淺談中學(xué)數(shù)學(xué)思想對小奧學(xué)習(xí)的滲透

談到小奧和初中的關(guān)系，絕大多數(shù)人都會說小奧學(xué)到了什么程度再學(xué)初中，其實這個一般都是以上岸為分界點，這是升學(xué)而非知識上的分水嶺。我一向認(rèn)為數(shù)學(xué)沒有那么明顯的劃分，大學(xué)之前學(xué)習(xí)的都是初等數(shù)學(xué)，幾乎所有的知識點都可以直觀地展現(xiàn)。小學(xué)和中學(xué)的區(qū)別在于學(xué)習(xí)的深度和廣度不同。雖然絕大多數(shù)孩子學(xué)習(xí)奧數(shù)都是為了小升初，但是奧數(shù)學(xué)習(xí)不應(yīng)該成為小學(xué)階段的“終點”，而是一個“中點”。

考慮到時間有限，為了應(yīng)對特定考試的范圍，所以才學(xué)習(xí)了特定的內(nèi)容。就我的實操來看，平時課內(nèi)從不提前，課外只學(xué)小奧，如果遇到了概念性的知識點就掃盲一下，在第一輪學(xué)習(xí)中沒有遇到太大的問題。處理初中的內(nèi)容也是一樣，如果覺得這個知識點將來有用，那么提前滲透一下也未嘗不可。

學(xué)習(xí)就是不斷從明白到糊涂的周而復(fù)始的過程，孩子自以為明白的時候，給塞點題使其糊涂，在糊涂的時候適當(dāng)引導(dǎo)一下又明白了，周而復(fù)始，而你塞的內(nèi)容是什么并不重要。

01理念

從難度方面看，初中課內(nèi)數(shù)學(xué)的難度是最低的，其次是小奧里面的中檔題目，然后是高中數(shù)學(xué)的中檔題目和小奧的難題，最后是高中壓軸題的難度。小學(xué)生提前中學(xué)數(shù)學(xué)的問題，主要是概念和知識體系的限制。

就我個人的感受來說，提前校內(nèi)實質(zhì)上對于提升小奧的作用并不是很大，很多人提前校內(nèi)無非是奧數(shù)推不動換個簡單的繼續(xù)學(xué)。既然初中校內(nèi)的內(nèi)容比簡單，那么也可以在小奧學(xué)習(xí)中提前滲透一下初中甚至高中的知識。

小奧考察的是用簡單知識解決復(fù)雜問題第能力，所以過于強(qiáng)調(diào)技巧而不是通解，而中學(xué)知識的系統(tǒng)性和連貫性非常強(qiáng)，二者的解題思想是完全不同的。技巧用的好可以復(fù)雜問題簡單化，可用不好能把簡單的問題變復(fù)雜，這也是部分孩子學(xué)完奧數(shù)反而養(yǎng)成了一些壞習(xí)慣的原因。并且小奧的知識點太零散了，這也是為什么遺忘是學(xué)習(xí)中最常見問題。

02好處

第一、對知識點的理解更加深刻。

因為有的內(nèi)容屬于中學(xué)知識點的提前下放，只是做了一些簡化，也有加強(qiáng)的，比如計數(shù)模塊超過高考難度，這些內(nèi)容反正將來也要學(xué)，不如再深入學(xué)習(xí)一下，這樣可以引發(fā)孩子思考，提升綜合能力。

第二、直接秒殺題目。

這些題目用小奧的知識點求解會比較繁瑣，如果換成高階的工具答案就極其簡單。目前絕大多數(shù)的機(jī)構(gòu)選拔、比賽、小升初試題還是以3-4星題目為主，低難度必然時間緊張，所以如果能秒殺一些題目，對于提高考試成績有非常明顯的幫助。

第三、簡化計算過程。

很多小奧題目都是中學(xué)聯(lián)賽的題目改編，就算是小奧的教練也會關(guān)注中學(xué)的內(nèi)容。再加上小奧對過程幾乎不考察，所以如果掌握了某些定理和結(jié)論可以直接拿來使用，簡化計算步驟，縮短思維路徑，就像學(xué)棋都要先背定式一樣，對方用定式我也用定式，把計算力留在中盤和殘局。

03案例

一、計算

小奧整體上對于計算的要求非常弱，任何考試第一題的送分題永遠(yuǎn)是計算題，如果不學(xué)分?jǐn)?shù)最高可以刷完四導(dǎo)，不學(xué)方程最高可以刷完五導(dǎo)（其實六導(dǎo)也能硬做，不過對水平要求很高），很多題目的設(shè)置初衷，就是讓你用方程方法計算反而更加復(fù)雜。計算里面最難的兩個內(nèi)容是定義新運(yùn)算和不等式的放縮。這兩個想要學(xué)好，最好強(qiáng)化一下通項公式的內(nèi)容。

通項公式是高中重點學(xué)習(xí)的內(nèi)容，可以用累加法、累乘法、歸納法、求和法、待定系數(shù)法、倒數(shù)法等來求通項公式，可小奧的要求沒有這么高，只用最基本的就足夠了。

小奧中的等差/二階等差數(shù)列、等比數(shù)列、裂項、數(shù)列數(shù)表、遞推計數(shù)、定義新運(yùn)算等知識點，都需要尋找各項的規(guī)律，通項公式的練習(xí)對于處理這些問題很有幫助。小奧的體系對于通項不太重視，傾向于把前幾項寫出來，總結(jié)規(guī)律后直接寫答案，不過，這種方法在處理一些復(fù)雜問題時會比較麻煩。

下面這道題是6年級導(dǎo)引第19講《進(jìn)位制與取整符號》超越篇第8題，第2問的答案比較繁瑣，我們都知道通項公式的寫法不唯一，如果換個方式寫通項，就會使計算量減少，也降低了出錯的可能性。

6年級導(dǎo)引 第19講《進(jìn)位制與取整符號》超越篇第8題

下面這道題目出自6年級導(dǎo)引第1講《分?jǐn)?shù)數(shù)列計算》超越篇。分母是2*N+1，我們肯定是要拆這個分母的，答案拆成了N和N+1，這種做法其實就是把題做崩了，強(qiáng)行得到的答案。如果拆成2*N和1，那么新的兩個分?jǐn)?shù)數(shù)列都是裂項的標(biāo)準(zhǔn)形式，熟練的話根本不用展開，根據(jù)公式可以直接寫結(jié)果。

6年級導(dǎo)引 第1講《分?jǐn)?shù)數(shù)列計算》超越篇

除此以外，比如換元法、求解方程（組）、高難度的裂項、各種常見計算公式的應(yīng)用，均值不等式（和同近積大）、單調(diào)性、不等式都和中學(xué)知識或多或少有聯(lián)系，能多學(xué)一點當(dāng)然更好，但不學(xué)問題也不大，因為對于計算模塊來說，難度的上限決定了不用做太多的難題。

二、計數(shù)

計數(shù)之所以是一個區(qū)分度非常高的模塊，就是因為對人的綜合能力要求太強(qiáng)了，有一步出錯整個題目就白做了。水平越高，用的方法越少，列式越簡單。

有一天孩子參加活動免費(fèi)領(lǐng)了一個高爾頓板，玩了很久。我問他，為什么兩邊的分?jǐn)?shù)最高，中間的分?jǐn)?shù)最低？因為孩子學(xué)過標(biāo)數(shù)法，所以回答起來不難，接著問如果彈100次平均分大概是多少？這個期望和概率問題以他現(xiàn)在的知識是不太好立即回答的，需要研究一下楊輝三角的性質(zhì)。

楊輝三角在中學(xué)有所涉及，在我的殘存的印象中也只是研究一小部分內(nèi)容，據(jù)說它的性質(zhì)至少有幾千種，因為時間和范圍的關(guān)系，只講了最重要的幾種。

首先是遞推關(guān)系：

• 如果把三角形逆時針旋轉(zhuǎn)120℃，再把角度調(diào)整成直角，那么就是在三年級學(xué)的標(biāo)數(shù)法。
• 如果從特定的角度排列，各項和滿足斐波那契數(shù)列。
• 如果沿著三角形邊的方向逐個求和，結(jié)果等于“拐彎數(shù)”這些還是屬于小學(xué)的知識。

然后引入二項式的知識點，這就是偏中學(xué)的內(nèi)容了。

• 這些計算過程不是重點，而是能夠證明為什么會有這些規(guī)律；
• 通過賦值法可以得到關(guān)于組合數(shù)的等式。這個過程可以和插板法、進(jìn)位制橫向產(chǎn)生聯(lián)系。
• 接下來是手算開方，在做估算的時候非常有用，再配合常用的平方數(shù)表和速算技巧，很多大數(shù)運(yùn)算都可以口算，可以在做題時候大大提高計算速度。

三、幾何

很多家長在輔導(dǎo)幾何模型的時候，都會不自覺地使用中學(xué)的相似，但這個概念在小奧里面是沒有的，可是在某些高難度的題目里面，相似是跳不過去的。我建議如果孩子可以接受可以講一下相似，然后把幾何模型看做相似的特殊情況。

初中的講課一般是上來說概念，然后說性質(zhì)，非常嚴(yán)謹(jǐn)，也很枯燥。引入概念之前，可以先找一個放大鏡，然后問孩子用這個放大鏡去看一個角度，量出來的角度會不會變大。憑借直覺孩子肯定會說變大，在判斷是否正確之前，可以先分析平角，也就是看一條直線是否會變彎，這時候就會發(fā)現(xiàn)，角經(jīng)過放大以后，邊的粗細(xì)和長短被放大了，然而張開的程度卻不會改變，所以角度仍舊不變。

同理，我們用手機(jī)照相，也是各部分成比例地放大，而形狀不變，那么這就是“相似”，也就是說給你照了10張照片，洗出來10種尺寸，那么這10張照片都是相似的，全等是一種特殊的相似。這個過程重要的是理解，而不是嚴(yán)謹(jǐn)，小學(xué)幾何不需要嚴(yán)謹(jǐn)，因為很多東西都是先看出來后再嚴(yán)格證明的。

所以我們研究三角形相似只需要看角就足夠了，在金字塔、沙漏模型里面角度相等是通過平行構(gòu)造的，而在一般的情況下，要通過互補(bǔ)或者互余來證明，這個在正方形或者其他正多邊形里面最為常見。主要用的就是對應(yīng)的邊長比、以及面積比的關(guān)系。

四、行程

傳統(tǒng)的直線行程問題畫圖方式，是在一維空間上用長度表示路程，然后標(biāo)上對應(yīng)的速度和時間，時間更多的是一段時間而非時刻，因為一維空間的限制，所以很多東西無法更精確地表達(dá)出來，如果我們更關(guān)注整個過程中，在任意時刻物體所在的位置，那么需要用S-T圖。這是中學(xué)數(shù)學(xué)或者物理的做法。

S-T的圖像是一元一次函數(shù)，形式是一條傾斜直線，傾斜程度越大，速度越大，如果發(fā)生了變速那么只需要讓直線變彎即可，因為是二維空間的圖，所以可以非常清楚看到整個過程中物體的運(yùn)動軌跡，在解決相遇問題或者多次往返問題時有異常簡便的方法。

下面這道題是6年級導(dǎo)引第第14講《行程問題六》超越篇的第7題，答案用的代數(shù)法，也就是法一。如果做題感覺好的話，第一反應(yīng)是12、14、16以及16、17、18都是等差數(shù)列，出題人是不會隨便寫這幾個時刻的，第二反應(yīng)是所有條件只與時間有關(guān)系，那么就意味著答案肯定是與速度沒有關(guān)系，也就不用分析速度。

畫成法二的S-T圖后發(fā)現(xiàn)，要求的那個相遇時刻，正好是由12點、16點、和18點三個時刻組成三角形的重心，由初中的重心知識點可以知道，這個點到14點和18點距離是1:2，那么相遇時間就口算出來了。如果不知道重心的知識點，或者時刻不是等差數(shù)列，那么依然可以通過燕尾模型或者梅涅勞斯定理求出比例，就是稍微麻煩一點。

6年級導(dǎo)引 第14講《行程問題6》 超越篇第7題

上面這道題目的優(yōu)勢其實不太明顯，下面這道題目更加能夠顯示出S-T圖在處理多個對象的復(fù)雜相遇問題的優(yōu)勢。這道題目在計算中增加了一個沙漏模型，甲和丙的相遇地點還是三角形的重心。

S-T圖的方法更加好用，為什么用的很少呢。這是行程問題本身的特性決定的，因為行程屬于平時學(xué)的難，但是考的并不難的模塊，難度太大的行程問題，光讀題和圖畫就要5分鐘，所以一般作為中檔題。對于絕大多數(shù)考試，這種方法發(fā)揮的空間不太大，并且除了對題目的閱讀能力外，還要有幾何基礎(chǔ)。

04總結(jié)

本篇文章舉了幾個模塊的案例，雖然寫了這么多，但實際上這些方法都屬于錦上添花。也就是說掌握了他們可以在考試中更快更穩(wěn)，可是如果你把其他的方法掌握好了，也不會有太大的差距。而接下來要寫的組合和數(shù)論中的方法完全不同，他們是真正能夠降維打擊的，實戰(zhàn)中效果更好?？梢驗槠邢蘧筒徽归_了，留在下篇里寫。