親子學(xué)奧數(shù)--認識多邊形

自得其樂的魚

2013

2011

2019-12-31 10:04 原創(chuàng) · 圖片17

分享寫給自家倆娃的奧數(shù)備課教材，希望能有更多家長一起嘗試親子奧數(shù)。

更多內(nèi)容和習(xí)題講解，請關(guān)注微信公眾號：有心小灶。

我會把一些介紹性的內(nèi)容搬運過來，不過有些習(xí)題，這邊的格式如何設(shè)置便于閱讀，我還沒空研究，建議去微信公眾號觀看，謝謝。

在開始今天的討論前，可以問問孩子們：“生活中你見過的圖形中，最多出現(xiàn)過多少條邊？”答案可能各有不同，但相信很少有人能舉出超過6條邊的例子。雖然在數(shù)學(xué)上，我們可以從三角形開始，靠增加邊數(shù)窮盡下去，四邊形、五邊形、六邊形……一萬邊形……但過多的邊數(shù)并不會帶來更多的價值。我們只需要先了解多邊形的基本特點，并認識生活中常用的幾個正多邊形。

多變的多邊形、不變的規(guī)律

既然是多邊形，“邊”多了以后，形狀也豐富多變。就像下圖中的六邊形，可能是規(guī)規(guī)矩矩的，可能是“氣鼓鼓”的，也可能是“被餓得憋進去”，還可能是“雙手插腰的”。

圖片來源：《逃不出的怪圈--圓和其他圖形》

但萬變不離其宗的是，這些多邊形都可以被分成若干個三角形，不信請孩子們自己畫出幾個多邊形，分分看，并總結(jié)下規(guī)律。

圖片來源：《逃不出的怪圈--圓和其他圖形》

四邊形可分成2個三角形，內(nèi)角和是180度×2。

五邊形可分成3個三角形，內(nèi)角和是180度×3。

六邊形可分成4個三角形，內(nèi)角和是180度×4。

七邊形可分成5個三角形，內(nèi)角和是180度×5。不變的規(guī)律是：

多邊形可以分成（邊數(shù)-2）個三角形內(nèi)角和等于（邊數(shù)-2）個180度。

圖片來源：《逃不出的怪圈--圓和其他圖形》

正多邊形

認識了多邊形的特點后，我們回到最初的話題，請孩子們思考下：為什么生活中很少看到奇形怪狀的多邊形？為什么最常見的都是邊長和內(nèi)角都相等的正多邊形？而且除了足球上，你也很少看到正五邊形的存在，這個世界仿佛都是正三角形、正四邊形和正六邊形的天下？

圖片來源：《奇妙的三角形》

原因在于，生活中我們需要最實用的東西，而只有正三角形、正四邊形和正六邊形是可以完美的平鋪一個平面不留縫隙的。

圖片來源：《有趣的數(shù)學(xué)旅行--幾何的世界》

如果你用其他正多邊形，就會發(fā)生如下可怕的情況：用正五邊形地磚鋪的地面充滿了縫隙。

圖片來源：《有趣的數(shù)學(xué)旅行--幾何的世界》

用正七邊形設(shè)計房間，樓房千瘡百孔。

圖片來源：《逃不出的怪圈--圓和其他圖形》

對于低年齡的孩子來說，知道這個結(jié)論即可。但是對于高年級的孩子，不妨讓他們嘗試理解如何通過數(shù)學(xué)來證明這一點，不然可能有人會一直琢磨，有沒有可能正八邊形或者正某邊形還可以實現(xiàn)平鋪，而我們沒有發(fā)現(xiàn)呢？我們可以從多邊形內(nèi)角和的角度來證明。證明步驟：

假設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，則內(nèi)角和為180×（n-2）

由于多邊形有n個內(nèi)角，所以每個內(nèi)角的度數(shù)是180×（n-2）/n

如果這個n邊形可以平鋪墻面，意味著圍繞它的1個頂點，可以有x個該多邊形完美地圍成一圈，即x個內(nèi)角的角度和=360

得到如下圖的等式，并且x肯定是大于3的整數(shù)，通過不等式計算可以得到n只能是3-6之間的整數(shù)。