一道有趣的計數(shù)題

看到一道題面簡潔易懂的計數(shù)題，如圖將1到49按順序填入方陣，問有多少個內(nèi)部數(shù)的和是7的倍數(shù)的矩形（包括正方形）?？雌饋矸浅Ｓ腥?。我花了大約三分鐘心算出來，但核對答案發(fā)現(xiàn)數(shù)目不對，再看解答過程，發(fā)現(xiàn)思路是完全對的，只是不小心漏了一個情況，導致翻車。這題看似簡單，但涉及到很多知識點的綜合運用，值得分析一下。

首先是需要掌握的最基本計數(shù)題：圖中有多少個矩形（包括正方形）？每個矩形上下兩條邊從8條橫邊中挑選，是組合數(shù)8選2，28，每個矩形的左右兩條邊同樣是28，因此有28*28個矩形。

一般而言，當增加限定條件后，對橫邊豎邊的計數(shù)作相應變化，即可解決問題。具體到這道題，限定條件是矩形中的數(shù)字和是7的倍數(shù)，什么樣的矩形滿足這個條件？矩形中左右相鄰的數(shù)差1，上下相鄰的數(shù)差7，因此任意兩條橫邊的數(shù)字和必然相差7的倍數(shù)，即對7同余?？紤]一條橫邊里數(shù)字和除以7的余數(shù)，如果是0，那所有橫邊里數(shù)字和都是7的倍數(shù)，該矩形自然滿足條件；如果余數(shù)不為0，那么所有邊的余數(shù)相同且都不為0，則該矩形必須高度為7，即從上到下從第一行延伸到最后一行。因此某矩形符合題目要求，當且僅當“一條橫邊和是7的倍數(shù)”或“矩形的高度為7”?？珊営洖椤皸l件一”或“條件二”。根據(jù)最簡單的容斥原理，該數(shù)目等于符合條件一的矩形數(shù)+符合條件二的矩形數(shù)-同時符合兩條件的矩形數(shù)。

先看條件一，橫邊和是7的倍數(shù)。由于同一列的數(shù)對7同余，我們可以只研究最下面一行，1到7。橫邊的數(shù)是等差數(shù)列，和要是7的倍數(shù)，其中間值必須是3.5或7，或序列長度為7，因此有34、2345、123456、7、1234567共5種情況，即左右兩條邊有5種情況。（我不慎漏了最后一種情況，導致翻車）。矩形的上下兩條邊沒有任何限制，就是前述8選2，28種選擇，因此符合條件一的矩形數(shù)為28*5=140。

再看條件二，矩形高度為7，上下兩條邊只能選最上和最下的兩條，只有1種情況。矩形的左右兩條邊沒有限制，如前述有28種情況。符合條件二的矩形數(shù)為28*1=28。

再看同時符合條件一和條件二的情況。矩形的上下兩條邊只有1種情況，左右兩條邊有5種情況，因此矩形數(shù)為5*1=5。

最后代回容斥原理的公式，符合條件的矩形數(shù)為140+28-5=163，即為最終答案。

這道題題面簡單，但解題過程環(huán)環(huán)相扣，涉及到組合數(shù)、同余、榮斥原理、等差數(shù)列求和等諸多知識。解題中每個環(huán)節(jié)都必須保持思路清晰，稍有不慎，很容易出錯。每個知識點都不復雜，但要正確組合運用并不容易。本題是一道訓練思維的好題。

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