這樣的學霸筆記，你敢領嗎？

昨晚刷到了某知名網(wǎng)校的抖音教學視頻，解法又把我給雷倒了。

問題是個標準的題： 數(shù)一數(shù)圖中一共有多少個正方形。

我們來看看這個號稱學霸妹子的講解。

用標數(shù)法，橫著標上1、2、3、4，豎著標上1、2、3。

然后呢，用4×3，加上每個數(shù)字再減去1的乘積，即3×2，再加上每個數(shù)字再減去1的乘積，即2×1，最后算一下，等于20。

妹子最后問： 你學會了嗎？

覺得有道理？趕緊點擊屏幕，領取學霸筆記！

你們學沒學會我不知道，反正我沒學會。當然，這樣的學霸筆記，送給我我也不會領。
 

除了這個，網(wǎng)上還有不少網(wǎng)紅題目的標數(shù)法解答。

比如這個用來數(shù)立方體個數(shù)的頭頂標數(shù)法。

還有下面這個上過機構的娃都會脫口而出的最短路徑標數(shù)法。

我們就來看看這最后一道網(wǎng)紅題。

沒錯，直接講標數(shù)法滿足了許多家長、孩子和老師對于短平快的追求，但卻避開了兩個最根本的問題： 一是標數(shù)法的原理到底是什么？二是標數(shù)法適用的問題到底是什么？ 

如果數(shù)學學習只是單純去記住更多的技巧性方法，那和多背幾首唐詩也沒有太大的差別。不少低年級的孩子通過強化記憶訓練，確實會解許多高年級的小奧套路題，給大家造成了天才神童越來越多的假象，引來許多家長的艷羨。但在我看來，這并不值得大家崇拜甚至模仿。 恰恰是許多人忽略的 后面這 兩個根本問題 ，才 是 提 升認 知層 級的關鍵 。等搞清楚孩子有沒有辨識和分析問題的能力，再投去羨慕的眼光也不遲。 

很多講解視頻中都說標數(shù)法用于解決求最短路問題。我估計95%以上的老師都沒有正兒八經(jīng)地思考過標數(shù)法真正適用的問題類型。顯然，最短路徑的說法是不全面的。比如下面的問題：

圖中，求從甲到乙的所有不同路徑條數(shù)。

這個問題可以用標數(shù)法，但好像求的并不是最短路徑啊。

我給一些孩子做過下面這個題。

How many different ways are there to get from point A to point D, assuming no ege can be traced twice? (Note: there is no restriction on how many times a point can be passed through. )

假如任何一條邊都不能經(jīng)過兩次，那么從點A到點D有多少種不同的走法？(注：對一個點被經(jīng)過多少次不做限制。)

很多孩子碰到這個問題直接脫口而出用標數(shù)法。但標數(shù)法用在這里顯然有問題。能用標數(shù)法解的問題，每個點只能經(jīng)過一次，但在這個問題里，點可以經(jīng)過多次。因此，標數(shù)法不適用。

這個問題我們可以完全回到本原，利用圖形的對稱性枚舉求解。我們知道，最后從B到達D的路徑條數(shù)等于最后從C到達D的路徑條數(shù)，因此只要枚舉出經(jīng)過B到達D的路徑條數(shù)，最后乘以2即可。由于不限制所經(jīng)過點的次數(shù)，而是限制所有邊只能經(jīng)過一次，因此，為了方便列舉，我們可將邊標上數(shù)字以示區(qū)別。

經(jīng)過B到達D的路徑分別有：

1-6

3-4-6

2-5-4-6

2-5-3-1-6

3-5-2-1-6

共有5條。

因此從A到D的邊不重的路徑有10條。

而如果問題變成：假如每個點都不能重復經(jīng)過，那么從點A到點D有多少種不同的走法？

這個問題是不是就能用標數(shù)法呢？

很人多認為既然問題中都說了點不能重復經(jīng)過，那肯定是可以用標數(shù)法了。其實不然！ 標數(shù)法背后的本質是加法原理，標數(shù)法的實質是經(jīng)過加法原理逆向思考后的正向求解。

那問題是，該先標E還是先標B或C呢？

我們知道：

從A到B的路徑條數(shù)=從A直接到B的路徑條數(shù)+經(jīng)過E到B的路徑條數(shù)

從A到E的路徑條數(shù)=從A直接到E的路徑條數(shù)+從A經(jīng)過B到E的路徑條數(shù)+從A經(jīng)過C到E的路徑條數(shù)

這樣，就產生了一個問題，即從A到E的路徑條數(shù)依賴于從A到B的路徑條數(shù)，反過來，從A到B的路徑條數(shù)又依賴于從A到E的路徑條數(shù)。這就產生了先有雞還是先有蛋的問題。

為什么會有這個問題？這是因為這個問題中存在圈！

這就觸及了標數(shù)法適用問題的最根本約束： 如果把圖中允許走的每條邊表示成有向的，那么標數(shù)法適用的圖是有向無圈的。這樣，每個點的前驅才是確定的，且不會產生循環(huán)。

顯然，這個問題存在圈，所以不能用標數(shù)法。

具體到這個問題，我們仍然可以利用圖形的對稱性，枚舉出經(jīng)過B到達D的路徑數(shù)：

A-B-D

A-E-B-D

A-C-E-B-D

所以，整個問題的路徑條數(shù)為3×2=6條。

有了上面的基礎，不妨來嘗試一下這個挑戰(zhàn)吧：

（1）假如每個點都不能重復經(jīng)過，那么從點A到點D有多少種不同的走法？

（2）假如任何一條邊都不能經(jīng)過兩次，那么從點A到點D有多少種不同的走法？(注：對一個點被經(jīng)過多少次不做限制。)

作者簡介：昍爸，中科院計算機博士，曾獲初中和高中全國數(shù)學奧林匹克聯(lián)賽一等獎，江蘇賽區(qū)第一名，高考數(shù)學滿分?，F(xiàn)為大學計算機專業(yè)教授，平時注重提升孩子的數(shù)學和計算思維，開設有公眾號xuanbamath。