親子學(xué)奧數(shù)--面積

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結(jié)束了周長的學(xué)習(xí)，今天我們開始探索一個更有實(shí)用意義的話題——面積。

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什么是“面積”？

孩子們通常是很關(guān)注分東西是否公平的。媽媽買了兩個不同的盤子，誰用大的，誰用小的，也許要討論一下；爸爸買了披薩吃，誰拿的那塊大，誰拿的那塊小，也可能要爭執(zhí)一番。這當(dāng)中在比較的“大”與“小”，其實(shí)就是在說面積。

在前面的幾何發(fā)展史中，我們講過幾何最初是在古埃及萌芽的。尼羅河水每次泛濫之后，人們都需要重新測量土地，測量的目的是要保證新分的土地和之前的土地“一樣大”。這里的“一樣大”也是在說面積一樣大。

再往大了想一想，讓孩子們看一看地圖，地圖上有很多不同的國家，讓孩子們找找哪些國家大哪些國家小，想一想這里的大小是指什么？

上面幾個例子的共同點(diǎn)是，當(dāng)我們比較大小的時候，都是針對某個封閉的區(qū)域，盤子、土地、國家都有明確的封閉邊界線。

所謂“面積”，其實(shí)就是在說這個封閉區(qū)域覆蓋了多少的空間。

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如何測量“面積”？

01 思考導(dǎo)入

人類社會的發(fā)展離不開舉一反三的學(xué)習(xí)能力，現(xiàn)在請孩子們回想一下長度測量的發(fā)展歷史，他們能不能自己開動腦筋想一想，面積可以如何測量呢？

我們試著引導(dǎo)他們思考：

長度可以用手掌長度或腳長去丈量，那是不是也可以找到一個標(biāo)志物作為單位標(biāo)準(zhǔn)去測量面積？

圖片來源：《數(shù)學(xué)幫幫忙--面積》

給他們一盒撲克牌，請他們試著測一下自己的小桌子/課本/鉛筆盒，看看它們的面積等于幾張撲克牌？再給他們一堆同樣大小的一元硬幣，請他們再次試著測一下，看看它們的面積等于多少個硬幣？請他們注意，撲克牌或者硬幣能否鋪滿整個被測區(qū)域？

試試看他們能否自己想到，如果要測量面積，我們需要定義一個“標(biāo)準(zhǔn)計(jì)量單位”。這個單位像長度測量中的“1米”一樣必須是“標(biāo)準(zhǔn)”的。

圖片來源：《漢聲數(shù)學(xué)--剪剪貼貼算面積》

02 標(biāo)準(zhǔn)面積單位

有了思考過程作為鋪墊后，我們可以給出答案：使用標(biāo)準(zhǔn)長度單位的平方作為標(biāo)準(zhǔn)面積單位，邊長1米的正方形的面積就是1平方米，邊長1厘米的正方形的面積是1平方厘米。請孩子在A4紙上用直尺畫出邊長1厘米的網(wǎng)格如圖，然后在其上畫出自己小手的輪廓線，試著數(shù)數(shù)看，自己的手大約覆蓋了多大的面積？請他們將這些1平方厘米的小正方形剪下來，去家里測測看，不同大小的書究竟面積是多大?

圖片來源：《漢聲數(shù)學(xué)--剪剪貼貼算面積》

03 面積的測算

雖然有了標(biāo)準(zhǔn)面積測量單位，但是如果每次測量都要拿一堆小方塊去覆蓋，那么對于一些很大的區(qū)域就會非常耗時耗力。請孩子們思考下，有沒有什么更好的辦法呢？

以土地為例，既然一塊土地的面積就是1平方厘米的個數(shù)，那么如果可以有快速算出個數(shù)的辦法就可以馬上知道面積了?？纯聪旅孢@張圖，是不是可以不再一個個的數(shù)方塊，而是直接用到乘法呢？

圖片來源：《生動的幾何--寬寬長長量量看》

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“面積公式”是怎么來的？

既然可以通過乘法快速計(jì)算方格數(shù)來計(jì)算面積，能不能更進(jìn)一步得到一些可以推廣應(yīng)用的計(jì)算公式呢？

所謂計(jì)算公式，就是根據(jù)一定的推理過程得出的，可以直接推廣應(yīng)用的計(jì)算方法。我們是不是可以試著推理出常見多邊形的面積計(jì)算公式，以后直接應(yīng)用呢？

01 長方形面積公式

我們先從長方形的面積計(jì)算公式開始：
 

如下圖，每行有7個1平方厘米的小正方形，一共有3行，因此長方形的面積可以通過7乘以3表示出來。

“7”其實(shí)就是蓋住一行所用的1平方厘米的個數(shù)，也就是長方形的長邊上的1厘米的個數(shù)，也就是長方形長的長度。

“3”其實(shí)就是行數(shù)，也就是長方形的寬上的1厘米的個數(shù)，也就是長方形的寬度。

所以可以推理出，長方形面積的計(jì)算公式：長方形的面積=長 ×寬

圖片來源：《生動的幾何--寬寬長長量量看》

02 直角三角形面積公式

我們不斷強(qiáng)調(diào)過，數(shù)學(xué)思想之一就是用已知表示未知。

對于直角三角形，如果我們能構(gòu)造出另一個完全一樣的直角三角形，就可以將它們拼接在一起，組成一個長方形或者正方形。那么這個直角三角形的面積就等于該長方形面積的一半。在直角三角形中，我們定義它的兩條直角邊分別是底邊和高，因此三角形的面積計(jì)算公式為：直角三角形的面積=底邊 × 高 ÷ 2

圖片來源：《生動的幾何--寬寬長長量量看》

03 任意三角形面積公式

如果一個三角形里沒有直角，該如何是好呢？還是老辦法，將新問題轉(zhuǎn)化為舊問題。每個三角形都可以過其中一個頂點(diǎn)做對邊的一條垂線，這條垂線會把三角形分成兩個直角三角形，這樣就可以利用前面的計(jì)算公式了。

可以看出，三角形的面積仍然是長方形面積的一半，所以公式是一樣的：

三角形的面積=底邊 × 高 ÷ 2
 

圖片來源：《看漫畫學(xué)幾何》

04 平行四邊形面積公式

對于平行四邊形，還是考慮如何將它轉(zhuǎn)化為長方形。

如圖，經(jīng)過一個頂點(diǎn)向底邊作一條垂線，得到一個直角三角形，請孩子想象一下，是不是可以將三角形移到另一側(cè)，補(bǔ)出一個長方形。因此，平行四邊形的面積公式為：平行四邊形的面積=底 × 高 

圖片來源：《看漫畫學(xué)幾何》

05 菱形面積公式

計(jì)算菱形面積的時候，我們可以直接采用平行四邊形的公式，也可以考慮更簡便的辦法。

根據(jù)菱形的特點(diǎn)，如圖，兩條對角線可以將菱形分為四個直角三角形，四個角分別補(bǔ)上一個一樣的三角形，得到一個大長方形，該長方形的面積是菱形的2倍。因此菱形的面積公式為：菱形的面積= 對角線長度的乘積÷ 2

圖片來源：《看漫畫學(xué)幾何》

06 梯形面積公式

對于梯形，我們可以再補(bǔ)充一個一樣的梯形，從而拼出一個平行四邊形。那么，梯形的面積就是平行四邊形面積的一半：梯形的面積=（上底 + 下底） × 高 ÷ 2

圖片來源：《看漫畫學(xué)幾何》

07 其他多邊形

對于其他多邊形，都可以通過裁剪為若干個三角形或者長方形，簡化問題計(jì)算面積。

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周長與面積

到這里我們已經(jīng)學(xué)過了直線型規(guī)則圖形最基本的兩個計(jì)算概念：“周長”和“面積”。請孩子們想一想，這兩個概念之間有什么聯(lián)系嗎？周長相等的圖形，面積一定相等嗎？面積相等的圖形，周長一定相等嗎？

如下圖，動物園有三種圍欄，圍出來的面積是一樣的，但是用到的圍欄周長卻是不同的。

圖片來源：《圖解數(shù)學(xué)》

再例如下面兩種圍欄的周長是一樣的，但是圍出來的面積卻是不同的。

圖片來源：《圖解數(shù)學(xué)》

請孩子們想想這是為什么？

試著讓他們體會下，如下圖，對于長10cm寬4cm的長方形，如果保持周長不變，可以長增加1cm寬減少1cm，這個變化體現(xiàn)在面積上，卻是長拿走了10個小方塊，寬上增加了3個小方塊，因此面積減少了。希望他們能深刻理解，周長與面積是幾何上兩個獨(dú)立的概念，不會相互影響。    
 

圖片來源：《圖解數(shù)學(xué)》

參考資料：

《漢聲數(shù)學(xué)--剪剪貼貼算面積》 [美]簡.喬納斯.斯里瓦斯塔瓦 著 貴州人民出版社《生動的幾何--寬寬長長量量看》 [韓]權(quán)義根 著 浙江教育出版社《數(shù)學(xué)幫幫忙--面積》 [美]納特.蓋布里埃爾 著 新蕾出版社《看漫畫學(xué)幾何》 [日]岡部恒治 著 中國輕工業(yè)出版社《圖解數(shù)學(xué)》 [英]英國DK公司編著  清華大學(xué)出版社