站，求離5個點距離和的最小值，我們都知道選址問題要選中間的，就算不知道這個結(jié)論，給孩子畫這個圖，也比解釋半天要直觀的多。

案例8：使用弦圖的割補(bǔ)

五導(dǎo)第14講《直線型計算二》

 上面的題目出自五導(dǎo)第14講《直線型計算二》超越篇最后一題，小奧幾何分為兩個階段，低年級靠割補(bǔ)和平移，高年級靠比例，這道題目顯然用比例是很難做出來的。不如我們換個思路割補(bǔ)，正方形由于對稱性非常容易構(gòu)造，我們做一個弦圖，陰影面積就是外面四個長方形面積的一半，這個方法雖然輔助線也很多，但是方法更簡單，也更容易記住。

 案例9：使用標(biāo)準(zhǔn)的通用方法

五導(dǎo)第9講《比較與估算》

 上面的題目出自五導(dǎo)第9講《比較與估算》超越篇，解答給的有些費解，把1/10和1/20單獨拿出來不參與放縮雖然更加精確，但完全沒有必要。其實這一類題目的通用方法應(yīng)該是首尾相加放縮，偶爾有相對復(fù)雜的題目需要分段分組放縮。

04總結(jié)

 學(xué)習(xí)就是一個不斷提升的過程，網(wǎng)課、書籍只是一個媒介，通過做題和思考總結(jié)適用于自己的方法，而不是復(fù)制其他的方法。沒有哪道題目是靠“靈光一現(xiàn)”做出來的，如果平時多思考，做題時自然有一種“水到渠成”的感覺。