小學數(shù)學路線總結

坐標美國中西部，娃小學三升四，小學數(shù)學基本學完，初中內容也學了不少。三年前的規(guī)劃是邊走邊規(guī)劃，摸著石頭過河，事實證明切實可行。本文的大部分內容選自以下日志中，增添少量未提及話題，做個小學數(shù)學路線總結。這是專門針對自家娃的定制，每個人的情況不同，但多少可以有些借鑒意義吧。

娃目前狀態(tài)及中小學初步規(guī)劃

2023年9月寫的。非常粗略的總結了到一升二以前的學前啟蒙。當時已經(jīng)自學完可汗數(shù)學上三年級的內容。開始制定具體的提前學規(guī)劃和競賽學習展望。

2023：開始發(fā)力的一年

2023年底寫的總結，是上一篇的補充。娃快學完可汗四年級了，計劃在二年級學完五年級數(shù)學。同時白板教學，新加坡數(shù)學，應用題等，都上了。

二年級總結與三年級規(guī)劃

2024年10月寫的，娃三年級。二年級學習四五年級數(shù)學，完成得很好，自學能力有顯著提高。此時正在學習六年級數(shù)學。報名了來年3月的袋鼠數(shù)學競賽，但競賽學習如何展開尚不明朗。

首次參加數(shù)學競賽的收獲暨第一百篇日志

2025年5月寫于袋鼠數(shù)學競賽后，有很多收獲。此時七年級數(shù)學基本學完，野獸數(shù)學也開展得如火如荼。

三升四總結與規(guī)劃

2025年7月寫的，有很多更新更深的體會。 
 

路線概述 
 

總結這三年的小學數(shù)學路線，可以總結為：可汗自學中心突破，多次學習逐次加深，競賽殿后鞏固陣地，親子教育教學相長。

數(shù)學英語等學科，可以并行學習，其實數(shù)學內部，在無強前后關聯(lián)性的前提下，也可以并行學習，并不需要在某個知識點反復練習到完全熟練后再學下一個知識點。比如娃已經(jīng)學了簡單的二元一次方程解應用題，但小學分數(shù)應用題還不熟練，我并不知著急，因為前者只需要整數(shù)運算即可，后面還有很多學習資料可以涉及。野獸數(shù)學四五年級還在搞分數(shù)加減乘除，但前面有很多內容邏輯要求高，但并不依賴分數(shù)知識作為基礎。

多次學習逐次加深，即是此意。瀏覽器在加載圖片時，可以局部加載填滿圖片，也可以一上來就整張?zhí)顫M再慢慢提高精度，后者即類似此意。多次學習逐次加深也符合大腦的記憶原理。很多東西短時間灌進去效果并不好，學一點再放一陣子，大腦有時間潛意識里整理，過一陣子再加深一點學，正趕上要遺忘的時候，效果最好。 
 

教學方式

這三年采用的是沉浸式親子教育，如有機會，我盡量采取孔子式臨場對話教學，討論問題，絕對的因材施教。很多時候我不準備，直接面對情境，談自己的思考解決方法，這樣能給娃提供一個活生生的參考例子。數(shù)學不是別人教會你的，而是你自己想明白學會的。讓娃盡可能自學，不懂的地方提問，固然是很標準的操作，但僅僅如此還是遠不夠的。以前的學徒制下，師傅未見得手把手教徒弟很多技術，但長期的耳濡目染中，徒弟自然能體會并學習到很多本領。盡可能讓娃從書本自學，同時也從我這個師傅身上自學。對問題，我一般提供一個參考答案，并說明我是如何思考的，如何打草稿的，娃愿意怎么做是自己的事情，很多時候娃采用了不同的寫法，只要合理，我都給予鼓勵。教學相長，以前我并不經(jīng)常思考我是怎么思考的，但教娃以后我常常拆解自己的想法，發(fā)現(xiàn)很多以前不被注意的細節(jié)，很多非常有趣，的確是學好東西的好習慣，有時常常到隊友面前去顯擺。

既然是親子教娃，那就不必拘泥于年級，而是所有知識匯集在一起。講得興起，我往往會把高階的知識一起講出來，即便娃聽不懂也不要緊，有個印象，知道后面的風景，或許能激發(fā)興趣。娃很小的時候我就經(jīng)常講微積分，列公式，娃經(jīng)常在我的書里找西格瑪求和符號。學了乘法，我說乘法是一種高效加法，將來西格瑪是更高級的加法，涉及到微積分。講到分數(shù)的時候我就順帶講講極限求和無理數(shù)，講到交換律結合律時我就順帶講講群論，我小時候看十萬個為什么數(shù)學卷，很多看不懂，但都留有印象，總想著以后能弄明白?，F(xiàn)在看來那些作者其實不太擅長把高級內容寫的淺顯易懂，誤打誤撞啟發(fā)兒童。

技術路線

除了各類圖片邏輯類的早教外，最早的數(shù)學啟蒙是數(shù)數(shù)，用中文教，因為中文比英文整齊好記憶，英文的數(shù)字在學英語后自然就學會了，沒有任何問題。事實上到目前為止，任何數(shù)學知識都無所謂中英文，所有內容的英文表述娃都知道，有些中文的不清楚，但也不影響交流。數(shù)到100然后倒數(shù)回1。這些利用開車時間完成。后來是加減法，個位數(shù)，到十幾的，數(shù)手指。差不多時候，我問娃，你這次加的數(shù)數(shù)手指，到明天再加再數(shù)手指，會不會不一樣，娃說不會不一樣，然后我說既然永遠一樣，那就記住，不用再算了，于是就記住了。個位數(shù)的熟練后，兩位數(shù)三位數(shù)的很快就學會了，再做了些挖空計算鞏固，就沒問題了。

到乘法，還是在車上讓娃數(shù)數(shù)，2的倍數(shù)加2數(shù)上去，到18再倒回來，然后是3,4,5,6,7,8,9，都是自己推算出來的。全都熟練了，然后說可以簡單說幾個幾就是乘法，這不是比一個個加上去要寫起來簡單嗎？而且今天算到的數(shù)和明天算到的數(shù)，永遠一樣，干脆就記住吧，于是就記住了。再做了些擴展，比如24可以分解成哪些數(shù)相乘，從1到81每個數(shù)過一遍能不能分解，等等，個位數(shù)乘法就熟練了，然后多位數(shù)。到這里差不多一升二了。后面就是除法。

再后面的分數(shù)小數(shù)等，就靠在可汗數(shù)學上自學了。一般有不懂的，我會在白板上寫出一些要點。可汗數(shù)學上粗略學一遍做幾道題目就可以了，后面通過新加坡數(shù)學等復習鞏固。娃分數(shù)小數(shù)運算熟練了，但分數(shù)和比例的應用題還不太行，其他的小學知識點基本都很牢固了。

刷題量

學習效率等于產出除以投入，投入也包括刷題多少。從這個角度看，同等產出，效率與刷題量成反比。我一貫強調要盡量少刷題，如果要多刷題，一定要保證產出更多。刷題多還有個負面效果，容易傷害數(shù)學學習能力，造成死記硬背題型。一旦學習數(shù)學進入死記硬背題型，不但效率低下，還造成學習好的加像，不能提供真實反饋，進入死亡螺旋。每個知識點，根據(jù)個人能力不同，應該有合適的題量，應該盡量在做題時不斷總結，如果能提早學會提早不做剩余的題目，那就更好。

娃做的題雖然貌似很多，但考慮到學到的知識點很多，刷題并不多。除了可汗數(shù)學外主要是新加坡，還有一套101應用題，此外就是競賽類的，野獸數(shù)學，還有幾本新加坡競賽書。有一套藍皮的中文小學奧數(shù)教程，其實題目大部分也重復，我偶爾挑幾題換換口味。這些就很占時間了，因為還有不少英語題要刷。

我還經(jīng)常提醒娃千萬不要背題型。比如學會列方程解盈虧問題后，娃貌似看出了公式，但是我說這公式別背，碰到題目列方程就行了，具體題目會有變化，比如盈虧、盈盈、虧虧組合，死套公式很容易出錯。

二級結論

跟中學比，小學數(shù)學的二級結論不多。我主要督促娃記住一些常數(shù)，比如幾分之幾轉化小數(shù)百分數(shù)，20以內數(shù)的平方，2與3的指數(shù)，12、15、16、18、25的倍數(shù)等。凡是要記憶的東西，都要在能自主推導以后再記憶。

雞自己

前些年我把可汗上的數(shù)學到高中的全做了一遍，提前探路，基本不用看視頻，除了三角函數(shù)和差化積那一塊?，F(xiàn)在開始搞競賽了，我已把AMC8四十多年的全過了一遍，過些天可以寫篇日志。更高難度的競賽題偶爾看看，等過幾年會更高強度的給自己搞搞。前幾天抽看了今年IMO的第四題（因為知道第四題應該比較簡單），做了一下，花了二十多分鐘，思路和細節(jié)把握準確，完全正確。我估計現(xiàn)在參加9小時6題的IMO，應該有銅牌水平。前幾年我重看競賽題時，腦袋非常銹，轉不動，現(xiàn)在完全潤滑了。以前學生時代資料受限數(shù)學競賽學的并不系統(tǒng)，未來幾年我再系統(tǒng)過一遍初高中競賽的知識點，方便雞娃，到那時應該妥妥的有奧賽金牌的水平了。等到娃上大學了，我也差不多退休了，那時可以專心研究一些簡單的數(shù)學公開問題，這方面有幾個網(wǎng)站交流，而且AI輔助應該能幫助普通人搞數(shù)學研究了。

銜接中學

娃已經(jīng)學了不少初中內容，無所謂銜接了。公校沒有小升初的考試，不會浪費時間刷題，這是好事。今年下半年學完可汗數(shù)學八年級后，我打算讓娃花四個月左右時間復習鞏固pre-algrebra的內容，然后明年年中正式開始代數(shù)內容。按老美的編排這是高中內容，部分學有余力的初中高年級生也會學習。娃在四年級末就開始學，已經(jīng)提早很多了。

結尾

水了一篇，多是從舊的日志中來的，并沒有太多新東西。好在把相關內容綜合在一起，方便查閱。

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