一道題竟然做出了恐怖片的驚悚感

前天發(fā)了下面這道題，結果有人硬生生做出了恐怖片的驚悚感！到底是怎么回事？我們不妨一起慢慢看。

題目是這樣的：

四（3）班的每個同學至少都喜歡語文、數學或英語中的一門課，喜歡語文的有30人，喜歡數學的有36人，喜歡英語的有28人，同時喜歡語文和數學的有24人，同時喜歡語文和英語的有20人，同時喜歡數學和英語的有18人，三門課都喜歡的有8人，請問四（3）班一共有多少人？

我當時說，學過公式的同學很快就能根據容斥原理公式算出結果：

|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|

=30+36+28-24-20-18+8

=40

但問題是，這個解答到底對不對呢？當時我歡迎大家在留言區(qū)討論。于是群里和留言區(qū)就有各種有意思的討論。

一開始爭論比較多的是：最后應加1個8還是2個8？

有人認為應該加2個8，答案是48。但事實上，這個公式并沒錯，是容斥原理的標準公式。

到底|A∩B∩C|最后要加幾次，可以這么來看。

屬于A∩B∩C的人在A、B、C中都各出現(xiàn)了一次，因此計算|A|+|B|+|C|時，A∩B∩C的人數計算了3次。

同樣，屬于A∩B∩C的人在A∩B、B∩C、A∩C中也各出現(xiàn)了一次，因此計算|A∩B|+|B∩C|+|A∩C|時，A∩B∩C的人數也計算了3次。

兩者一減，最后A∩B∩C的人被減沒了，因此最后要再加上1個|A∩B∩C|。

下面這條留言者一定是之前被另一個坑傷害過，也就是有的題目沒有明確說每個人都至少喜歡三門課里的一門。因此，他瞪大眼睛仔細看了又看，發(fā)現(xiàn)沒問題后寫下了這條留言。

上面所說的坑，可以通過以下兩個問題的例子加以說明：

四（3）班的每個同學至少都喜歡語文和數學中的一門課，喜歡語文的有30人，喜歡數學的有36人，語文和數學都喜歡的有26人，請問四（3）班一共有多少人？

四（3）班的所有同學中，喜歡語文的有30人，喜歡數學的有36人，語文和數學都喜歡的有26人，請問四（3）班一共有多少人？

乍一看，很多人會說：這兩個問題不是一樣的嗎？但，真的一樣嗎？

也有不少人說不懂容斥原理的公式，只會畫圖，但畫完圖卻發(fā)現(xiàn)了其中的問題。

事實上，沒學公式直接畫圖能發(fā)現(xiàn)這個題目存在的問題。最直觀的是韋恩圖，如下。

畫完上面的圖后，發(fā)現(xiàn)只喜歡語文和只喜歡英語的沒法填了。因為，16+8+12=36已經超過喜歡語文的總人數30人了，同樣12+8+10=30也大于喜歡英語的總人數28人了。

因此，問題在于這個題目出錯了！

不少人確實最后發(fā)現(xiàn)了這個題目的錯誤。但我們發(fā)現(xiàn)，如果只用容斥原理的公式，是察覺不了這個錯誤的。

我的本意其實就是這個，即不要只記公式，有的時候只記公式會遮住真相。

可是，留言區(qū)卻開始變得驚悚起來：

一道錯誤的數學題，硬生生被做出了恐怖片的驚悚感！

那怎樣才能確保出的題目不被解讀成恐怖片呢？下面的這條留言應該能說明問題。

也就是說，我們可以先算出喜歡數學，但同時又喜歡語文和英語中至少一門的人數，然后出題時要確保喜歡數學的人數不小于這個數才行。英語和語文同樣處理。否則，就會出現(xiàn)所謂“不存在的人”。

公眾號xuanbamath創(chuàng)立四周年

為大家精選了12篇必讀文章。

一個數學學霸爸爸輔導孩子的心路歷程

是什么樣的教育，竟要讓我們的孩子以命相搏？

奧數冠軍教你如何解題（付費閱讀，買一贈一）

講座視頻：怎樣在生活中引導孩子進行數學思考？

為什么飛機的往返飛行時間不同？

古詩詞中的數學

孤獨而高冷的素數

原來，毀掉一個孩子的深入思考這么容易！

沒有葫蘆也要會畫瓢, 說說我的奧數啟蒙經歷

少兒編程，我這樣教

11.計劃教育下的數學教育之怪狀

12.李國杰院士作序推薦高考數學滿分得主新書《給孩子的數學思維課》