親子學奧數(shù)—幾何發(fā)展史2

自得其樂的魚

2013

2011

2019-12-26 11:11 原創(chuàng) · 圖片3

數(shù)學來源于生活，讓孩子了解幾何的一些歷史，能幫助他們跳出課本，讓數(shù)學不僅是數(shù)學題，而是看到它與生活的關(guān)聯(lián)。

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?昨天我們一起了解了幾何發(fā)展的早期歷程。從萌芽期的圖形認知，到古埃及時期以零散經(jīng)驗總結(jié)為特點的經(jīng)驗派幾何，最后歸于第一次建立完整理論體系的希臘幾何。
今天就讓我們具體來看一下，希臘幾何的巔峰巨作《幾何原本》一書，究竟建立了一個怎樣的理論體系，這個體系又對如今的你我有什么樣的影響。在開始詳細講述前，我希望對比兩個概念——經(jīng)驗與理論。經(jīng)驗，主要是經(jīng)歷過的體驗，是對實際發(fā)生的事情的描述。經(jīng)驗是時而對，時而錯，無法被證明一直對的東西。理論，則是可以被證明一直對的東西，當然后面我們會逐步明白，這也是需要由一定的假設作為前提條件的。理論一般是有體系的，體系內(nèi)的命題相互支撐，相互論證。從經(jīng)驗到理論的飛躍，推動了人類的科學史發(fā)展。區(qū)分經(jīng)驗和理論，會幫助我們建立正確的幾何學習態(tài)度。

《幾何原本》說了什么？

現(xiàn)在回到今天的主題，來看一下《幾何原本》一書的偉大之處。一言以蔽之，其偉大在于第一次系統(tǒng)建立了初等幾何的理論體系，并影響至今。

圖片來源：《奇妙數(shù)學史》 P77

全書由13章組成，共收錄465個命題。書的開篇給出了整座大廈的基石——五大公理和五大公設：

五大公理分別是：

1.等于同量的量彼此相等。

2.等量加等量，其和仍相等。

3.等量減等量，其差仍相等。

4.彼此能夠重合的物體是全等的。

5.整體大于部分。

五大公設分別是：

1.任意兩個點可以通過一條直線連接。

2.任意線段能無限延伸成一條直線。

3.給定任意線段，可以以其一個端點作為圓心，該線段作為半徑作一個圓。

4.所有直角都全等。

5.若兩條直線都與第三條直線相交，并且在同一邊的內(nèi)角之和小于兩個直角，則這兩條直線在這一邊必定相交。

這五大公理和公設，是歐幾里得認為直覺上一定為真的命題，無需證明。它們共同構(gòu)成整個知識體系的10條假設前提。

{說到這里，你覺得這10條都是真的嗎？提前劇透一下，第5條公設引起了很多爭論，它又叫平行線假設，換種說法就是兩條平行線永遠不會相交。這其實是定義了一種歐氏幾何空間。但事實上，在所謂的非歐幾何空間中，這條平行公設可能是不成立的，后人對此展開研究，又發(fā)展出了新的理論體系，這將是我們明天要討論的內(nèi)容。}

為了解釋五大公設和五大公理中的名詞，歐幾里得又給出了23條幾何基本術(shù)語的定義，我們?nèi)缃袷褂玫狞c、線、面等定義都是由他給出的。

由這23個術(shù)語和10條前提假設出發(fā)，歐幾里得對隨后的每一個命題，都正式嚴謹?shù)倪M行了由已知定理進行證明的論證過程，第一次全面清晰的重建了整個幾何理論。第1-4章，主要討論平面圖形，包括四邊形、三角形、圓和多邊形。在討論中，歐幾里得主要使用量的概念，暫時還沒引入長度概念。

第5章，主要討論比例的一般理論。

第6章，主要討論相似圖形的規(guī)律，并對畢達哥拉斯定理進行了推廣。

第7-9章，主要討論數(shù)論的問題，并且認為處理整數(shù)，本質(zhì)上就是在處理幾何圖形。

第10章，主要討論不可比長度，引入了無理數(shù)的概念。

第11-13章，講述立體幾何的基礎知識。值得一提的是，全書的最終命題是：證明只有少數(shù)凸正多面體存在，即只有正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體，除此之外，你一定做不出其他正n多體了。這是一個有趣的命題，后面我們討論立體幾何的時候再做展開。