淺談如何學(xué)好小奧應(yīng)用題

本文是如何學(xué)好小奧七大模塊的最后一篇，文中的應(yīng)用題是不包括行程問題的，行程問題是比較特殊的應(yīng)用題，之前已經(jīng)專門寫過。

 從難度來說，應(yīng)用題模塊的難度和計(jì)算模塊差別不大，最難的應(yīng)用題難度往往還不如最難的計(jì)算題。但它的重要性還是非常高的，和校內(nèi)聯(lián)系緊密，且足夠簡(jiǎn)單，容易拿分。應(yīng)用題模塊和計(jì)算模塊一樣，也是選擇淺奧的家長(zhǎng)應(yīng)該重視的主題，這也是限制在綱內(nèi)的拓展或某些考試的重點(diǎn)。

如果考試時(shí)候時(shí)間不夠（假設(shè)考試時(shí)間還剩15分鐘，預(yù)估自己最好情況只能再做兩道題目），對(duì)于各種類型題目的選擇建議：

• 優(yōu)先放棄組合題，因?yàn)椴粫?huì)就是不會(huì)。
• 考慮放棄復(fù)雜的計(jì)數(shù)，因?yàn)樗懔艘部赡懿粚?duì)，并且無法驗(yàn)算。
• 評(píng)估數(shù)論題目的難度，覺得難度偏高、以前未做過相近類型的無思路的可放棄。
• 行程題如果以前未做過相近類型，有可能畫完圖就剩不了多少時(shí)間了。選擇行程題要做好后面的時(shí)間只做這一道題目的預(yù)期。
• 把不會(huì)的幾何題借助直尺、量角器、網(wǎng)格紙（皮克定理）蒙一下答案。
• 重點(diǎn)解決應(yīng)用題，大多數(shù)應(yīng)用題都是紙老虎。

 01難點(diǎn)

 應(yīng)用題這個(gè)模塊幾乎沒有難度，如果說有難度，也是人為制造出來的。很多孩子學(xué)不好應(yīng)用題最主要的原因，就是部分機(jī)構(gòu)老師和家長(zhǎng)的水平所限。

 從機(jī)構(gòu)的角度來說，雖然低年級(jí)知識(shí)點(diǎn)簡(jiǎn)單，但孩子的接受能力也相應(yīng)的弱一些，也非常需要名師的引導(dǎo)，可機(jī)構(gòu)的當(dāng)家名師就那么幾位。因?yàn)榫τ邢?，名師都是主教高年?jí)高端班型（要靠這些班型出成績(jī)）。因此教小低年級(jí)的老師無論是水平還是經(jīng)驗(yàn)都會(huì)有所欠缺。

 這也是我本人后來基本不看四年級(jí)以下網(wǎng)課的原因，即使這個(gè)機(jī)構(gòu)非常大。有一位X思小低招牌老師，在講三階幻方的彈弓法時(shí)候，不僅沒有證明，而且直接說我忘了怎么證明了，大家先記住吧。至于XX思老師的水平更加一般，我只看他家集訓(xùn)隊(duì)幾位老師的課（雖然這兩年也基本走光了）。不過對(duì)于大多數(shù)家長(zhǎng)，如果水平?jīng)]到一定程度，還是需要看的。

 如果孩子在機(jī)構(gòu)學(xué)習(xí)，一定要找個(gè)靠譜的機(jī)構(gòu)，選擇口碑好的老師，并且家長(zhǎng)和孩子一起努力盡快上升到高端班型，至少能保證學(xué)習(xí)效果。否則很可能效果有限，還不如自雞。

 從家長(zhǎng)的角度來說，絕大多數(shù)家長(zhǎng)（包括我自己）當(dāng)年是沒有專門學(xué)過奧數(shù)的，家長(zhǎng)需要干的事情，要不就踏踏實(shí)實(shí)學(xué)一遍再教孩子，要么就別插手。但現(xiàn)實(shí)是，往往水平不怎么樣的家長(zhǎng)控制欲還極強(qiáng)。孩子在機(jī)構(gòu)沒有完全學(xué)明白，到了家里家長(zhǎng)還瞎指揮。不是家長(zhǎng)變?cè)?，而是學(xué)渣變成家長(zhǎng)了。從群里很多家長(zhǎng)的不靠譜提問，就能看出來肯定雞不好娃，主要表現(xiàn)為以下三點(diǎn)：

 不虛心：知識(shí)越貧乏的人越有一種莫名其妙的勇氣和自信。小奧和課內(nèi)的解題思想是不一樣的，如果家長(zhǎng)沒有學(xué)過奧數(shù)，卻認(rèn)為自己能靠本科水平降維小奧，然后憑借僅存的一點(diǎn)記憶，強(qiáng)行把題做出來然后教給孩子。孩子說你這方法跟老師教的不一樣啊？家長(zhǎng)說你別管，就按我的來。結(jié)果往往是老師教的沒學(xué)會(huì)，家長(zhǎng)教的太抽象，孩子怎么可能學(xué)好。

 家長(zhǎng)在輔導(dǎo)孩子學(xué)習(xí)的時(shí)候，一定要放下姿態(tài)，用小孩能夠聽得懂的方式指導(dǎo)。如果家長(zhǎng)和孩子的方法不一樣，那么要盡可能首先用孩子的方法做出來，然后再教家長(zhǎng)自己的方法，最后在比較兩種方法的異同。如果想讓孩子接受你的方法，在解題速度或者正確率上要能夠展現(xiàn)出明顯的優(yōu)勢(shì)，孩子才會(huì)真心接受。

 不學(xué)習(xí)：我曾經(jīng)加過不少水平比較低的群，經(jīng)?？吹胶芏嗉议L(zhǎng)圍繞著一道三年級(jí)的2星題討論的熱火朝天，能指點(diǎn)江山一上午，如果做兩道題就能掌握一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，誰還去花2個(gè)小時(shí)去上機(jī)構(gòu)的課。公眾號(hào)有近百篇關(guān)于學(xué)習(xí)的文章，群內(nèi)也有各種精華消息，把這些好好研究一下，很多問題就能迎刃而解。

 如果遇到一道題自己不會(huì)的題目，僅是查看答案或問群里的話，只能解決一道題，把水群和閉門造車的時(shí)間去系統(tǒng)性地看一些名師的課程，能夠解決一類問題，是一種磨刀不誤砍柴工的做法。

 不思考：數(shù)學(xué)有那么多的知識(shí)點(diǎn)，為什么奧數(shù)要學(xué)這些東西，七大模塊各自的解題思想是什么，各知識(shí)點(diǎn)內(nèi)部不同年級(jí)之間，縱向有什么關(guān)聯(lián)，與外部其他知識(shí)點(diǎn)橫向有什么聯(lián)系，這些都是要考慮的問題。如果能明白這些，就能理解命題人變來變?nèi)サ念}目中，哪些才是不變的內(nèi)容。這個(gè)過程把書由厚變薄的過程。

 有的機(jī)構(gòu)會(huì)教一些莫名其妙的方法，可以迅速解決一類問題，但是你在機(jī)構(gòu)學(xué)的題目都是老題，比如導(dǎo)引收錄的題目一般至少有20年的歷史了，這些套路能夠解決杯賽的新題未曾可知。盡量選擇簡(jiǎn)潔并且通用的方法，如果一個(gè)方法只能適用于某一個(gè)特定內(nèi)容，那么要考慮學(xué)習(xí)這種方法的必要性。

 02作用

應(yīng)用題的作用主要有三點(diǎn)，這三點(diǎn)重要性依次升高，能到哪個(gè)層次取決于學(xué)到什么水平。

 降維校內(nèi)：奧數(shù)和校內(nèi)應(yīng)用題的界限沒有那么大。小奧的應(yīng)用題在三四年級(jí)有一個(gè)明顯的分水嶺，里程碑是分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的引入。如果能搞定三四年級(jí)的奧數(shù)應(yīng)用題，那么整個(gè)小學(xué)課內(nèi)的應(yīng)用題基本都能口算。如果能夠搞定高年級(jí)的奧數(shù)，那么搞定大多數(shù)初中的類似問題也不大。

 需要注意的是，現(xiàn)在很多有區(qū)分度的課內(nèi)應(yīng)用題只是復(fù)雜而并非難，所以文字都非常多（有時(shí)候一道題目半頁紙），除了需要孩子有一定的生活常識(shí)讀懂信息，還要能迅速抓住重點(diǎn)，理清關(guān)系。這方面經(jīng)過小奧訓(xùn)練的孩子肯定是相對(duì)更有優(yōu)勢(shì)的。

 行程基礎(chǔ)：行程本質(zhì)上也是應(yīng)用題，說應(yīng)用題無難題是因?yàn)闆]有包括行程，當(dāng)三升四引入行程問題后，其他應(yīng)用題的難度和重要性會(huì)相對(duì)下降很多（在機(jī)構(gòu)高端班選拔和杯賽中，里面的應(yīng)用題可以說都是送分的，只有行程問題可能是個(gè)小boss）。如果應(yīng)用題的基礎(chǔ)沒有打好，行程問題絕對(duì)推不動(dòng)。一條腿是走不遠(yuǎn)的，行程最重要的份數(shù)和比較的思想，是很難用純代數(shù)解決的。

 低年級(jí)的應(yīng)用題設(shè)未知量最多也就3、4個(gè)，可到了行程里面，未知量一般就有10來個(gè)。如果應(yīng)用題的訓(xùn)練不夠，純靠方程去解決行程問題幾乎不可能，除非你將來放棄行程這個(gè)模塊。在低年級(jí)欠的債，高年級(jí)早晚要補(bǔ)回來。低年級(jí)想走的每一個(gè)捷徑，都是將來可能遇到的陷阱，區(qū)別就是掉里面的早晚。

 鍛煉思維：把題目能夠做出來只是學(xué)習(xí)最低的要求，最重要的是通過做題的過程鍛煉思維，了解各種數(shù)學(xué)思想，從而去解決更多的問題。這個(gè)和模塊的難度沒有關(guān)系，不要因?yàn)楹?jiǎn)單而忽視思維的培養(yǎng)。應(yīng)用題經(jīng)常用到的假設(shè)調(diào)整的思想，找不變量的思想，整體考慮思想，數(shù)形結(jié)合的思想，都是將來解決高年級(jí)其他模塊（包括初高中數(shù)學(xué)）的重要思想。

 03應(yīng)對(duì)

 應(yīng)對(duì)應(yīng)用題，只需要做好三點(diǎn)，也就是“一個(gè)本質(zhì)”“兩種思想”“三個(gè)工具”。

一個(gè)本質(zhì)：應(yīng)用題研究的所有的問題幾乎都是三量問題。

 也就是說A×B=C。在不同的知識(shí)點(diǎn)下，這三個(gè)量的意義不一樣，比如說：

• 雞兔同籠問題里，是頭數(shù)×腿數(shù)=總腿數(shù)
• 盈虧問題里，是每個(gè)人分配到的數(shù)量×人數(shù)=總數(shù)
• 溶液?jiǎn)栴}里，是溶液×濃度=溶質(zhì)
• 牛吃草問題里，是每天牛吃草數(shù)×天數(shù)=總吃草量
• 工程問題里，是效率×天數(shù)=工程量
• 平均數(shù)問題里，是平均數(shù)×數(shù)量=總和
• 行程問題里，是速度×?xí)r間=路程
• 經(jīng)濟(jì)問題里，是利潤(rùn)率*成本=利潤(rùn)

 兩種思想：包括算術(shù)的思想和方程的思想。

算術(shù)指的是在做題中，是通過分析三量的關(guān)系，逆向算出要求的量。而方程指的是通過設(shè)定未知數(shù)，將未知量當(dāng)成已知量，然后正向找到等量關(guān)系，之后再進(jìn)行求解。

 這兩個(gè)思想其實(shí)是一個(gè)東西，區(qū)別僅在于一個(gè)是正向思維，一個(gè)是逆向思維。如果有人在爭(zhēng)論哪種方法更好，說明他沒學(xué)明白。比如一個(gè)數(shù)的2倍是4，那么你可直接用4÷2，或者2×X=4，就是一回事，只不過現(xiàn)實(shí)的題目更加復(fù)雜而已。實(shí)際過程中，我們是每道題都用兩種方法分別計(jì)算，兩個(gè)都要會(huì)。

 小奧在題目設(shè)置的數(shù)字都是有講究的，明顯偏向于算術(shù)法，因?yàn)橹攸c(diǎn)考察的是技巧而非計(jì)算。整個(gè)4-6年級(jí)的導(dǎo)引系列做下來，我就沒遇到只能用方程法做的應(yīng)用題。

 如果非要說他們各自的優(yōu)勢(shì)，那么就是在處理4星及以下難度問題時(shí)候，算術(shù)法解題有速度上的優(yōu)勢(shì)，因?yàn)樗阈g(shù)的很多技巧其實(shí)就是在消元，過程非常簡(jiǎn)單，但對(duì)于思維要求比較高，一般列個(gè)綜合算式就出結(jié)果了。在處理4星及以上難度問題時(shí)候，方程有思維簡(jiǎn)化的優(yōu)勢(shì)，因?yàn)檎蛩季S比逆向思維要容易，如果不能找到技巧，只要列出方程來，雖然解方程比較麻煩，但總歸是能解出來，甚至靠即使枚舉也能算出來。（對(duì)孩子的計(jì)算能力有要求，因?yàn)橛袝r(shí)候列出來的是不定方程或者分式方程，需要孩子熟練常見的計(jì)算技巧）

 三個(gè)工具：指的是列表、畫圖、局部調(diào)整。

 列表指的是三量關(guān)系表，應(yīng)用題的題干一般都比較長(zhǎng)，所以理清關(guān)系對(duì)于做題極其重要，解題過程很多時(shí)候都是卡在了這一步，也就是關(guān)系混亂。當(dāng)列完表格之后，就不用再去看超長(zhǎng)的題干了，至于是用算術(shù)法找量率對(duì)應(yīng)，還是設(shè)未知數(shù)列方程都可以。

 畫圖是算術(shù)法解決應(yīng)用題的精髓，常見的圖有線段圖，增減圖，流程圖，年齡軸、移多補(bǔ)少，濃度十字/杠桿、方陣圖、周期圖等等，這些圖分別對(duì)應(yīng)不同的場(chǎng)景。結(jié)合列表可以快速找出突破點(diǎn)。

 五年級(jí)的明心資優(yōu)有專門一講是關(guān)于圖解法解題的。學(xué)習(xí)前期做題是必須畫圖的，越復(fù)雜的題目越需要借助圖表，典型的就是行程問題。不過，等后期水平上來以后，遇到熟悉的題目可直接腦補(bǔ)。

 局部調(diào)整指的是有多個(gè)條件要滿足的時(shí)候，我們先滿足其中的一部分，在不改變這些已經(jīng)滿足量的前提下，通過調(diào)整其他變量找到規(guī)律，逐步滿足所有條件，最簡(jiǎn)單的就是雞兔同籠，其實(shí)這個(gè)在組合、計(jì)數(shù)和數(shù)論上都有應(yīng)用。在應(yīng)用題里面的應(yīng)用就是在沒有明確思路的時(shí)候，先枚舉幾個(gè)數(shù)量，或許就有思路了，甚至可以直接憑數(shù)感蒙答案。

  04細(xì)節(jié)

在這部分，我會(huì)將小奧所有應(yīng)用題分類講解。其實(shí)分類方法有很多，這是我自己總結(jié)的分類。如果你看到其他分類方法也很正常。一般機(jī)構(gòu)都是分散開來，優(yōu)點(diǎn)是螺旋上升，缺點(diǎn)是知識(shí)體系被打散，學(xué)到后面忘了前面。如果是自學(xué)，可以按照這個(gè)分類來學(xué)習(xí)，這部分主要說思路，案例之前的文章都有提到，大家可以自行查找。

 第一類是份數(shù)問題，主要包括和差倍、分/百應(yīng)用題、歸一問題、年齡問題、比例應(yīng)用題、經(jīng)濟(jì)問題。他們的共同特點(diǎn)就是都用的份數(shù)思想，只要找到量率對(duì)應(yīng)關(guān)系即可。如何找到對(duì)應(yīng)關(guān)系，主要是找不變量，常見的就是和不變、差不變和積不變。低年級(jí)推薦畫圖找關(guān)系，高年級(jí)要切換到比例法，如果正反比、連比、復(fù)合比、和比/差比非常熟悉，分/百應(yīng)用題都可以轉(zhuǎn)化為比例問題，比方程的解題速度要快得多。

 第二類是混合問題，主要包括雞兔同籠、盈虧、平均數(shù)、濃度問題、最常見的是兩個(gè)量混合移多補(bǔ)少。比如雞和兔的混合，兩個(gè)班級(jí)分?jǐn)?shù)的混合，兩種溶液的混合，兩種倍數(shù)關(guān)系的混合。本質(zhì)上都可以一種，解法通用，可以都用假設(shè)法，或者移多補(bǔ)少，或者濃度三角。個(gè)人建議熟練濃度三角，因?yàn)閳D形簡(jiǎn)單，比例關(guān)系非常清楚。

 第三類是行程類問題，主要包括牛吃草、工程問題、水箱問題，共同點(diǎn)是條件不全，不會(huì)告訴你草場(chǎng)總數(shù)、工程總數(shù)、和水箱的絕對(duì)值，一般只有時(shí)間一個(gè)條件。那么問題來了，三量問題只有一個(gè)量怎么辦。這里要用到“設(shè)數(shù)法”先確定一個(gè)量，然后在計(jì)算過程中再抵消掉這個(gè)量。如果分?jǐn)?shù)計(jì)算扎實(shí)可以設(shè)總量為1份，一般為了計(jì)算方便都是設(shè)速度為1份。這種問題完全就是行程問題，牛吃草/水箱就是追及問題，工程問題就是相遇問題。我們的學(xué)習(xí)安排中，是先跳過了這些內(nèi)容，等學(xué)完整個(gè)行程模塊后，花很短時(shí)間就過完了。

 第四類是計(jì)算類問題，主要包括還原問題、周期問題、頁碼問題、間隔問題、方陣問題，這類問題偏計(jì)算模塊，只不過是設(shè)置了應(yīng)用題的場(chǎng)景，難度取決于孩子的計(jì)算能力和思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，屬于難度不高但是正確率也不高的類別。

 第五類是不確定問題，這列問題缺乏必要的條件，需要我們根據(jù)實(shí)際情況去估算，常見的判定方法有兩個(gè)，一個(gè)是整除性，這個(gè)是數(shù)論內(nèi)容；一個(gè)是范圍限定，這個(gè)是不等式的內(nèi)容。需要注意的是考慮問題要嚴(yán)謹(jǐn)，因?yàn)榇鸢竿晃ㄒ弧?/span>

 這里面最復(fù)雜的是分段問題，常見的是階梯計(jì)價(jià)問題，這個(gè)也是初中的內(nèi)容，這種題目難度不是特別大，但是過程比較繁瑣，如果對(duì)自己的計(jì)算能力和數(shù)論基礎(chǔ)不是很自信，那么最好別怕麻煩，把過程寫清楚。只要你讀懂了題目，那么做出來的可行能就非常大。

 05總結(jié)

上篇文章《淺談如何學(xué)好小奧計(jì)算》發(fā)出來之后，有家長(zhǎng)留言想要講義。誠(chéng)然，好的題目編排可以讓孩子少走很多彎路，但大多數(shù)寄希望于一本講義或者練習(xí)冊(cè)就能讓孩子學(xué)明白的家長(zhǎng)，往往就是行走的韭菜。

 雖然這一系列文章寫的這些內(nèi)容僅是一個(gè)提綱，但它們比講義的價(jià)值要大的多。

真?zhèn)饕痪湓?，假傳萬卷書，核心的干貨都寫出來了，剩下的就需要家長(zhǎng)自己慢慢實(shí)踐了。光記知識(shí)點(diǎn)是學(xué)不好小奧的，關(guān)鍵在于這個(gè)領(lǐng)悟的過程，如果在悟不明白的時(shí)候，有人能點(diǎn)撥一下就更好了，可以少走很多彎路。

 學(xué)習(xí)是老師和孩子的互動(dòng)，對(duì)于老師最重要的是把知識(shí)點(diǎn)清晰完整地展現(xiàn)出來，告訴孩子這些知識(shí)點(diǎn)的共性和個(gè)性，傳授解題思想。在這個(gè)過程中，很多內(nèi)容是無法通過文字傳達(dá)的，因?yàn)槿鄙倭穗p向的互動(dòng)。另外一個(gè)非常重要的過程就是孩子做題的批改和實(shí)時(shí)交流反饋，這可能也是數(shù)學(xué)小組這種形式和大多數(shù)機(jī)構(gòu)教學(xué)的差異吧。