淺談如何學好小奧行程

行程問題是應(yīng)用題的一個特殊板塊，也是小奧4年級開始的重點和難點，4年級和5年級導引里面最難的章節(jié)之一就是行程。我知道的孩子，沒有一個能在行程上面非常順利的學習，都會在這個模塊上卡一段時間，我們當初學的時候也遇到了這個問題，為此我查找了教材和練習冊，也參考了一些網(wǎng)課，總結(jié)了一套學習方法和大家分享。 

01難點

行程題目的難是公認的，我平時有時間會找一些數(shù)論、幾何或者計數(shù)的題目來做，但是從來不主動碰行程題目，因為它設(shè)計的初衷就是難為答題者的，以至于碰到一些變態(tài)的行程題目（比如和數(shù)論結(jié)合，或者走走停停）會有一種生理上的不適。下面我們先來說一下這個模塊的難點何在。

 復(fù)合單位的不適應(yīng)。一般機構(gòu)是三升四左右開始引入。這時候同時學的課程還是雞兔同籠這些簡單知識點，行程相對來說要難很多。路程和時間比較好理解，但速度是一個復(fù)合單位，既包括時間也包括路程，相當于一個平均數(shù)，這個對于大人來說不是難事，可對于生活經(jīng)驗欠缺的孩子來說就是很難。

 學習曲線太陡。因為行程的知識點非常多，而且前后聯(lián)系非常緊密，如果前面沒聽懂，那么很可能以后大部分的內(nèi)容完全是聽不懂的狀態(tài)。而且因為課時有限的原因，機構(gòu)的進度都很快，所以在有限的時間內(nèi)，要不就是講的比較淺，自己做導引時候懷疑人生，要不就是講的又難又快，上課時候懷疑人生。

 知識點太多。從路程來說，有直線、非直線和封閉型（圓形、三角、矩形），還分同地出發(fā)和異地出發(fā)，從時間上來說，有同時出發(fā)和異地出發(fā)，還有往返運動和走走停停，從速度上來說，有勻速和變速之分，變速又分速度大小和方向的改變。從對象來說分單人、雙人和多人運動，這些還能進行排列組合。

 題干太長。這是行程從應(yīng)用題里面繼承的屬性，一道有難度的行程題目，基本讀明白整個過程一分鐘就過去了，中間還有很多的變化和過程對比。讀完題目開始整理條件，發(fā)現(xiàn)圖要么畫到一半畫不下去了，要不畫完發(fā)現(xiàn)無從下手，然后整個題目也就止步于畫圖這一步。

 02本質(zhì)

 以上分析了難點，雖然行程比較難，但是本質(zhì)上還是應(yīng)用題，所以上限也不會太高，所以絕大多數(shù)的行程題目并沒有那么變態(tài)，首先我們分析一下應(yīng)用題的特點。

 小奧各種典型應(yīng)用題，例如和差倍、雞兔同籠、年齡、平均數(shù)、盈虧、牛吃草、工程、濃度、經(jīng)濟以及我們討論的行程問題，本質(zhì)上都是同一個問題，也就是研究“份數(shù)”。反過來，如果行程問題學好了，那么后面的牛吃草、工程、水管問題完全可以轉(zhuǎn)化為行程問題的方式去做，根本不用重新學習新的講法。

 這些應(yīng)用題都可以歸納為一個算式，也就是兩個量相乘等于總量。我們需要去做的就是教會孩子如何理清三量關(guān)系，學會畫圖、列表或者未知數(shù)的表述方法，逐步掌握圖示算數(shù)法、比例法和方程法。

 只不過在不同的知識點里面，這兩個量的意義不一樣，而且題目將三量關(guān)系隱藏了，這就是為什么我們在做題時，一定要找不變量的原因，因為一旦一個量不變，才能找到其他兩個量的關(guān)系。而在行程里面，這個等式就是：路程=速度×時間。

 沒有什么應(yīng)用題是不能通過畫圖來解決的，就是因為這個乘法算式的存在。所以我們可以畫成面積圖或者線段圖，或者直接按照比例來算，本質(zhì)上都一樣。畫圖其實就是將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，優(yōu)點是可以將眾多的已知條件在圖上清晰地展示出來，方便尋找各個條件中的關(guān)系，也便于知道要求哪些未知量。而找到這些量之間的關(guān)系，就是解決問題的關(guān)鍵所在。

 所以我們解決行程問題的關(guān)鍵問題就是兩個：份數(shù)和畫圖。

 03應(yīng)對

 行程要有扎實的和差倍基礎(chǔ)。因為分析問題的思路，全是用的和差倍的方法，這也是我一般給別人建議時，如果覺得孩子的時間比較充裕，都會建議把和差倍基礎(chǔ)打得扎實，如果這塊用方程走了捷徑，到了行程大概率會不會來。

 因為一般的應(yīng)用題最多設(shè)1-2個未知量也能做出來，可到了行程，如果有3個人，每人都有路程速度和時間3個量，那么至少9個量，純方程法做都不知道設(shè)哪個為未知數(shù)。另外比例的思想是解決行程最重要的思想，一定要把和差倍分和比例問題熟練運用，可以大大縮短計算過程。

 理解路程=速度×時間。這里有的家長可能會奇怪，不就是一個公式嗎，一分鐘就會了，有什么理解的。這就涉及一個學習方法的問題，在學習一個全新的數(shù)學公式時候，先不要著急去機械記憶，而是要冷靜思考這個公式所蘊含的原理。

 這個思考過程就是一個學習的過程，否則會有一種浮在表面的“假理解”，這個公式什么時候能用，什么場景不能用要進行區(qū)別。當一個量是定值的時候，另外的兩個如何變化？我們?nèi)绾瓮ㄟ^畫圖來體現(xiàn)，是線段圖，還是V-T圖，或者是S-T圖，每個圖的側(cè)重點是什么，里面的直線、面積有什么意義，這些都是可以探討的地方。而這個過程就是分析思考的過程，融會貫通的過程，從復(fù)雜到簡單的過程，從未知到已知的過程。

 理解相遇和追及的本質(zhì)。最簡單的相遇和追及場景，就是兩個人異地同時出發(fā)，相向或同向運動，直到最后相遇。但是做題時候就會發(fā)現(xiàn)，幾乎沒有這么簡單而理想的情況。

 所以我們要進行拓展，因為在很多題目里面即沒有遇到，也沒有追上，還往往就是一個人，但只要他們在某一段滿足是同時出發(fā)并且同時停止運動的時候，就可以用，只要涉及到速度和、速度差的問題就能用相遇和追及來解決，所以解決行程問題的一個重要的想法就是研究他們的速度和合速度差。

 把圖畫好。同時同線和專人專線這些基本要求就不提了，每個人的畫法都不一樣，也沒必要一樣，但是總的原則是固定自己風格，用什么顏色，什么線形，各個條件標在哪里要固化下來，因為你整理完條件以后就不看原題了，所以這個圖就是所有的基礎(chǔ)。

 說到畫圖這里說一下柳卡圖，似乎很多老師只是用它解決了了相遇次數(shù)和距離的問題，其實根本沒發(fā)揮出柳卡圖的作用，這里面我覺得原因有二：第一，很多問題不用柳卡圖也能做，因為柳卡圖需要幾何模型的基礎(chǔ)，所以一般都安排在小奧的最后階段才講。第二是會用的人不是特別多，用好特別難。

 柳卡圖是解決周期和往返運動中，運動軌跡重疊在一起不便于分析而發(fā)明的，本質(zhì)上是S-T圖，不關(guān)心速度，只關(guān)心任一時刻物體的位置，這樣就可以通過點線轉(zhuǎn)化把運動軌跡拉開，運動情況就非常直觀了。而且只需要知道時間比的關(guān)系就能用，除了發(fā)車間隔和多次往返以外，變速問題、環(huán)形跑道、流水行船和一些工程問題全能用。常用的幾何模型是沙漏模型，偶爾特殊情況下會用到燕尾。

 03細節(jié)

雖然行程的題型特別多，但是本質(zhì)上就是相遇和追及問題的變形，所以我們處理這些問題的通用思路就是，在面對一個新的問題時候，如何將這個問題轉(zhuǎn)化為已知的問題，最后歸于基本的問題，也速度和與速度差的問題。這個部分我會針對行程常見的幾個模型說一下特性和要點：

 多人多次相遇和追及。這個應(yīng)該是第一個難點，因為行程過程復(fù)雜程度一下增加了很多，關(guān)鍵點就是每次只分析兩個人之間的運動關(guān)系，比較同一個人在不同時間內(nèi)的變化，在不用方案里面的不同，分析兩個人在相同時間內(nèi)的不同。這個模型是從基本的相遇和追及過渡到復(fù)雜行程的過渡，務(wù)必熟練。

 火車過橋：火車過橋問題區(qū)別在于物體有了無法忽略不計的自身長度，除了火車過橋以外，還有火車過人，兩列火車甚至三列火車的相會問題火車相會問題。應(yīng)對方法就是通過綁小人的方法轉(zhuǎn)化為基本問題。

 往返問題：這種帶有周期屬性的題目都不難，因為解決問題的方法非常簡單，就是尋找周期，就算無法記住規(guī)律，現(xiàn)畫圖都來得及，唯一需要注意的就是在端點的相遇和追及的次數(shù)計算，不過這個模塊不用學太深，因為當用了柳卡圖后，這些題目都是送分題。

 環(huán)形跑道：和往返問題類似，都是周期性問題，建議直接用比例計算，比單獨求各個量要快很多，熟練比例后很多3星題目都是口算題。另外復(fù)雜環(huán)形跑道也可以用柳卡圖解決，就是畫法和兩地往返不一樣，因為兩端是同一個地點。

 流水行船：第一次系統(tǒng)性引入了變速，也就是水速的影響，如果孩子不理解速度的疊加，那么去商場坐一下扶梯感受一下就行了。好在相遇的速度和，以及追及的速度差不變量，水速只影響相遇地點。從這個入手去分析。關(guān)于掉水壺問題，坐地鐵的時候演示一下即可，這個模塊幾乎沒有太難的題目。

 鐘表問題：就是在鐘面上的環(huán)形跑道，有追及和相遇兩種情況，也就是角度和與角度差?？炻N就是比例問題，前面的基礎(chǔ)還可以的話問題也不大，比較麻煩的是怪種問題，總之，這一部分的套路非常明顯，變化也不多。

 變速問題：這是絕對的難點，重點是通過比較，利用比例來求出未知量。會用到假設(shè)法轉(zhuǎn)化為勻速運動。特別需要留意變速過程中隱藏的不變量，比如速度和不變、速度差不變，相遇點不變、比例不變等，這些不變量就是我們解題的關(guān)鍵所在。

 間隔發(fā)車問題：凡事這種規(guī)律和周期性特別強的知識點，都不會不難。找到不變量，一般是車速、時間間隔和車距間隔不變，練好畫圖就可以了，這個圖怎么畫都可以。此外扶梯問題、往返接送、獵狗追兔問題都類似，有固定的解題套路，按部就班做下去就可以。

 走走停停問題：這種是我認為純行程里面最難的一類。運動對象的速度不是連續(xù)的，而是有幾次停頓或者是周期性間歇，那么這類問題的解題過程會相當復(fù)雜。在運動過程中不但有快者追上慢者，還要考慮追上時，是在慢者運動中還是停留時候。

 不過既然是在環(huán)形上走，那么必然會呈現(xiàn)一定的周期性，解決方法一種是從時間差入手，一種是不考慮休息時間，假設(shè)是持續(xù)性運動，然后估算出次數(shù)，但是要注意，這個估算是不準的，要考慮追及是發(fā)生在運動中，還是休息中，還是剛休息完，總之這個過程比較麻煩，務(wù)必驗算。

 04總結(jié)

 小奧的學習是沒有時間和難度的上限的，如果人為設(shè)定一個0-10的難度，那么從0到1這個階段是最重要的，因為這個學習階段決定了未來孩子解題的底層邏輯，從1-10都是在這個基礎(chǔ)上做的復(fù)雜化。但是再復(fù)雜的過程，也是從一個個基本知識點上發(fā)展而來的。所以，夯實基礎(chǔ)，養(yǎng)好習慣，勤加練習，很多解題過程就是水到渠成的事情。