親子學奧數(shù)—幾何發(fā)展史3

自得其樂的魚

2013

2011

2019-12-26 11:15 原創(chuàng) · 圖片5

?昨天我們對歐幾里得的《幾何原本》作了詳細的了解，并知道歐氏幾何在2000多年的漫長歲月中，影響了人們的生活。

但如果我們一直停留在僅學習已有知識的認知層面，那么很多人類的進步可能都無法產(chǎn)生。

數(shù)學乃至科學的發(fā)展，都是由無數(shù)的質疑、追問和探尋推動的。對歐氏幾何基礎的第五公設，人們傾注了大量的心血去嘗試證實（證明是對的）或者證偽（證明是錯的），并由此引發(fā)了人類從歐氏空間到黎曼空間的認知變革，推動了我們更好的認識整個宇宙。

歐氏幾何的第五公設

讓我們先來回顧一下歐氏幾何里的第五公設

：一條直線與另兩條直線相交，如果同一側的兩個內角之和小于兩直角，那么兩條直線，如果無限延伸，就會相交。

圖片來源《這才是好讀的數(shù)學史》 P218

這個假設說明這樣的一對線不是平行線。在《幾何原本》中，歐幾里得大量用它建立了平行線、平行四邊形和正方形的基本性質，因此這條公設也被稱為平行線公設

?；诘谖骞O實質上也是構建了一個歐氏空間，可以理解為類似正方體形狀的一種空間，在這個空間中存在真正的直線、平面和平行。由于第五公設并不像其他4條公設那么簡單明了，人們認為這是歐氏幾何的瑕疵，曾被法國數(shù)學家達朗貝爾戲稱為“幾何學的家丑”。為了掩飾這一家丑，不斷有數(shù)學家對其進行改造，希望將他改造的更易理解和接受，其中沿用至今的就是普萊費爾公理：過已知直線外一點，有且僅有一條直線與已知直線平行。

非歐幾何

非歐幾何的誕生，正是源于對這一家丑的研究。有趣的是，三位數(shù)學家在相互毫不知情的情況下，用類似的方法分別創(chuàng)建了非歐幾何，他們分別是德國的高斯、匈牙利的J.鮑耶和俄國的羅巴切夫斯基。這三位數(shù)學家都從普萊費爾公理出發(fā)，判定過已知直線外一點能作多于一條直線平行于已知直線。他們的判定都需要先對空間進行改造，不能還在我們熟悉的這個四平八穩(wěn)的空間中開展證明。例如下圖中橢圓，你一定不能把它僅僅看做我們生活空間中的一個平面的橢圓，而要將其看做一個獨立的橢圓形無限大的空間，這就是一個羅巴切夫斯基空間的圖例。在這個空間中，數(shù)學家證明了APC與BPD都平行于AB，從而在這個空間里推翻了歐幾里得幾何。

圖片來源：《數(shù)學簡史》 P230

這里的確有些繞腦，沒有關系，畢竟我們不是為了真的投入到非歐幾何的研究中，你只需要知道，當我們能夠轉換視角時，有那么一種空間（也許真的存在，也許只在我們腦海中），在其中歐氏幾何不再是真理一般的存在。

黎曼幾何

類似于人們最初認為地球是平的，后來才認識到地球是圓的。對于空間的認知也要放在不同的角度來看。當我們只觀察身邊的局部世界時，世界在我們眼中是屬于歐氏空間的，海面那么平，地平線那么直。

但當我們假設自己站在月球回望地球，世界在我們眼中就是一個球體，原本在局部世界中平行的兩條線，最終都會在球體的兩端相交，在球體的表面，也沒有任何真正的平面和直線可言，也就是說歐氏空間不復存在。再來看一個有趣的反例：麥比烏斯帶

圖片來源：《數(shù)學的故事》P181 海南出版社

它是一個奇特的拓撲空間，它只有一個面。如果將兩個麥比烏斯帶連接起來，會組成一個克萊因瓶。它只有一個面，沒有邊界。

圖片來源：《數(shù)學的故事》P187 海南出版社

那么有沒有統(tǒng)一的密碼來解釋宇宙中的所有空間？黎曼幾何應運而生。

黎曼將n維空間稱為一個“流形”。流形中的一個點用n元數(shù)組來表示。類似歐幾里得構建理論體系的方式。在流形中，黎曼定義了距離、長度、交角等概念。

最美妙之處在于，他還建立了流形曲率的概念，完美統(tǒng)一了歐幾里得空間和非歐幾何空間，即：當曲率為0時，黎曼空間即為歐幾里得空間。當曲率為負數(shù)時，黎曼空間即為羅巴切夫斯基幾何空間。當曲率為正數(shù)時，就是黎曼空間。黎曼這一理論的建立，可以說顛覆了人們之前對于空間的認知，為后來相對論的提出提供了重要的數(shù)學基礎。

數(shù)學之美

到這里，我們用了3天的時間，簡單回顧了幾何發(fā)展史，現(xiàn)在你是否和我一樣感受到了數(shù)學之美：

從繁雜的自然中，抽象出統(tǒng)一的概念。從隱藏自然的經(jīng)驗中，挖掘出宇宙密碼一樣的理論。由一個大膽的假設開始，提出一個理論，或證實或證偽，再繼續(xù)去求真求證求實。通過一代代數(shù)學家不斷的追問和探索，我們仿佛在玩著宇宙解碼游戲，一點點去揭開宇宙留給我們的線索，不斷建立美妙的公式和理論，去描述我們身處其中的美妙空間。這便是為什么我要在講奧數(shù)的開篇先來介紹相關的歷史，我希望你們不是在學奧數(shù)題，而是在通過奧數(shù)學習接受數(shù)學思想的熏陶，培養(yǎng)數(shù)學思維，感受數(shù)學之美。

這世界上并不需要多一位解奧數(shù)題的高手，但非常需要多一位渴望探求未知的探索者。這才應該是我們學習奧數(shù)的初衷。

最后的最后，為了不把你搞暈，請你暫時忘記非歐空間和黎曼空間，因為中小學的數(shù)學還是基于歐氏空間展開的，這里只是希望你能對空間的非唯一性有個初步的認識。