淺談如何學(xué)好小奧計(jì)算

這里提一下“糖水法”，這個(gè)方法是神器。它的巧妙之處是能夠讓一年級(jí)的孩子也能理解，但卻能解決六年級(jí)奧數(shù)的難題。幾乎可以解決所有分?jǐn)?shù)比大小的問題，要比常見的解析簡便很多，但有的看起來不明顯，需要進(jìn)行轉(zhuǎn)化。

糖水的原理很簡單，分子當(dāng)成糖，分母當(dāng)成水，所以一個(gè)分?jǐn)?shù)的大小就和糖水的甜度有關(guān)系，如果有一杯糖水（分?jǐn)?shù)），再增加一杯更甜（分?jǐn)?shù)值更大）的糖水，那么混合后的糖水（分?jǐn)?shù)）和原來相比，就會(huì)更甜（更大），新的糖水的濃度就介于這兩杯糖水之間。

這是一種化整為零的方式，巧妙之處就是將一個(gè)較大的分?jǐn)?shù)，通過做差的方式轉(zhuǎn)化出更小的分?jǐn)?shù)來比較，使得過程得到簡化，下圖左邊3個(gè)題目都是五年級(jí)導(dǎo)引的題目，解析用的是倒數(shù)法或者是基準(zhǔn)數(shù)法，如果熟練糖水那么直接瞪眼出結(jié)果。

但這個(gè)方法最主要的用途就是兩杯濃度相同的糖水混合，那么無論各自的數(shù)量是多少，混合前后三杯糖水濃度永遠(yuǎn)相等，其實(shí)就是“和比定理”與“差比定理”。在解方程、濃度問題、經(jīng)濟(jì)問題中，利用這個(gè)技巧可以抵消掉很多未知數(shù)，簡化計(jì)算過程，糖水法到了中學(xué)化學(xué)就變成了求化學(xué)反應(yīng)方程式必用的“差量法”。

2.分?jǐn)?shù)與循環(huán)小數(shù)互化：計(jì)算模塊中少數(shù)能和數(shù)論產(chǎn)生聯(lián)系的知識(shí)點(diǎn)。機(jī)構(gòu)一般講的不深，很多內(nèi)容都是記憶。在這部分要牢記999、9999、99999、999999的質(zhì)因數(shù)分解形式，可以大大降低計(jì)算量。

等學(xué)完數(shù)論以后，可以回來仔細(xì)分析一下這部分。比如142857，我們都知道他是走馬燈數(shù)，可為什么10以內(nèi)只有1/7有這個(gè)特性呢,因?yàn)?42857*7=999999，并且前6次的余數(shù)分別為326451，遍歷了1-6。如果再展開一點(diǎn)，其實(shí)就是因?yàn)?0和7互質(zhì)，根據(jù)費(fèi)馬小定理，10^6≡1mod（7），所以我們可以知道，只要滿足了這個(gè)條件，還可以推廣到其他的走馬燈數(shù)，比如0588235294117647×17=9999999999999999，所以1/17也有這個(gè)特性，小奧不考是因?yàn)樘L不好記。

舉這個(gè)例子是想說明：沒有什么神奇的數(shù)字和結(jié)論，任何事情都是有原因的，你如果只想浮在表面，那就只記住結(jié)論就行，但還可以深挖一下，具體挖到什么程度，就取決于家長的把控能力和孩子的接受程度。

3.連分?jǐn)?shù)：看似復(fù)雜的紙老虎，如果不復(fù)雜，按照順序計(jì)算即可，如果非常復(fù)雜，那么必然有周期，或者通過整體換元解決。

4.繁分?jǐn)?shù)：一般稱為“煩分?jǐn)?shù)”，因?yàn)橛?jì)算過程真的是挺煩的?；揪褪蔷C合考察分?jǐn)?shù)小數(shù)的四則混合運(yùn)算了。除非能夠看出來分子和分母是整體約分，否則就要單算分子和分母，然后約分解決?？傮w思想就是，加減法優(yōu)先用帶分?jǐn)?shù)和小數(shù)，乘除法優(yōu)先用真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)。

四、公式類計(jì)算：這類計(jì)算表面上是公式，背后都是思想，理解了原理公式就非常好背。

1.等差數(shù)列：高中數(shù)學(xué)的內(nèi)容，等差數(shù)列的變化更多一些（包括二階等差數(shù)列），具體應(yīng)用主要是找規(guī)律以及需要遞推的數(shù)表。大多數(shù)題目從簡單的開始?xì)w納，掌握了通項(xiàng)公式后這種題目基本不會(huì)有問題。

2.等比數(shù)列: 高中數(shù)學(xué)的內(nèi)容，主要是求和（包括錯(cuò)位求和），等比數(shù)列從前面看和后面看有兩個(gè)公比，互為倒數(shù)，所以求和時(shí)候乘以或除以公比都能抵消，具體如何處理要看如何計(jì)算比較方便。求和還有一種叫滾雪球的方法，也可以讓孩子試一下如何用進(jìn)制的思想來求和。

3.平方和/立方和公式：不光要求記住公式，而且會(huì)推導(dǎo)，可以裂項(xiàng)、也可以數(shù)形結(jié)合。

五、裂項(xiàng)：套路相對(duì)明顯，變化比較少，理解原理可忽略過程直接按公式寫結(jié)果，如果記不住公式就是沒理解原理。主要分為整數(shù)裂項(xiàng)和分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)，方法主要有裂和和裂差。整數(shù)裂項(xiàng)后，每一項(xiàng)越裂越長，因?yàn)橐窒?，分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)后，每一項(xiàng)越裂越短，因?yàn)橛屑s分。

1.整數(shù)裂項(xiàng)：思想是抵消，方法是裂差。整數(shù)裂項(xiàng)的特征非常明顯，凡是符合以下3個(gè)特征的就可以直接按公式寫結(jié)果。

• 每項(xiàng)乘積的個(gè)數(shù)相等；
• 所有數(shù)字都屬于同一個(gè)等差數(shù)列；
• 相鄰的兩個(gè)乘積只有一個(gè)乘數(shù)不一樣。

2.分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)：既有裂和又有裂差，處理方式和整數(shù)裂項(xiàng)極其相似。先觀察分母、分子和符號(hào)特點(diǎn)，判斷出是裂和還是裂差，然后把分母拆成乘積的形式，再處理分子，最后公式解決。難題無非是數(shù)列整體擴(kuò)倍了，或者與一個(gè)整數(shù)數(shù)列進(jìn)行了混合運(yùn)算，復(fù)雜的題目需要使用通項(xiàng)公式解決。這部分和初中的關(guān)聯(lián)比較緊密。

六、其他：這部分包括數(shù)列數(shù)表、多位數(shù)運(yùn)算、定義新運(yùn)算、比較與估算、取整計(jì)算。是整個(gè)計(jì)算模塊最難的部分，都是前面知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用。

1.數(shù)列數(shù)表：是難度不高，但是正確率偏低。因?yàn)樾W沒有過程分，和計(jì)數(shù)模塊類似，只要中間一步失誤就做錯(cuò)了。計(jì)算不過關(guān)的話，到了數(shù)列數(shù)表肯定翻車。

先說數(shù)列，這個(gè)難度偏低，一般來說題目給你的數(shù)表都需要二次排序，通過分組來找到規(guī)律，這樣再找規(guī)律或者求和就簡單多了，也就是前面說的“計(jì)”比“算”更加重要。

相比之下，數(shù)表要復(fù)雜得多了，一般分為單行數(shù)表、雙行數(shù)表、三角數(shù)表、斜三角數(shù)表、方形數(shù)表、螺旋數(shù)表。解題方法有兩個(gè)：

整體法：就是當(dāng)規(guī)律性比較強(qiáng)時(shí)候，求出對(duì)應(yīng)數(shù)字在整個(gè)數(shù)表中的位置，然后根據(jù)遞推規(guī)律求解，這種方法適用性強(qiáng)，但略顯笨重。

特征值法：就是只看局部有規(guī)律的部分，先估計(jì)出大概位置，然后精確求解，有一定難度，計(jì)算量大大降低，準(zhǔn)確率也隨之上升，但對(duì)數(shù)論的整除與余數(shù)有一定基礎(chǔ)要求。

2.多位數(shù)運(yùn)算：基本都是套路，都是想辦法轉(zhuǎn)化為10^n的形勢(shì)，這里面有一個(gè)技巧要熟練，就是假設(shè)有一個(gè)數(shù)A≤99……9（N個(gè)9），那么乘積滿足“減1補(bǔ)9”，也就是把A看成N位數(shù)（位數(shù)不夠的補(bǔ)0），將個(gè)位“減1”，然后再寫出一個(gè)N位數(shù)B，B與A每一位上的數(shù)字和都是9，那么AB組成的2N位數(shù)就是乘積。說的這么復(fù)雜，其實(shí)列個(gè)豎式就能看出來原理。

從“減1補(bǔ)9”，可以推導(dǎo)出來一個(gè)更加重要的結(jié)論，那就是乘積各位數(shù)字的和是9*N，與A無關(guān)。這個(gè)結(jié)論經(jīng)常會(huì)考察到，與循環(huán)小數(shù)或者數(shù)論都有交叉。

3.定義新運(yùn)算：這個(gè)題型是小升初考察的熱點(diǎn)，到了中學(xué)依然會(huì)有，因?yàn)樗疾斓氖菍W(xué)生閱讀題目和現(xiàn)學(xué)現(xiàn)考的能力。這個(gè)里沒有什么限制，常見的比如絕對(duì)值、楊輝三角，甚至線性代數(shù)都能裝里面，沒有捷徑，純粹水平考察，也是為什么我們平時(shí)在學(xué)習(xí)中，一定要弄清原理和推導(dǎo)的原因。

4.比較與估算：不等式天然具有不確定性，放縮方式的選擇也是一個(gè)難點(diǎn)，這個(gè)部分可以出非常難的題目，但是小奧考察的并不多。常見的幾種放縮方式掌握就夠用了，比如首尾放縮、裂項(xiàng)放縮、分組放縮、分段放縮，如果發(fā)現(xiàn)不能確定范圍，就用更加復(fù)雜但誤差更小的方式。

5.取整計(jì)算：這個(gè)更偏數(shù)論，主要包括直接計(jì)算、不等式范圍、數(shù)列取整/取小計(jì)算求和，求數(shù)列取整后有多少不同的數(shù)。這個(gè)部分題型比較固定，把六導(dǎo)對(duì)應(yīng)的那個(gè)一講都掌握即可。

04記憶

和其他學(xué)科相比，數(shù)學(xué)需要記的東西極少，以下內(nèi)容最好背下來，可大幅度提高做題速度。到最后應(yīng)用的時(shí)候，你就可能分不清到底是瞬間算出來的，還源于你的數(shù)感。當(dāng)然，如果你不在意考試節(jié)省的幾分鐘的話不背也行。

特殊數(shù)/數(shù)列：從1開始連續(xù)自然數(shù)和、連續(xù)奇數(shù)和，連續(xù)偶數(shù)和，金字塔數(shù)、走馬燈數(shù)、缺8數(shù)，這些出現(xiàn)的頻率很高。

10以內(nèi)數(shù)的階乘：計(jì)數(shù)、計(jì)算、數(shù)論常用。

平方數(shù)、立方數(shù)：20以內(nèi)平方數(shù)，10以內(nèi)立方數(shù)，常見整百整千的平方根，巧算、估算、數(shù)論常用。

9相關(guān)：99、999、9999、99999、999999的質(zhì)因數(shù)分解形式，分?jǐn)?shù)循環(huán)小數(shù)互轉(zhuǎn)常用。

冪次方：2、3的常見冪次方，二進(jìn)制和三進(jìn)制常用。

質(zhì)數(shù)：110以內(nèi)質(zhì)數(shù)，1000附近的質(zhì)數(shù)，數(shù)論必用。

年份：2000年以后的年份分解質(zhì)因數(shù)形式，年份題杯賽必考。

05總結(jié)

這篇分享其實(shí)這只是一個(gè)大綱，我們?cè)谝呀?jīng)學(xué)了一遍的情況下，計(jì)算模塊的復(fù)習(xí)依然花了整整一個(gè)月，累計(jì)30小時(shí)左右。道理很簡單，關(guān)鍵還在于執(zhí)行和練習(xí)。

最近工作比較忙，所以更新速度比較慢，提上議程但是未完成的，除了最后的應(yīng)用題模塊，后續(xù)還有六年級(jí)導(dǎo)引、整套導(dǎo)引回顧系列、大白本系列、明心系列，不過寫這些回顧基本就是用愛發(fā)電，對(duì)于我已經(jīng)沒有太大意義，有時(shí)間盡量更新。